小學(xué)數(shù)學(xué)思維能力教學(xué)案例與分析

張丹 崔光佐 安秀梅

2011年版數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（修改稿）中確定小學(xué)數(shù)學(xué)的課程總體目標(biāo)是學(xué)生知識(shí)技能、數(shù)學(xué)思考、問(wèn)題解決、情感態(tài)度的整體發(fā)展與實(shí)現(xiàn)。新課標(biāo)在注重基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的同時(shí)，突出強(qiáng)調(diào)要進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)其發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。數(shù)學(xué)課程在我國(guó)基礎(chǔ)教育中起著非常重要的作用，其目標(biāo)不僅僅是使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)本身的知識(shí)，更重要的是通過(guò)數(shù)學(xué)教育培養(yǎng)學(xué)生的思維能力和創(chuàng)新能力。

在數(shù)學(xué)課堂上，教學(xué)目標(biāo)的準(zhǔn)確把握和定位是教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)活動(dòng)實(shí)施的靈魂所在。小學(xué)數(shù)學(xué)新課改以后，究竟如何將思維能力培養(yǎng)作為教學(xué)目標(biāo)，并以此為依據(jù)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)和課堂實(shí)施呢？在對(duì)部分?jǐn)?shù)學(xué)教師進(jìn)行訪談后發(fā)現(xiàn)，對(duì)于某些具體課程大家并不能十分確定將哪一種數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)作為本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)；即便是教學(xué)目標(biāo)相同的課，由于教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)活動(dòng)不同，導(dǎo)致教學(xué)效果可能千差萬(wàn)別，學(xué)生在課堂上所獲得的知識(shí)、技能、思維能力也不盡相同。

那么，如何確定小學(xué)數(shù)學(xué)課程需要重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生的哪些數(shù)學(xué)思維，如何以這些思維能力的培養(yǎng)為目標(biāo)來(lái)進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，確定教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式，又如何按照教學(xué)設(shè)計(jì)來(lái)進(jìn)行課堂實(shí)施，在實(shí)際教學(xué)過(guò)程中如何操作？本文以小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)《扇形》一課為例，系統(tǒng)展現(xiàn)了如何明確某一節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的主要思維能力，如何設(shè)計(jì)與完善教學(xué)問(wèn)題，如何組織教學(xué)任務(wù)的研究與實(shí)踐過(guò)程。

教學(xué)設(shè)計(jì)

（一）教材分析

《扇形》是義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)人教實(shí)驗(yàn)教科書(shū)《小學(xué)數(shù)學(xué)》 六年級(jí)上冊(cè)第五單元的內(nèi)容。根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》對(duì)相關(guān)內(nèi)容的調(diào)整，“扇形”由選學(xué)變?yōu)檎浇虒W(xué)內(nèi)容。扇形的內(nèi)容是學(xué)習(xí)扇形統(tǒng)計(jì)圖的必要基礎(chǔ)，是學(xué)生在學(xué)習(xí)了圓的認(rèn)識(shí)、周長(zhǎng)和面積的基礎(chǔ)上進(jìn)行認(rèn)識(shí)學(xué)習(xí)的，屬于圖形與幾何的范疇。學(xué)好扇形這部分內(nèi)容有利于提高學(xué)生的動(dòng)手能力，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生在日常生活中應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力有著重要意義。

不同版本的教材對(duì)本節(jié)內(nèi)容的側(cè)重點(diǎn)是不同的（如圖1）。人教版和北師大版的教材首先呈現(xiàn)了名稱(chēng)中含有“扇”的物體，引出問(wèn)題：什么是扇形？然后結(jié)合圖示，以直接介紹的方式，把扇形這個(gè)數(shù)學(xué)名詞與學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)建立聯(lián)系，目標(biāo)是使學(xué)生認(rèn)識(shí)扇形，掌握扇形的一些基本特征。而臺(tái)灣部編版的教材則是在介紹“弧”“扇形”“圓心角”等術(shù)語(yǔ)的含義以后，讓學(xué)生掌握一些簡(jiǎn)單的弧長(zhǎng)或圓心角的計(jì)算。通過(guò)對(duì)幾個(gè)版本教材的分析，結(jié)合學(xué)生的特點(diǎn)，本節(jié)課的設(shè)計(jì)考慮重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中認(rèn)識(shí)扇形，通過(guò)圓和扇形之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系來(lái)促使學(xué)生掌握扇形的特征。

（二）學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前，學(xué)生在四年級(jí)已經(jīng)掌握了角的度量，比較熟悉平角、直角等知識(shí)。在六年級(jí)（上）第五單元里已經(jīng)認(rèn)識(shí)了圓，學(xué)會(huì)了用圓規(guī)畫(huà)圓，掌握了圓的基本特征，理解和掌握了圓的周長(zhǎng)和圓的面積計(jì)算公式，并能夠解決一些相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題。同時(shí)學(xué)生已具備了初步的動(dòng)手操作能力和主動(dòng)探究能力以及合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣，形成了一定的空間觀念。

為了深入了解學(xué)生，設(shè)計(jì)了下面的問(wèn)題：

通過(guò)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：絕大部分學(xué)生已經(jīng)在課前都了解扇形會(huì)有“兩條直的邊，一條彎的邊”，說(shuō)明學(xué)生對(duì)于扇形也有一定的知識(shí)積累和生活經(jīng)驗(yàn)，為扇形的認(rèn)識(shí)也打下了一定的基礎(chǔ)；極少數(shù)學(xué)生能感覺(jué)到扇形與圓心角和半徑相關(guān)，而扇形的大小與半徑和圓心角怎么相關(guān)，學(xué)生全然不知。

（三）設(shè)計(jì)思想

在“扇形”的教學(xué)中，更多的教師在課堂中是引導(dǎo)學(xué)生回憶生活中出現(xiàn)的類(lèi)似“扇形”的物品，然后直接介紹“扇形”“弧”“圓心角”等術(shù)語(yǔ)的含義?！稁缀卧尽分羞@樣定義扇形：由頂點(diǎn)在圓心的角的兩條半徑和這兩條半徑所截一段圓弧圍成的圖形叫做扇形。但是如果這樣按照定義直接介紹扇形的各個(gè)組成部分，學(xué)生理解起來(lái)比較抽象，扇形和所在圓的關(guān)系更是難以理解，學(xué)生也不知道扇形在生活中有什么實(shí)際的用途。因此，在充分研究學(xué)生認(rèn)知特點(diǎn)和教材的基礎(chǔ)上，抓住新舊知識(shí)的銜接點(diǎn)，遵循從猜測(cè)、探究、驗(yàn)證、結(jié)論到應(yīng)用的規(guī)律是本節(jié)課設(shè)計(jì)的主要特點(diǎn)。

為了使學(xué)生能夠自主探究出扇形的概念與特點(diǎn)，我們?cè)O(shè)計(jì)三步探究活動(dòng)來(lái)突破難點(diǎn)。活動(dòng)一：通過(guò)生活中真實(shí)發(fā)生的關(guān)于扇形灌溉的問(wèn)題，讓學(xué)生利用圓規(guī)畫(huà)出扇形，初步感知扇形的特點(diǎn)。活動(dòng)二：求出扇形相關(guān)的面積，理解扇形與所在圓、圓心角和半徑之間的關(guān)系。活動(dòng)三：由學(xué)生討論、總結(jié)出扇形的定義和各組成部分。

三個(gè)探究活動(dòng)的設(shè)計(jì)將學(xué)生引入問(wèn)題情境，讓學(xué)生自然地利用扇形和圓的關(guān)系來(lái)探究扇形，潛移默化地向?qū)W生滲透了“化歸”數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生思考，讓學(xué)生逐漸成長(zhǎng)為一個(gè)獨(dú)立的學(xué)習(xí)者。

教學(xué)過(guò)程

（一）教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：能夠理解扇形的定義，能夠計(jì)算一些簡(jiǎn)單的扇形相關(guān)的面積。

思維能力：能夠利用扇形解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，能夠自主探究發(fā)現(xiàn)扇形的定義和扇形與所在圓、圓心角和半徑之間的關(guān)系。

過(guò)程與方法：學(xué)會(huì)細(xì)心觀察、大膽猜測(cè)、有序操作、抽象概括；能了解推理問(wèn)題的一種思路，即猜測(cè)、探究、驗(yàn)證、結(jié)論、應(yīng)用；理解“化歸”數(shù)學(xué)思想。

情感、態(tài)度與價(jià)值觀：在探究活動(dòng)中激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)，提高創(chuàng)新和實(shí)踐能力；感悟探究的樂(lè)趣；增強(qiáng)對(duì)科學(xué)探究的興趣，享受成功的喜悅。

（二）教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：利用扇形與所在圓的關(guān)系計(jì)算簡(jiǎn)單扇形的面積。

教學(xué)難點(diǎn)：通過(guò)操作活動(dòng)探究扇形與所在圓的關(guān)系，并能利用結(jié)論解決問(wèn)題。

（三）教學(xué)實(shí)施

1.情境引入，問(wèn)題準(zhǔn)備

師：同學(xué)們，見(jiàn)過(guò)這樣的噴灌裝置（如圖3）嗎？

生：見(jiàn)過(guò)。

師：誰(shuí)來(lái)給大家簡(jiǎn)單介紹一下這種噴灌裝置是怎樣工作的？

生：那個(gè)噴嘴轉(zhuǎn)的時(shí)候，水就澆灌，噴嘴轉(zhuǎn)多少度，水就一直澆灌多少度。噴嘴澆過(guò)水的地方應(yīng)該是個(gè)扇形。

師：很好，既然大家都見(jiàn)過(guò)類(lèi)似的噴灌裝置，今天我們就來(lái)解決一個(gè)和噴灌有關(guān)的問(wèn)題。

2.問(wèn)題探究，自主發(fā)現(xiàn)

（1）初步感知扇形

師：某小區(qū)有一塊草坪（如圖4），現(xiàn)在B點(diǎn)處安裝一種噴灌裝置，噴頭可旋轉(zhuǎn)120°，最遠(yuǎn)噴射距離為10米。哪些地方還需要人工澆灌，請(qǐng)用陰影部分表示出來(lái)？

師：誰(shuí)來(lái)說(shuō)說(shuō)，你是怎樣找到圖中哪些地方是自動(dòng)澆灌，哪些地方是需要人工澆灌的？

生：噴射距離為10米，就先在將圓規(guī)兩腳的距離量成AB那么長(zhǎng)，然后以B點(diǎn)為圓心畫(huà)個(gè)大圓，圖中在圓里的部分是自動(dòng)澆灌的，剩下的是人工澆灌的，就涂成陰影。

（2）理解扇形與圓的關(guān)系

師：你們能求出陰影部分的面積嗎？趕快把你的思路寫(xiě)下來(lái)。

學(xué)生交流匯報(bào)。

生：陰影部分面積=梯形面積-扇形面積

師：你們是怎么求出扇形面積的？

生：扇形這個(gè)角是120°，是圓360°的1/3，所以扇形的面積就占所在圓的面積的1/3（如圖6）。

師：那大家說(shuō)說(shuō)扇形的面積與什么有關(guān)系？

教師出示半徑不同、圓心角相同的扇形和半徑相同、圓心角不同的扇形。

學(xué)生討論匯報(bào)。

（3）認(rèn)識(shí)扇形

師：我們?cè)诮鉀Q問(wèn)題的過(guò)程中，認(rèn)識(shí)了新的圖形——扇形。誰(shuí)來(lái)準(zhǔn)確描述一下什么樣的圖形是扇形，或者說(shuō)扇形有哪些特點(diǎn)？

學(xué)生匯報(bào)交流，認(rèn)識(shí)各部分名稱(chēng)。

教師板書(shū)：扇形、弧、半徑、圓心角。

3.觀察比較，聯(lián)系鞏固

師：請(qǐng)判斷，圖7中的陰影部分是不是扇形？

學(xué)生匯報(bào)總結(jié)。

師：求圖8扇形的面積。

圖8 扇形計(jì)算練習(xí)題目

生：扇形的圓心角是60°，占所在圓的1/6，所以這個(gè)扇形的面積是所在圓的1/6，所以扇形的面積=3.14×6×6÷6=18.84。

4.拓展提高，解決問(wèn)題

師：你能求出圖9陰影部分的面積嗎？

生：用大扇形的面積減去小扇形的面積?；蛘叽髨A的面積減去小圓的面積再除以4。

5.課堂小結(jié)，感知收獲

師：同學(xué)們，這堂課大家覺(jué)得有什么收獲？

生：我們知道了什么是扇形，扇形是由頂點(diǎn)在圓心的角的兩條半徑和這兩條半徑所截一段圓弧圍成的圖形。扇形有半徑、圓心角和弧。

生：我們還知道了利用扇形的圓心角占所在大圓的幾分之幾來(lái)求扇形的面積。

師：很好，大家收獲了這些知識(shí)，還有其他的嗎？我們是怎么研究扇形的？

生：我們就是先畫(huà)圖，然后比較扇形和所在圓的圓心角，在求扇形面積的時(shí)候，都去找圓心角，看它和所在圓的關(guān)系。

師：總結(jié)一下同學(xué)們剛剛說(shuō)的，在今天的扇形的研究過(guò)程中，動(dòng)手畫(huà)圖是我們的第一步，我們確實(shí)經(jīng)歷了猜想、探究、驗(yàn)證、結(jié)論、應(yīng)用的過(guò)程，而且在這個(gè)過(guò)程中，我們不斷地聯(lián)系舊知識(shí)解決遇到的問(wèn)題，把不會(huì)的知識(shí)轉(zhuǎn)化成之前學(xué)習(xí)或研究過(guò)的知識(shí)。那么今天這節(jié)課大家學(xué)習(xí)的開(kāi)心嗎？

生：開(kāi)心！因?yàn)橹R(shí)都是我們自己研究出來(lái)的！

師：數(shù)學(xué)知識(shí)很有趣，他們之間的聯(lián)系很有規(guī)律，只要去探究，就會(huì)有發(fā)現(xiàn)。

（四）教學(xué)評(píng)價(jià)

本節(jié)課的教學(xué)評(píng)價(jià)以教學(xué)目標(biāo)的落實(shí)為依據(jù)進(jìn)行設(shè)計(jì)和實(shí)施，主要從以下三個(gè)方面展開(kāi)。

探究觀察：教師在授課過(guò)程中觀察學(xué)生的反應(yīng)，適當(dāng)提示、啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生探究思考，關(guān)注學(xué)困生的發(fā)展，對(duì)學(xué)生在探究過(guò)程中出現(xiàn)的錯(cuò)誤給予正確評(píng)價(jià)與引導(dǎo)。學(xué)生利用圓規(guī)畫(huà)圖，找出扇形和所在圓之間的關(guān)系。

練習(xí)拓展：在學(xué)生做練習(xí)拓展題目時(shí)，巡視指導(dǎo)， 對(duì)解題有困難的學(xué)生適當(dāng)點(diǎn)撥。教師巧妙利用學(xué)生的現(xiàn)場(chǎng)生成，捕捉到良好的教學(xué)資源為我所用。學(xué)生積極主動(dòng)地投入學(xué)習(xí)，遇到困難聽(tīng)取他人意見(jiàn)或交流合作解決問(wèn)題，對(duì)新知進(jìn)行再思考、再創(chuàng)造。

課后交流：教師選擇不同層次的學(xué)生進(jìn)行課后交流， 了解學(xué)生對(duì)本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容的掌握情況，了解學(xué)生對(duì)推理、化歸等數(shù)學(xué)思想的體悟和收獲。

思維能力教學(xué)一學(xué)年前后測(cè)對(duì)比試驗(yàn)結(jié)果

選取北京市門(mén)頭溝區(qū)四所小學(xué)的四個(gè)班級(jí)參與實(shí)驗(yàn)，兩個(gè)為實(shí)驗(yàn)班，兩個(gè)為對(duì)照班。實(shí)驗(yàn)班實(shí)施為期一年的數(shù)學(xué)思維能力教學(xué)，對(duì)照班按照常規(guī)講授式進(jìn)行教學(xué)。

為排除前測(cè)中各班級(jí)的瑞文成績(jī)差異性對(duì)結(jié)果的影響，使用單因素方差分析對(duì)前測(cè)與后測(cè)的瑞文成績(jī)進(jìn)行處理。首先使用K-S檢驗(yàn)驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)班與對(duì)照班成績(jī)的正態(tài)分布性，結(jié)果如表1所示。

實(shí)驗(yàn)班與對(duì)照班的瑞文成績(jī)的K-S檢驗(yàn)結(jié)果表明，這四組成績(jī)數(shù)據(jù)符合正態(tài)分布性（Sig>0.05），且這四組成績(jī)間沒(méi)有關(guān)系，相互獨(dú)立，可以使用單因素方差分析。

對(duì)瑞文量表數(shù)據(jù)進(jìn)行單因素方差分析結(jié)果如表2所示。

單因素方差分析結(jié)果表明：前測(cè)時(shí)，實(shí)驗(yàn)班與對(duì)照班的瑞文成績(jī)間不存在顯著性差異（F=0.96， Sig>0.05）；經(jīng)過(guò)一個(gè)學(xué)年的數(shù)學(xué)思維能力教學(xué)后，實(shí)驗(yàn)班與對(duì)照班的瑞文成績(jī)存在顯著性差異（F=2.63， Sig<0.05）。

雖然實(shí)驗(yàn)班與對(duì)照班前測(cè)成績(jī)?cè)诓町悾褂脝我蛩胤讲罘治隹膳懦@種差異性的影響，分析結(jié)果表明前測(cè)兩組數(shù)據(jù)不存在顯著性差異。后測(cè)時(shí)實(shí)驗(yàn)班成績(jī)高于對(duì)照班，且達(dá)到顯著性差異，說(shuō)明經(jīng)過(guò)處理因素（即思維能力教學(xué)）的影響，學(xué)生的推理能力比常規(guī)的講授式教學(xué)取得更好的發(fā)展。

總結(jié)與反思

思維能力是通過(guò)學(xué)生體驗(yàn)成功解決問(wèn)題的過(guò)程獲得的，解決什么樣的問(wèn)題就會(huì)產(chǎn)生什么樣的能力，但前提一定是學(xué)生自己體驗(yàn)解決問(wèn)題的過(guò)程，而不是理解解決問(wèn)題的過(guò)程。因此，思維能力教學(xué)的關(guān)鍵是：設(shè)計(jì)相應(yīng)的問(wèn)題或活動(dòng)，然后讓學(xué)生體驗(yàn)解決過(guò)程。根據(jù)具體的教學(xué)內(nèi)容設(shè)計(jì)不同的思維能力目標(biāo)，根據(jù)不同的思維能力目標(biāo)設(shè)計(jì)具體的問(wèn)題。課堂教學(xué)是與學(xué)生一起解決問(wèn)題，通過(guò)自身的行為方式積極影響學(xué)生的行為，通過(guò)鼓勵(lì)增強(qiáng)學(xué)生克服困難的信心，最終促進(jìn)學(xué)生充分體驗(yàn)解決問(wèn)題的過(guò)程，提高思維能力教學(xué)的效果。

當(dāng)學(xué)生思考一定時(shí)間仍沒(méi)解決問(wèn)題時(shí)，就要啟發(fā)促進(jìn)學(xué)生思維。啟發(fā)的目的是讓學(xué)生完整地經(jīng)歷解決問(wèn)題的過(guò)程，體驗(yàn)解決問(wèn)題的成就感和愉悅感。啟發(fā)實(shí)際上起著一種替代作用，替代學(xué)生解決問(wèn)題的一部分工作，因此，啟發(fā)所代替學(xué)生的工作越少越好，盡量讓學(xué)生自己多思考，自己發(fā)現(xiàn)解決方案。例如，學(xué)生在匯報(bào)“陰影部分面積=梯形面積-扇形面積”以后，教師只是提問(wèn)“你們?cè)趺辞蟪錾刃蚊娣e的”，然后由學(xué)生小組上前匯報(bào)，并由學(xué)生其他學(xué)生對(duì)匯報(bào)的結(jié)果展開(kāi)質(zhì)詢(xún)，引發(fā)學(xué)生的深度思考。又如，在總結(jié)扇形的定義與基本特點(diǎn)時(shí)，教師也只是讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言凝練出最準(zhǔn)確的扇形的定義，在一次次的質(zhì)詢(xún)和學(xué)生的修正過(guò)程中，使學(xué)生深刻地掌握扇形的概念。這種啟發(fā)才能使學(xué)生完整地體驗(yàn)問(wèn)題解決的過(guò)程，包括經(jīng)歷困難、愉悅等的“酸甜苦辣”。

注：本文系國(guó)家社會(huì)科學(xué)基金“十一五”規(guī)劃課題《課堂交互產(chǎn)生學(xué)習(xí)結(jié)果的認(rèn)知模型與仿真研究》（課題批準(zhǔn)號(hào)BCA100023）階段性成果。

（作者單位：黑龍江牡丹江師范學(xué)院工學(xué)院 北京師范大學(xué)教育技術(shù)學(xué)院 北京市門(mén)頭溝區(qū)大裕第二小學(xué)）