生長(zhǎng)學(xué)生個(gè)性共享思維智慧*
——應(yīng)用題教學(xué)的一次嘗試及感悟

☉江蘇省天一中學(xué)孫承輝 何志奇

生長(zhǎng)學(xué)生個(gè)性共享思維智慧*
——應(yīng)用題教學(xué)的一次嘗試及感悟

☉江蘇省天一中學(xué)孫承輝 何志奇

一、授課背景

2014年11月3日，江蘇省天一中學(xué)舉辦了第十屆全國(guó)“聚焦課堂·生長(zhǎng)課堂”大型研討活動(dòng)，筆者代表學(xué)校數(shù)學(xué)組開(kāi)設(shè)了一節(jié)交流研討課，課題為蘇教版必修1“函數(shù)模型及其應(yīng)用”（第一課時(shí)）.授課的班級(jí)為四星級(jí)重點(diǎn)高中的高一平行班，學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)較高，部分學(xué)生思維活躍，能很好地參與教學(xué)互動(dòng).

在評(píng)課過(guò)程中，聽(tīng)課老師表示這節(jié)課令人耳目一新，具有兩大特色：一是從學(xué)生“原生態(tài)”的學(xué)情出發(fā)，在生生互助、師生互動(dòng)中實(shí)現(xiàn)了釋疑解惑，學(xué)生的個(gè)性得到了生長(zhǎng)；二是教師給予學(xué)生充分的時(shí)間和空間，鍛煉了學(xué)生的數(shù)學(xué)表述能力，優(yōu)秀學(xué)生的思維智慧在全班學(xué)生中得到了共享.筆者將本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)和教學(xué)感悟整理如下，以期與同行探討交流.

二、教材分析

1.地位及作用

函數(shù)是描述客觀(guān)世界變化規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型，是研究變量之間依賴(lài)關(guān)系的有效工具.用函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)看實(shí)際問(wèn)題，也是學(xué)習(xí)函數(shù)的重要內(nèi)容.“函數(shù)模型及其應(yīng)用”是蘇教版必修1第三章最后一節(jié)，根據(jù)配套教師用書(shū)的建議，該節(jié)內(nèi)容的教學(xué)需要3～4個(gè)課時(shí).因此，筆者對(duì)第一課時(shí)的教學(xué)目標(biāo)定位為：在學(xué)生掌握了一些基本初等函數(shù)（如二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等）的基礎(chǔ)上，通過(guò)具體的生活實(shí)例，讓學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的情境建立函數(shù)模型（即學(xué)會(huì)“建?！保?，這是數(shù)學(xué)地解決問(wèn)題的關(guān)鍵，而將“解?！?、“還原”等環(huán)節(jié)的教學(xué)放入下一課時(shí).

2.目標(biāo)分析

（1）知識(shí)與技能：學(xué)會(huì)根據(jù)實(shí)際問(wèn)題的情境建立函數(shù)模型.

（2）過(guò)程與方法：通過(guò)審題理解實(shí)際背景，學(xué)會(huì)理清數(shù)量關(guān)系，運(yùn)用函數(shù)思想理解和處理現(xiàn)實(shí)生活中的簡(jiǎn)單問(wèn)題.

（3）情感、態(tài)度與價(jià)值觀(guān)：通過(guò)獨(dú)立探索和互動(dòng)交流，培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，以及數(shù)學(xué)交流的能力.

3.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：將實(shí)際問(wèn)題抽象化為函數(shù)模型.

教學(xué)難點(diǎn)：準(zhǔn)確理解題意和理清變量間的關(guān)系.

4.設(shè)計(jì)思路

對(duì)于高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的教學(xué)，一線(xiàn)教師普遍感覺(jué)難教、教不好.筆者產(chǎn)生了一個(gè)設(shè)想：適當(dāng)?shù)亟梃b翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)模式，構(gòu)建新穎的教學(xué)設(shè)計(jì)，嘗試突破應(yīng)用題難教的現(xiàn)狀.所以本節(jié)課的基本思路是：從學(xué)生“課前學(xué)習(xí)任務(wù)單”的反饋情況出發(fā)，提出核心問(wèn)題及相應(yīng)的子問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生在探索中思考，引導(dǎo)學(xué)生在互動(dòng)中交流，從而讓學(xué)生完成對(duì)知識(shí)的內(nèi)化.

三、教學(xué)過(guò)程

（一）課前活動(dòng)簡(jiǎn)介

課前活動(dòng)在課前展開(kāi)并完成，主要包括以下兩個(gè)環(huán)節(jié)：首先，讓學(xué)生觀(guān)看教學(xué)微視頻.該微視頻以“PPT語(yǔ)音講解+數(shù)位板手寫(xiě)輸入”的方式錄制，時(shí)長(zhǎng)5分9秒，主要介紹函數(shù)模型在日常生活中的應(yīng)用，并詳細(xì)講解教科書(shū)第98頁(yè)的例1，歸納了用函數(shù)觀(guān)點(diǎn)刻畫(huà)實(shí)際問(wèn)題的方法及注意點(diǎn).然后讓學(xué)生完成“課前學(xué)習(xí)任務(wù)單”.

（二）課堂活動(dòng)簡(jiǎn)錄

1.把脈學(xué)情，夯實(shí)基礎(chǔ)

上課伊始，教師對(duì)“課前學(xué)習(xí)任務(wù)單”進(jìn)行簡(jiǎn)要分析與點(diǎn)評(píng).對(duì)于每一道練習(xí)題，教師都投影出2～3個(gè)學(xué)生的不同解答，然后由學(xué)生辨別給出的解答是對(duì)還是錯(cuò)？如果錯(cuò)的話(huà)，又錯(cuò)在何處？而且能從錯(cuò)誤中得到建立函數(shù)模型的哪些注意點(diǎn)？

例如，對(duì)于必做題的第1題：已知等腰三角形的周長(zhǎng)是20，則底邊長(zhǎng)y關(guān)于腰長(zhǎng)x的函數(shù)解析式為_(kāi)_______.教師展示了圖1所示的三種典型答案：

圖1

學(xué)生1的回答是：“答案①?zèng)]有考慮函數(shù)的定義域；答案②考慮到函數(shù)的定義域，但忽視了三角形滿(mǎn)足兩邊之和大于第三邊；答案③是正確的.通過(guò)解這道題我知道建立函數(shù)模型要正確給出函數(shù)的定義域.”

教師再結(jié)合其他的幾道練習(xí)題，歸納了建模的三個(gè)注意點(diǎn)：（1）關(guān)注函數(shù)的定義域；（2）準(zhǔn)確理解題意；（3）學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)實(shí)際問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖：教師在課前對(duì)“學(xué)習(xí)任務(wù)單”的完成情況作了統(tǒng)計(jì)分析，有助于第一時(shí)間把握學(xué)情，從而為本節(jié)課的教學(xué)鋪設(shè)合理高效的思路.另外，教師將“原生態(tài)”的學(xué)情進(jìn)行投影反饋，并且由學(xué)生來(lái)點(diǎn)評(píng)，可以激發(fā)全班學(xué)生思考問(wèn)題的積極性，這比教師單純的說(shuō)教式點(diǎn)評(píng)更高效.這一環(huán)節(jié)暴露了學(xué)生“先學(xué)”所反饋出來(lái)的薄弱點(diǎn)，教師可因此對(duì)癥下藥，使學(xué)生的基礎(chǔ)夯得更實(shí)，也為“后教”指明了方向.

2.突出核心，深入探討

教師提出本節(jié)課所要討論的核心問(wèn)題：如何根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)模型？學(xué)生2和學(xué)生3分別代表兩個(gè)“思考題”小組講述了他們的思考成果，提綱如圖2所示.

圖2

在此基礎(chǔ)上，師生共同歸納根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)模型的要點(diǎn)：（1）仔細(xì)讀題，劃出關(guān)鍵詞，理清數(shù)量關(guān)系；（2）將生活語(yǔ)言翻譯為符號(hào)語(yǔ)言（如等式、不等式等）；（3）確定自變量和因變量，以及兩者之間的聯(lián)系，從而建立函數(shù)關(guān)系式.

設(shè)計(jì)意圖：圍繞本節(jié)課的核心內(nèi)容，教師在課堂上創(chuàng)設(shè)機(jī)會(huì)鼓勵(lì)學(xué)生大聲、大膽地表達(dá)，讓他們用原生態(tài)的語(yǔ)言將自己的真實(shí)思維水準(zhǔn)展現(xiàn)出來(lái).然后通過(guò)互動(dòng)交流，教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行深入討論，形成深刻理解，進(jìn)而做到了在碰撞中產(chǎn)生思維火花，在爭(zhēng)鳴中理清知識(shí)內(nèi)涵.

3.反饋練習(xí)，鞏固提升

教師投影了一道練習(xí)題：某汽車(chē)生產(chǎn)企業(yè)上年度生產(chǎn)汽車(chē)的投入成本為8萬(wàn)元/輛，出廠(chǎng)價(jià)為10萬(wàn)元/輛，年銷(xiāo)售量為12萬(wàn)輛.本年度為節(jié)能減排，對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行升級(jí)出廠(chǎng)價(jià)相應(yīng)提高的比例為0.75x，同時(shí)預(yù)計(jì)年銷(xiāo)售量增加的比例為0.5x.寫(xiě)出本年度預(yù)計(jì)的年利潤(rùn)y與投入成本增加的比例x的函數(shù)關(guān)系式.

學(xué)生獨(dú)立思考，教師巡視，然后前后左右的同學(xué)之間互相交流.教師用實(shí)物展臺(tái)投影了學(xué)生4的成果，并請(qǐng)他闡述解題思路和過(guò)程.最后，師生對(duì)反饋練習(xí)的結(jié)果作出評(píng)價(jià).

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)練習(xí)來(lái)反饋學(xué)生對(duì)建模的理解能力和掌握程度，然后由學(xué)生的示范講解讓所有學(xué)生共同經(jīng)歷讀題、審題、數(shù)據(jù)分析等過(guò)程，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)識(shí).教師在巡視過(guò)程中也能和學(xué)生進(jìn)行個(gè)性化交流.

4.探究拓展，展示成果

“課前學(xué)習(xí)任務(wù)單”給出了如下探究題：雪碧、可口可樂(lè)等350mL易拉罐飲料在市場(chǎng)上的銷(xiāo)量很大，細(xì)細(xì)觀(guān)察，它們的形狀和尺寸幾乎都是一樣的，這是為什么呢？這就涉及易拉罐（可近似地看作圓柱體）的最優(yōu)設(shè)計(jì).你能從函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)提出問(wèn)題并解決問(wèn)題嗎？

“探究題”小組從函數(shù)的觀(guān)點(diǎn)提出了自己的想法，并與全班學(xué)生進(jìn)行了分享.以下為學(xué)生4的演講實(shí)錄：

將易拉罐近似看作一個(gè)圓柱體，最優(yōu)設(shè)計(jì)無(wú)非兩種：（1）體積一定，用料最少；（2）用料一定，體積最大.我們組主要探究了前面一種.

從以上結(jié)論看出底部直徑與高之比為1∶1，但易拉罐的立面怎么看也不是個(gè)正方形，理論推算的結(jié)果與實(shí)際情況不符合，這是為什么呢？通過(guò)稱(chēng)重量發(fā)現(xiàn)，底部用料大約是頂部用料的2～3倍.

方法一：用導(dǎo)數(shù)求解；方法二：仍然用均值不等式求解.

結(jié)論：h=4r=2D，即直徑與高的比值為1∶2時(shí)為最優(yōu)設(shè)計(jì).經(jīng)測(cè)量可知易拉罐底面直徑為6.4cm，高為11.6cm，大致符合以上結(jié)論.

以上用到的導(dǎo)數(shù)和均值不等式等知識(shí)是我們課后自學(xué)的.

另外，易拉罐為什么要做成圓柱體呢？我們小組研究后認(rèn)為：第一，從物理學(xué)角度看，在底面積相同的條件下，圓形底面使易拉罐最不容易倒.第二，用手去握住的話(huà)，受力比較均勻.第三，若受到外力碰撞，對(duì)外界的力有傳導(dǎo)分流作用.第四，內(nèi)部裝碳酸飲料，有氣體的話(huà)不易爆罐.第五，方便自動(dòng)售貨機(jī)出售等.

設(shè)計(jì)意圖：從日常生活中的事物出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)易拉罐的設(shè)計(jì)進(jìn)行深入思考和探究，讓學(xué)生學(xué)會(huì)提出問(wèn)題.愛(ài)因斯坦說(shuō)：“提出一個(gè)問(wèn)題往往比解決一個(gè)問(wèn)題更為重要，……提出新的問(wèn)題、新的可能性，……需要?jiǎng)?chuàng)造性的想像力，而且標(biāo)志著科學(xué)的真正進(jìn)步.”當(dāng)發(fā)現(xiàn)知識(shí)不夠用時(shí)，學(xué)生會(huì)主動(dòng)地尋求解決之道（如翻閱教科書(shū)，向老師或?qū)W長(zhǎng)請(qǐng)教等），這些學(xué)習(xí)能力都會(huì)使他們終身受益的.

四、教后感悟

1.應(yīng)用題教學(xué)要立足基本學(xué)情，展示學(xué)生的數(shù)學(xué)思維狀態(tài)

“高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題解決是個(gè)復(fù)雜而又龐大的系統(tǒng)工程.”［1］高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題難教難學(xué)的現(xiàn)狀，一方面是由應(yīng)用題本身的特點(diǎn)決定的，如閱讀量大、情境陌生等；另一方面與教師的教學(xué)方式有很大關(guān)系，如果教師過(guò)于包辦，把解題的思路講解得頭頭是道，那么學(xué)生可能會(huì)覺(jué)得課上聽(tīng)得懂，課后自己解題卻不知所措.

突破以上難點(diǎn)的一種有效方法就是教師在教學(xué)前深入地了解學(xué)情.“課前學(xué)習(xí)任務(wù)單”的題量小，難度低，但選題典型，可以迅速地反饋學(xué)生在解應(yīng)用題方面的薄弱點(diǎn).另外，讓學(xué)生用自己的話(huà)說(shuō)一說(shuō)如何建立函數(shù)模型，可以真實(shí)地反映他們的思維狀態(tài).如學(xué)生5所說(shuō)：“通過(guò)仔細(xì)地審題……判斷具體使用哪一種函數(shù)”，他對(duì)建立函數(shù)模型的方式還停留在套用熟悉的函數(shù)模型，這時(shí)教師可以結(jié)合實(shí)例，使他認(rèn)識(shí)到應(yīng)該根據(jù)變量間的關(guān)系列式，有時(shí)所列的函數(shù)關(guān)系式未必是自己熟悉的.這樣的交流有助于教師發(fā)掘?qū)W生的認(rèn)知現(xiàn)狀和思維誤區(qū)，從而完善學(xué)生的知識(shí)結(jié)構(gòu).

2.應(yīng)用題教學(xué)要立足知識(shí)難點(diǎn)，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)

應(yīng)用題教學(xué)的目的不是教會(huì)學(xué)生會(huì)解哪些類(lèi)型的應(yīng)用題，而是讓學(xué)生經(jīng)歷審題、建模、解模、還原等過(guò)程，提高他們的閱讀理解能力、數(shù)學(xué)建模能力和數(shù)學(xué)求解能力.

建立數(shù)學(xué)模型，也就是“引入數(shù)學(xué)符號(hào)及語(yǔ)言，將系統(tǒng)要素及結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為空間形式或數(shù)量關(guān)系，這是由具體到抽象的過(guò)程.”［2］在這個(gè)過(guò)程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生身臨其境地進(jìn)入應(yīng)用題的情境里，“要善于想象客體的變化過(guò)程”，［3］在把握問(wèn)題情境的基礎(chǔ)上，收集和整理相關(guān)的數(shù)據(jù)，分析題目中的數(shù)量關(guān)系，并將其翻譯為數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言，從而建立起與原來(lái)實(shí)際問(wèn)題“合拍”的數(shù)學(xué)模型.另外，在課堂內(nèi)外，教師也要抓住生活中的契機(jī)，如易拉罐的最優(yōu)設(shè)計(jì)問(wèn)題等，讓學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地提出問(wèn)題，增強(qiáng)他們的數(shù)學(xué)建模意識(shí).

3.應(yīng)用題教學(xué)要立足綜合素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力

在應(yīng)用題教學(xué)中，教師可以放手讓學(xué)生講述問(wèn)題解決的經(jīng)歷，尤其是審題和建模環(huán)節(jié).高中數(shù)學(xué)課程的具體目標(biāo)之一是提高“數(shù)學(xué)表達(dá)和交流的能力，發(fā)展獨(dú)立獲取數(shù)學(xué)知識(shí)的能力.”［4］應(yīng)用題的信息量大，能夠把自己如何讀題、如何分析數(shù)據(jù)等過(guò)程有條理地表達(dá)出來(lái)，這本身就是學(xué)生優(yōu)秀素養(yǎng)的表現(xiàn)，而且這種互動(dòng)交流“使整個(gè)課堂成為一個(gè)巨大的信息場(chǎng)，學(xué)生所獲得的信息量遠(yuǎn)比單一的師生對(duì)話(huà)要多.”［5］

“這道題目要求的是……，所以我想到要先求出……”，“我只想到了這一步，下面解不下去了……”等，無(wú)論是成功地解答出來(lái)還是遭遇到一時(shí)的挫折，學(xué)生用這些原生態(tài)的語(yǔ)言表述了自己的思考和困惑.盡管學(xué)生的表述未必很科學(xué)，但從長(zhǎng)遠(yuǎn)來(lái)看，學(xué)生在數(shù)學(xué)表達(dá)的活動(dòng)中提升了自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，同時(shí)，素養(yǎng)的提升又進(jìn)一步培養(yǎng)了自己的數(shù)學(xué)表達(dá)能力.

1.李俊.談高中數(shù)學(xué)應(yīng)用題的有效教學(xué)［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2014（9）.

2.趙明連.在文本和模型之間——關(guān)于應(yīng)用題建模教學(xué)和評(píng)價(jià)的若干問(wèn)題研究初探［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2009（4）.

3.裴光亞.高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的研究［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，2000（3）.

4.中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

5.李善良，葛軍.高中新課程問(wèn)題與對(duì)策：數(shù)學(xué)［M］.上海：上海教育出版社，2012.F

*本文是江蘇省無(wú)錫市教育科學(xué)“十二五”立項(xiàng)課題“高中數(shù)學(xué)教師專(zhuān)業(yè)能力提升的有效策略研究”（課題編號(hào)C/D/2014/001）的階段研究成果．