時滯Lorenz-like系統(tǒng)的Hopf分岔研究*

王志強，王書玲，吳然超

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

時滯Lorenz-like系統(tǒng)的Hopf分岔研究*

王志強，王書玲，吳然超＊＊

(安徽大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，合肥 230601)

隨動力系統(tǒng)學(xué)的發(fā)展，平衡點的穩(wěn)定性以及Hopf分岔對于動力系統(tǒng)學(xué)研究愈顯重要。首先研究時滯Lorenz-like系統(tǒng)存在平衡點的條件，在此條件下，通過分析系統(tǒng)在平衡點處的線性化系統(tǒng)特征根的分布情況，得出系統(tǒng)在平衡點處的穩(wěn)定性;隨著系統(tǒng)時滯參數(shù)的變化，時滯系統(tǒng)在平衡點處穩(wěn)定性相應(yīng)地會發(fā)生改變;以時滯為分岔參數(shù)，研究了時滯系統(tǒng)存在Hopf分岔的條件;最后利用Matlab程序進行仿真，驗證了理論分析的正確性。

Lorenz-like時滯系統(tǒng);穩(wěn)定性;極限環(huán);Hopf分岔

0 引 言

穩(wěn)定性與分岔問題是動力系統(tǒng)研究中的重要課題之一，國內(nèi)外已較好地掌握了相關(guān)的數(shù)學(xué)分析工具［1］，在穩(wěn)定性與分岔的理論研究和工程應(yīng)用方面取得長足的進展［2］。動力系統(tǒng)的分岔是指，在系統(tǒng)參數(shù)發(fā)生連續(xù)變化的情況下，如果系統(tǒng)相軌跡的拓撲結(jié)構(gòu)發(fā)生了改變，稱這種變化為分岔?？紤]含參數(shù)的動力系統(tǒng)

其中μ是實分岔參數(shù)，f是關(guān)于x和μ的函數(shù)。當參數(shù)μ連續(xù)變動時，如果上述系統(tǒng)的拓撲結(jié)構(gòu)在μ0∈J處發(fā)生突然變化，稱該系統(tǒng)在μ=μ0處出現(xiàn)分岔，μ0稱為系統(tǒng)的一個分岔值，分岔值組成的集合稱為分岔集。Hopf分岔是較為常見、應(yīng)用較廣泛的一種分岔類型［3］，它是指當分岔參數(shù)變化且經(jīng)過分岔值時，從平衡狀態(tài)產(chǎn)生孤立的周期運動的現(xiàn)象。從相圖上看，這時有極限環(huán)從平衡點“冒”出來。

自從1963年氣象學(xué)家Lorenz提出經(jīng)典的Lorenz系統(tǒng)［4］以來，大量的混沌系統(tǒng)相繼被提出，例如Chen系統(tǒng)［5］，Liu系統(tǒng)［6］，T系統(tǒng)［7］等。近年來，對這些系統(tǒng)分岔問題的研究已成為熱點之一，其中關(guān)于Hopf分岔問題的研究有很好的結(jié)果，相關(guān)研究也被應(yīng)用到物理學(xué)、生物學(xué)、化學(xué)等眾多學(xué)科領(lǐng)域。在文獻［8］中，提出了一個新的Lorenz類系統(tǒng)，并研究了它的分岔規(guī)律，系統(tǒng)的動力學(xué)方程為

其中x，y，z為狀態(tài)變量，a，b，c，d為系統(tǒng)參數(shù)。系統(tǒng)含有6項，其中有4個線性項，與較其它的混沌或超混沌系統(tǒng)相比，系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)形式較為簡單，這為電路實現(xiàn)帶來方便。因此，系統(tǒng)在保密通信等領(lǐng)域具有潛在的應(yīng)用價值。

在流體系統(tǒng)中，蒸氣和流體在管道中的流動具有延遲;在通信系統(tǒng)中信號的傳輸會發(fā)生擁擠阻塞等現(xiàn)象;在種群生態(tài)系統(tǒng)中，捕食者在具有捕食能力之前大都需要一定的成長時間和成熟時間，因此，時滯在動力系統(tǒng)中是普遍存在的?；谶@樣的考慮，Lorenz類系統(tǒng)(2)中，給狀態(tài)變量施加時滯得到一個三維時滯系統(tǒng)，稱之為時滯Lorenz-like系統(tǒng)。

在Lorenz系統(tǒng)中考慮時滯現(xiàn)象，構(gòu)造一個時滯Lorenz-like系統(tǒng)為

其中τ(＞0)為時滯，可以理解為蒸氣或流體在管道中的流動延遲時間、信號傳輸?shù)淖璧K時間，也可以理解為捕食者的成熟所用的時間(生物生長周期)。

系統(tǒng)(3)具有3個平衡點，它們分別為

當系統(tǒng)(3)的參數(shù)a＞0、b＜0、c＞0、d＞0時，系統(tǒng)(1)具有唯一的平衡點O(0，0，0)。在此參數(shù)條件下，考慮系統(tǒng)(3)在平衡點O(0，0，0)處的穩(wěn)定性以及Hopf分岔的存在性。

1 時滯Lorenz-like系統(tǒng)在平衡點的穩(wěn)定性及其Hopf分岔

定理1 如果a＞0、b＜0、c＞0、d＞0，那么，

(1)當τ∈［0，τ0)時，系統(tǒng)(1)的平衡點O(0，0，0)是漸近穩(wěn)定的;

(2)當τ＞τ0時，系統(tǒng)(1)的平衡點O(0，0，0)是不穩(wěn)定的;

(3)當τ=τk(k=0，1，2，3，…)時，系統(tǒng)(1)在平衡點O(0，0，0)處發(fā)生Hopf分岔。

要證此定理，需要下述關(guān)于Hopf分岔存在條件的引理。

引理［3］假設(shè)系統(tǒng) ˙x=f(x，μ)在平衡點x0(μ)處的Jacobian矩陣具有一對虛特征根λ1，2=α(μ)±iω(μ)和實數(shù)根λj(μ)。若對于μ=μ0，成立下列各式

則μ=μ0為系統(tǒng)的Hopf分岔值，在μ＜μ0(或μ＞μ0)時，系統(tǒng)將產(chǎn)生一簇圍繞平衡點x0(μ)的極限環(huán)。

定理1的證明過程分為以下4個命題。系統(tǒng)(3)在平衡點O(0，0，0)處線性化系統(tǒng)為

線性系統(tǒng)(4)對應(yīng)的特征方程為

命題1 若τ=0，則系統(tǒng)(3)的平衡點O(0，0，0)是局部漸近穩(wěn)定［9］的。

證明 當τ=0時，特征方程(5)轉(zhuǎn)化為

因為參數(shù)a＞0、b＜0、c＞0、d＞0，所以易知(a+c)＞0，a(c－b)＞0，－abc＞0。

根據(jù)Routh-Hurwitz定理［9］可知，特征方程(4)的所有根都具有負實部。所以當τ=0時，系統(tǒng)(3)的平衡點O(0，0，0)是局部漸近穩(wěn)定的。

證畢。

命題2 當τ＞0時，方程(5)存在一個純虛根λ=iω(ω為一個正常數(shù))。

證明 由于只考慮虛根，方程(5)與以下方程等價

則虛部ω滿足

于是，

方程(9)可化為

接下來只需證，對于方程(10)至少有一個正實根。令u=ω2，則方程(10)可化為

設(shè)g(u)=u2－a2u－a2b2，不妨設(shè)g(u)=0的根為u1和u2，則由韋達定理易知

顯然u1，u2滿足u1×u2＜0，即g(u)=0必有一正實根，不妨設(shè)為u'＞0，此時有g(shù)(u')=0從而，顯然方程(10)至少有一個正實根。

證畢。

命題3 存在τk≠0，使得方程(5)的特征根λ(τ)=α(τ)+iω(τ)，滿足α(τk)=0，ω(τk)=ω0。

證明 設(shè)ω0為方程(10)的一個正實根，則方程(7)有一純虛根iω0。又由方程組(9)得

將ω=ω0代入方程(12)，則時滯τ的值為

因此(iω0，τk)是方程(7)的解，即λ=±iω0是時滯 τ=τk時方程(5)的一對共軛的純虛根。設(shè)τ0= min{τk}，則時滯τ=τ0是使得方程(5)出現(xiàn)純虛根λ=±iω0時τ的最小值。

證畢

證明 在方程(7)兩邊同時對τ求導(dǎo)，得

易得，

因為λ(τk)=iω0，所以有

即

證畢。

綜上所述，根據(jù)引理，定理1成立。

2 數(shù)值仿真

因為參數(shù)a＞0、b＜0、c＞0、d＞0，不妨取a=c=d=1，b=－1，這時系統(tǒng)為

利用Matlab軟件計算得，由ω4－a2ω2－a2b2=0，得ω0=1．272;再由，得τ0= 0．711 1。因此，由定理1可得下面的推論。

推論若a＞0、b＜0、c＞0、d＞0，則

(1)當τ∈［0，0．711 1)時，系統(tǒng)的平衡點O(0，0，0)是漸近穩(wěn)定的;

(2)當τ＞0．711 1時，系統(tǒng)的平衡點O(0，0，0)是不穩(wěn)定的;

(3)τ=0．711 1+1．572 3kπ (k=0，1，2，3，…)是系統(tǒng)的Hopf分岔值，即系統(tǒng)(2)在平衡點O(0，0，0)處發(fā)生Hopf分岔，產(chǎn)生極限環(huán)。

利用Matlab軟件，給出時滯τ取不同值時的系統(tǒng)的狀態(tài)變量隨時間t的軌線圖和相圖。由圖1可以看出，當時滯τ=0．7時，系統(tǒng)的狀態(tài)變量x，y，z的值隨時間t的逐漸增大而趨于平衡點O(0，0，0)，所以平衡點O(0，0，0)是漸近穩(wěn)定的。由圖2知，當時滯τ=0．711 1時，系統(tǒng)的狀態(tài)變量x，y，z的值隨時間t的增大永遠保持周期震蕩，說明系統(tǒng)在平衡點O(0，0，0)處發(fā)生了Hopf分岔，在相空間O－xyz上出現(xiàn)了極限環(huán)。

由圖3可以看出，系統(tǒng)的狀態(tài)變量x，y，z的值隨時間t增大而逐漸遠離平衡點，所以當時滯τ=0．72時，系統(tǒng)的平衡點O(0，0，0)是不穩(wěn)定的。

3 總 結(jié)

研究了時滯Lorenz-like系統(tǒng)在平衡點處的穩(wěn)定性與Hopf分岔。通過理論分析，給出了時滯Lorenz－like系統(tǒng)在平衡點處漸進穩(wěn)定的條件，以及發(fā)生Hopf分岔的條件。數(shù)值模擬驗證了理論分析的正確性。通過對時滯Lorenz－like系統(tǒng)的穩(wěn)定性與Hopf分岔分析，說明該時滯系統(tǒng)具有較豐富的動力學(xué)性態(tài)，為系統(tǒng)在實際中應(yīng)用提供理論基礎(chǔ)。

圖1 τ=0．7，x(t)=0．01，y(t)=0．02，z(t)=0．01 (t∈［－0．7，0］)時，x，y，z隨t的軌線

圖2 當τ=0．711 1，x(t)=y(t)=z(t)=0．01 (t∈［－0．3，0］)時，系統(tǒng)的相圖

圖3 當τ=0．72，x(t)=y(t)=z(t)=0．01 (t∈［－0．72，0］)時，x，y，z隨時間t的軌線

［1］TAN C W，VARGHESE N，VARAIYA P．Bifurcation chaos and voltage collapse in power systems［J］．Proceedings of the IEEE，1995，83:1484-1496

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［9］馬知恩，周義倉．常微分方程定性與穩(wěn)定性方法［M］．北京:科學(xué)出版社，2005

Research on Hopf Bifurcation of Lorenz-like Delay System

WANG Zhi-qiang，WANG Shu-ling，WU Ran-chao
(School of Mathematical Science，Anhui University，Hefei 230601，China)

With the development of power system，the stability of the equilibrium point and Hopf bifurcation are more and more important to the research on power system．This paper at first studies the condition for the equilibrium point existence in Lorenz-like delay system．Under this condition，the stability of the system at the equilibrium point is obtained by the analysis of the characteristic root distribution of the linearized system at the equilibrium point of the system．With the changing of delay parameters of the system，the stability of the delay system at the equilibrium point can change corresponding，and the condition for the existence of Hopf bifurcation of this delay system is studied by taking delay as bifurcation parameter．Finally the simulation by Matalb program tests the validity of the theoretical analysis．

Lorenz-like delay system;stability;limit cycle;Hopf bifurcation

O175

A

1672－058X(2015)02－0011－06

10．16055/j．issn．1672－058X．2015．0002．003

責(zé)任編輯:田 靜

2014－08－29;

2014－09－01．

高等學(xué)校博士學(xué)科點專項基金(20093401120001);安徽省自然科學(xué)基金(11040606M12);安徽大學(xué)“211項目”

(KJJQ1102)資助項目．

王志強(1993-)，男，安徽安慶人，從事微分方程與動力系統(tǒng)研究．

＊＊通訊作者:吳然超(1971-)，男，安徽六安人，教授，博士，從事微分方程與動力系統(tǒng)研究．Email:rcwu@ahu．edu．cn．