子空間格代數(shù)上的局部Lie導(dǎo)子

王 婷，徐國東，常彥妮

（南陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 南陽 473061）

子空間格代數(shù)上的局部Lie導(dǎo)子

王 婷＊，徐國東，常彥妮

（南陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，河南 南陽 473061）

研究子空間格代數(shù)Alg 上的局部Lie導(dǎo)子，其中 是Banach空間X上子空間格且（0）＋＝∧｛M∈ ：M?（0）｝≠（0）.利用子空間格代數(shù)Alg 上Lie導(dǎo)子的已有結(jié)構(gòu)，證明了如果δ：Alg →B（X）是局部Lie導(dǎo)子，則存在兩線性映射T：X＊→X＊，S：）＋＋→X＊＊，使得對任意x∈（0）＋，f∈X＊有，其中（）＋是（0）＋在X＊＊中的典型映射像.

Lie導(dǎo)子；局部Lie導(dǎo)子；冪等算子

局部導(dǎo)子的概念最早由 Kadison［1］和 Larson等［2］分別獨立引入.Kadison［1］496證明了從von Neumann代數(shù)到它的任意對偶雙邊模關(guān)于范數(shù)連續(xù)的局部導(dǎo)子必為導(dǎo)子，而Larson等［2］189得到了Banach空間X上全體有界線性算子B（X）代數(shù)上的局部導(dǎo)子是導(dǎo)子.除了探討與結(jié)合積有關(guān)的導(dǎo)子［3］外，研究與Lie積有關(guān)的Lie導(dǎo)子也是一個熱點，而刻畫某些代數(shù)上Lie導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)是Lie導(dǎo)子的經(jīng)典問題.近年來，這類問題主要在 J－子空間格代數(shù)［4］、von Neumann代數(shù)［5］、三角代數(shù)［6－7］及B（X）代數(shù)［8］上進行探討.受局部導(dǎo)子的啟發(fā)，Chen等［9］引入了局部Lie導(dǎo)子的概念，刻畫了B（X）代數(shù)上局部Lie導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)；隨后，又研究了套代數(shù)上局部Lie導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)［10］.目前，有關(guān)局部Lie導(dǎo)子刻畫的研究還不多，本文主要借助已有算子代數(shù)上Lie導(dǎo)子的結(jié)構(gòu)，進一步探討一類特殊子空間格代數(shù)上局部Lie導(dǎo)子的性質(zhì).

1 預(yù)備知識

設(shè)X是數(shù)域F上的Banach空間，這里F是實數(shù)域或復(fù)數(shù)域，X＊表示X的（拓撲）對偶空間，B（X）表示X上全體有界線性算子，I表示X上的恒等算子.對任意A，B∈B（X），稱［A，B］ABBA為B（X）中的交換子［11］.X上的子空間格 是X的一個包含零空間（0）和X的閉子空間鏈，且該閉子空間鏈對任意交和任意閉封閉.設(shè) 是子空間格，定義

其中∨表示子空間的閉線性擴張，∧表示閉子空間的交.

定義1［4］53設(shè)δ為代數(shù) 到其自身的線性映射，若?A，B∈ ，有δ（AB）＝δ（A）B＋Aδ（B），則稱δ為導(dǎo)子；若?A，B∈ ，有δ［A，B］＝［δ（A），B］＋［A，δ（B）］，則稱δ為Lie導(dǎo)子.

定義2［1］494設(shè)δ為代數(shù) 到其自身的線性映射，若?A∈ ，存在導(dǎo)子δA使得δ（A）＝δA（A），則稱δ為局部導(dǎo)子.

定義3［9］110設(shè)δ是從代數(shù) 到其自身的線性映射，若?A∈ ，存在Lie導(dǎo)子δA使得δ（A）＝δA（A），則稱δ為局部Lie導(dǎo)子.

引理1［12］設(shè)X是維數(shù)大于2的Banach空間， 是X上的子空間格且（0）＋≠（0）.若δ：Alg →B（X）是Lie導(dǎo)子，則存在算子T∈B（X＊）和可將交換子映為零的線性映射τ：Alg →FI，使得?A∈Alg ，有δ（A）＊＝［A＊，T］＋τ（A）.

引理2［11］329設(shè)X是Banach空間，A，B∈B（X），λ∈F.若［A，B］＝λI，則λ＝0.

引理3［12］262設(shè)X是Banach空間，M，N分別是X，X＊的非零子空間，φ：M×N→B（X）是一個雙線性映射.如果對任意x∈M，f∈N，有φ（x，f）ker（f）?Fx，則存在兩個線性映射T：M→X，S：N→X＊，使得φ（x，f）＝Tx?f＋x?Sf.

2 主要結(jié)果

證明 設(shè)x→是從X到X＊＊的典型映射.對任意x∈X，可確定X＊中的一個典型映射φx，使得φx（x）＝1，于是X＊＝Fφx⊕ker（）.由δ：Alg →B（X）是局部Lie導(dǎo)子，得到對任意A∈Alg ，存在Lie導(dǎo)子δA：Alg →B（X），使得δ（A）＝δA（A）.再由引理1知存在算子TA∈B（X＊）和可將交換子映為零的線性映射τA：Alg →FI，使得δ（A）＊＝［A＊，T A］＋τA（A）.設(shè)x∈（0）＋，f∈X＊，令A(yù)＝x?f，則

式中ψ（x，f）＝τx?f（x?f）.

下證ψ（x，f）是雙線性的.首先證明ψ是齊次的.設(shè)x∈（0）＋，f∈X＊，λ∈F，則由（1）式得

比較兩式并注意到δ（λx?f）＊＝λδ（x?f）＊，于是ψ（λx，f）－λψ（x，f）＝［λf?，T x?f－Tλx?f］.因ψ（λx，f）－λψ（x，f）∈FI，故由引理2有ψ（λx，f）－λψ（x，f）＝0，這說明ψ關(guān)于第一個變量是齊次的.類似可證ψ關(guān)于第二個變量也是齊次的.

其次證明ψ（x，f）關(guān)于兩個變量是可加的.為此，斷言對任意x∈（0）＋，f∈X＊，若（f）＝0，則有ψ（x，f）＝0.事實上，取g∈X＊使得（g）＝1，則f?＝［f?，g?］，即f?是交換子，從而ψ（x，f）＝τx?f（x?f）＝0.設(shè)x1，x2∈（0）＋，f∈X＊，若，則ψ（x1＋x2，f）＝ψ（x1，f）＝ψ（x2，f）＝0，于是ψ（x1＋x2，f）＝ψ（x1，f）＋ψ（x2，f）；若，則取g∈且與f線性無關(guān).由（1）式可知，存在λ，λ1λ2∈F使得δ（x1?f）＊g＝ψ（x1，f）g＋λ1f，δ（x2?f）＊g＝ψ（x2，f）g＋λ2f，δ（（x1＋x2）?f）＊g＝ψ（x1＋x2，f）g＋λf.比較這些等式并注意到δ（（x1＋x2）?f）＝δ（x1?f）＋δ（x2?f），得

因g與f線性無關(guān)，ψ（x1＋x2，f）－ψ（x1，f）－ψ（x2，f）＝0，故ψ關(guān)于第一個變量是可加的.

為證ψ關(guān)于第二個變量是可加的，設(shè)x∈（0）＋，f1，f2∈X＊.若f1，f2∈ker（），則

于是ψ（x，f1＋f2）＝ψ（x，f1）＋ψ（x，f2）；若f1，f2不全在ker（）中，則span｛f1，f2｝∩ker（）至多是一維的；從而，取g∈ker（）使得g?span｛f1，f2｝.再由（1）式可知，存在μ，μ1μ2∈F使得δ（x?f1）＊g＝ψ（x，f1）g＋μ1f1，δ（x?f2）＊g＝ψ（x，f2）g＋μ2f2，δ（x?（f1＋f2））＊g＝ψ（x，f1＋f2）g＋μ（f1＋f2）.比較這些等式并注意到δ（x?（f1＋f2））＝δ（x?f1）＋δ（x?f2），得

因g?span｛f1，f2｝，ψ（x1＋x2，f）－ψ（x1，f）－ψ（x2，f）＝0，故ψ關(guān)于第二個變量是可加的.

［1］KADISON R V.Local derivations［J］.J Algebra，1990，130（2）：494－509.

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［12］LU Fangyan，LIU Benhong.Lie derivations of reflexive algebras［J］.Int Equat Oper Theory，2009，64（2）：261－271.

Local Lie derivations on subspace lattice algebras

WANG Ting＊，XU Guodong，CHANG Yanni

（Sch of Math ＆Stat，Nanyang Norm Univ，Nanyang 473061，China）

Lie derivation；local Lie derivation；idempotent operator

O 177.2

A

1007－824X（2015）04－0041－03

2014－05－31.＊ 聯(lián)系人，E－mail：tingwang526＠126.com.

國家自然科學(xué)基金資助項目（41306207）；國家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元基金資助項目（11426140）.

王婷，徐國東，常彥妮.子空間格代數(shù)上的局部Lie導(dǎo)子 ［J］.揚州大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版），2015，18（4）：41－43.

（責任編輯 青 禾）