由三角范疇的Recollement構(gòu)造其心范疇的Recollement

許燕青

（廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建廈門361005）

由三角范疇的Recollement構(gòu)造其心范疇的Recollement

許燕青

（廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，福建廈門361005）

Nakaoka利用三角范疇上的余繞對(duì)構(gòu)造出了Abel范疇，這推廣了t-結(jié)構(gòu)的心范疇以及關(guān)于cluster傾斜子范疇的商范疇的兩種情形.之后，Nakaoka又將此結(jié)果推廣至更一般的關(guān)于雙余繞對(duì)的情形.本文通過考慮雙余繞對(duì)，由三角范疇的recollement構(gòu)造出了其心范疇的recollement，它推廣了關(guān)于余繞對(duì)的相關(guān)結(jié)果.

三角范疇；余繞對(duì)；雙余繞對(duì)；心范疇；recollement

1 預(yù)備知識(shí)

三角范疇的概念起源于代數(shù)幾何，1982年，Beilinson等［1］在研究奇異空間時(shí)引入了三角范疇的recollement的概念，recollement描述了一個(gè)范疇由兩個(gè)范疇粘合而成的思想.Abel范疇和三角范疇的recollement是數(shù)學(xué)研究的基本工具，在奇異空間，代數(shù)表示論，環(huán)論，多項(xiàng)式函子理論，拓?fù)淇臻g理論等領(lǐng)域起著重要的作用.本文通過考慮Nakaoka引入的雙余繞對(duì)的概念，由三角范疇的recollement構(gòu)造其心范疇的recollement，這是陳健敏關(guān)于余繞對(duì)和林亞南關(guān)于cluster傾斜子范疇的研究成果的一個(gè)推廣［2-3］.本文的主要結(jié)論是：

在本文中，三角范疇的shift函子記為［1］，對(duì)于給定的三角范疇D，記Ext1（M，N）∶=Hom（M，N［1］），其中M，N∈D，設(shè)U，V為D的滿子范疇，U*V表示由U和V三角擴(kuò)張而成的D的加法子范疇，即U *V∶={D∈D｜U→D→V→U［1］，U∈U，V∈V}·

設(shè)C是加法范疇，W是C的加法滿子范疇，則C/ W表示C關(guān)于W的商范疇．其商范疇是加法范疇，且存在加法典范函子Q：C→C/W，它具有泛性：對(duì)任意滿足F（W）=0的加法函子存在唯一的加法函子使得

其中·如果W對(duì)直和項(xiàng)封閉，我們稱W為C的thick子范疇.

1）D∈U當(dāng)且僅當(dāng)Ext1（D，V）=0；

2）D∈V當(dāng)且僅當(dāng)Ext1（U，D）=0；

3）D=U*V［1］.

注1 如果U和V是D的thick子范疇，則（U，V）是余繞對(duì)當(dāng)且僅當(dāng)（U，V［1］）是文獻(xiàn)［4］中的繞對(duì)，即滿足Ext1（U，V）=0和D=U*V［1］·

Ext1（S，V）=0·

范

疇［］.

2 三角范疇的recollement和雙余繞對(duì)

首先我們回顧一下加法范疇和三角范疇的recollement的定義.

定義4 設(shè)B，B′和B″是加法范疇，則B允許有關(guān)于B′和B″的reeollement，記

是指6個(gè)加法函子

滿足以下條件：

1）（i*，i*），（i*，i?。╦！，j*）和（j*，j*）是伴隨對(duì)；

2）i*，j！和j*是滿嵌入函子；

3）j*i*=0·

如果B，B′和B″是Abel范疇，則這也可作為A-bel范疇的recollement的定義［7］.下面引入三角范疇的recollement的定義［1］.

是指6個(gè)正合函子，

滿足以下條件：

1）（i*，i*），（i*，i?。╦！，j*）和（j*，j*）是伴隨對(duì)；

2）i*，j！和j*是滿嵌入函子；

3）j*i*=0（可推出i*j！=0和i！j*=0）；

4）對(duì)任意D∈D，可以確定D的兩個(gè)好三角i*i！D→D→j*j！D→（i*i！D）［1］和j！j*D→D→i！i*D→（j！j*D）［1］，其中i*i！D→D，D→j*j！D，j！j*D→D和D→i！i*D是相應(yīng)的連接態(tài)射·

注2 在定義4和5中，我們有i*i*?id，i！i*?id，j*j*?id和j*j！?id·事實(shí)上，我們有下面一個(gè)引理·

考慮到雙余繞對(duì)的定義，由文獻(xiàn)［2］中關(guān)于余繞對(duì)的定理3.3和3.4，容易得到關(guān)于雙余繞對(duì)的類似結(jié)果：

命題1 設(shè)D，D′和D″是三角范疇，D允許有關(guān)于D′和D″的recollement

則有：

3 心范疇的recollement的構(gòu)造

定義6 設(shè)C和D是三角范疇，（S1，J1），（U1，V1）和（S2，J2），（U2，V2）分別是C和D的雙余繞對(duì)．正合函子F：C→D稱為：

1）左dd-正合如果F（J1）?J2和F（V1）?V2；

2）右dd-正合如果F（S1）?S2和F（U1）?U2；

3）dd-正合如果F既是左dd-正合又是右dd-正合.

引理2 設(shè)C和D是加法范疇，函子F：C→D伴隨于函子G：D→C·令U和V分別是C和D的加法滿子范疇，使得F（U）?V，G（V）?U，則有：

［1］ Beilinson A，Bernstein J，Deligne P.Faisceaux pervers［J］.Soc Math France，1982，100：1-172.

［2］ Chen J.Cotorsion pairs in a recollement of triangulated categories［J］.Communications in Algebra，2013，41：2903-2915.

［3］ Lin Y，Wang M.From recollement of triangulated categories to recollement of abelian categories［J］.Science China Mathematics，2010，53：1111-1116.

［4］ Iyama O，Yoshino Y.Mutation in triangulated categoryies and rigid Cohen-Macaulay modules invent［J］.Math，2008，172：117-168.

［5］ Nakaoka H.General heart construction on a triangulated category：unifying t-structures and cluster tilting subcategories［J］.Appl Categ Structures，2011，19：879-899.

［6］ Nakaoka H.General heart construction for twin torsion pairs on triangulated categories［J］.Journal of Algebra，2013，374：195-215.

［7］ Chen Q，Zheng M.Recollements of abelian categories and special types of comma categories［J］.Journal of Algebra，2009，321：2474-2485.

From Recollement of Triangulated Categories to Recollement of the Heart Categories

XU Yan-qing
（School of Mathematical Sciences，Xiamen University，Xiamen 361005，China）

In the paper of Nakaoka，he constructed an Abelian category from a cotorsion pair on a triangulated category.The resulting Abelian category generalizes the of a t-structure and the quotient a cluster tilting subcategory.After that，Nakaoka generalized these results to a more general setting called twin cotorsion pair.In this article，we construct recollement of the heart categories from a recollement of triangulated categories by considering twin cortorsion pair.It generalized the results about cotorsion pair.

triangulated category；cotorsion pair；twin cotorsion pair；heart category；recollement

O 154.1

A

0438-0479（2015）04-0493-04

10.6043/j.issn.0438-0479.2015.04.009

2014-12-04 錄用日期：2015-01-08

Email：452115535＠qq.com

許燕青.由三角范疇的Recollement構(gòu)造其心范疇的Recollement［J］.廈門大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015，54（4）：493-496.

：Xu Yanqing.From recollement of triangulated categories to recollement of the heart categories［J］.Journal of Xiamen University：Natural Science，2015，54（4）：493-496.（in Chinese）