“形”變而“神”不變
——例談高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中問(wèn)題變式的類型

☉江蘇省震澤中學(xué) 郭建理

“形”變而“神”不變
——例談高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中問(wèn)題變式的類型

☉江蘇省震澤中學(xué) 郭建理

前蘇聯(lián)心理學(xué)家、教育學(xué)家維果茨基在教學(xué)與發(fā)展的關(guān)系上提出了“最近發(fā)展區(qū)理論”，指出教學(xué)中學(xué)生智力的兩種發(fā)展水平：一是已經(jīng)達(dá)到的發(fā)展水平，表現(xiàn)為學(xué)生能夠獨(dú)立解決問(wèn)題的智力水平，二是即將達(dá)到的發(fā)展水平，表現(xiàn)為在有指導(dǎo)的情況下，憑借他人幫助所能達(dá)到解決問(wèn)題的智力水平，兩種水平之間的差異稱為“最近發(fā)展區(qū)”.［1］高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中怎樣讓學(xué)生跨越“最近發(fā)展區(qū)”這一既熟悉又陌生，充滿趣味和挑戰(zhàn)的智力空間？使學(xué)生醍醐灌頂而茅塞頓開(kāi)，像習(xí)武之人打通了任督二脈，周天運(yùn)行而融會(huì)貫通，根據(jù)維果茨基在社會(huì)文化學(xué)說(shuō)中主張的“搭建腳手架”的理念，教學(xué)中我們也要為學(xué)生“搭建腳手架”，這種“支架式教學(xué)”實(shí)施的最有效的手段之一就是課堂上進(jìn)行變式教學(xué)，讓學(xué)生緣架求索，拾級(jí)而上，進(jìn)而最大限度地使學(xué)生的思維和創(chuàng)新能力達(dá)到“潛在的水平”.

高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的“變式”就是相對(duì)于數(shù)學(xué)教材中的具體知識(shí)、典型問(wèn)題、思維模式等的變通形式，教學(xué)中不斷變更問(wèn)題的情境或改變思維的角度，在保持問(wèn)題本質(zhì)內(nèi)涵屬性不變的情況下，使事物外顯的非本質(zhì)屬性不斷地“變臉”.高中數(shù)學(xué)中的變式教學(xué)就是在數(shù)學(xué)課堂上通過(guò)變式的方法進(jìn)行技能與思維培養(yǎng)訓(xùn)練的教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題多角度、多層次地探究和思考，使學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，引導(dǎo)學(xué)生從“變”的外顯現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)內(nèi)涵，像舞臺(tái)上的“變臉”絕技盡管讓人感覺(jué)眼花繚亂，但表演者真實(shí)的“面貌”并沒(méi)發(fā)生改變，所謂的“形”變而“神”不變.洗盡鉛華顯本真，變式教學(xué)中怎樣練就學(xué)生一雙火眼金睛？透過(guò)變化的“形”，透視不變的“神”，本文就高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中變式教學(xué)的問(wèn)題變式類型結(jié)合教學(xué)實(shí)踐案例談一點(diǎn)自己的看法.

高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)中的問(wèn)題變式基本類型根據(jù)解決問(wèn)題的思維展開(kāi)方式可分為水平變式、垂直變式［2］和輻射變式.本文以高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中的“不等式”章節(jié)為藍(lán)本，展示幾種典型問(wèn)題的變式，并做案例剖析.

一、水平變式：“鏡面上的舞蹈”

在同一個(gè)思維水平上，不加重學(xué)生認(rèn)知負(fù)荷的前提下，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行的變式，或重復(fù)強(qiáng)化、或各個(gè)擊破，目的是為了讓學(xué)生體驗(yàn)到同類型問(wèn)題的變化情況，更全面、全方位地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問(wèn)題不變的本質(zhì)特征，見(jiàn)下面案例.

案例1若不等式|x+3|+|x-1|≥a恒成立，求a的取值范圍.

變式1：若方程|x+3|+|x-1|-a=0有解，求a的取值范圍.

變式2：已知函數(shù)f（x）=|x+3|+|x-a|≥1，?x∈R恒成立，求a的取值范圍.

變式3：若不等式|log2x+3|+|log2x-1|-a≥0，?x∈R+恒成立，求a的取值范圍.

變式4：已知函數(shù)y=|ex+3|+|ex-1|的值為4，求x的取值范圍.

變式5：已知a∈R，若關(guān)于x的方程x2+4x+|a-4|+|a|=0有實(shí)數(shù)根，求a的取值范圍.

變式6：已知函數(shù)f（x）=|x+1|+|x-a|的圖像關(guān)于直線x= 1對(duì)稱，求a的值.

變式7：已知函數(shù)f（x）=|x-k|+|x-2k|，若?x∈N+，f（x）≥f（3）=f（4）均成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

變式8：若不等式|x+3|-|x-1|≥a恒成立，求a的取值范圍.

變式9：若不等式|x+3|-|x-1|≥a的解集不是空集，求a的取值范圍.

變式10：不等式|2x+3|-|2x-1|≥a的解集不是空集，求a的取值范圍.

變式11：不等式|x+3|-|x-1|≤a2-3a對(duì)任意的x∈R恒成立，求a的取值范圍.

變式12：已知函數(shù)f（x）=|x+1|-|x-a|的圖像關(guān)于點(diǎn)（1，0）成中心對(duì)稱，求a的值.

案例剖析：對(duì)兩個(gè)絕對(duì)值和與差的函數(shù)圖像與性質(zhì)的考查近年來(lái)高考命題中比比皆是，這一變式題組體現(xiàn)出兩個(gè)中心：“函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-b|與f（x）=|x-a|-|x-b|的形狀和性質(zhì)”，三個(gè)基本點(diǎn)“方程有解、不等式有解、不等式恒成立”處理方法的關(guān)系，該問(wèn)題串形神兼?zhèn)?，以不同的條件變化，加強(qiáng)了對(duì)函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-b|與函數(shù)f（x）= |x-a|-|x-b|的圖像形狀，以及值域、單調(diào)性、對(duì)稱性等性質(zhì)的理解和認(rèn)識(shí)，體現(xiàn)出方程有解、不等式有解、不等式恒成立三種條件下求參數(shù)取值范圍的統(tǒng)一的解題方法：分離參數(shù)（含參代數(shù)式）、轉(zhuǎn)化成最值、數(shù)形結(jié)合，如變式5可分離含參數(shù)式|a-4|+|a|=-x2-4x，則|a-4|+|a|=-x2-4x= -（x+2）2+4，即|a-4|+|a|≤4，而|a-4|+|a|≥4，則|a-4|+|a|=4，由圖像知0≤a≤4，該題組是在問(wèn)題的條件不斷變換的基礎(chǔ)上，體現(xiàn)了水平變式中一題多變的重要途徑：參變?cè)奶娲?；?wèn)題形式的改變；問(wèn)題類型的變換；解題方法的轉(zhuǎn)變.其中滲透了兩大重要的數(shù)學(xué)思想：數(shù)學(xué)結(jié)合思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.

水平變式就像“鏡面上的舞蹈”，要引領(lǐng)學(xué)生在鏡面上翩翩起舞，對(duì)解題過(guò)程與結(jié)論進(jìn)行反思，幫助學(xué)生內(nèi)化“歸一”，全面理解掌握問(wèn)題的“本質(zhì)屬性”，形成具有可操作性的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在“形”變的氛圍中，突顯“神”不變的核心，力求通過(guò)畫龍點(diǎn)睛之作，達(dá)到觸類旁通的效果.

二、垂直變式：“長(zhǎng)河里的逆水行舟”

解決問(wèn)題的思維水平呈直線型向縱深發(fā)展，在不斷增加學(xué)生認(rèn)知負(fù)荷的前提下，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變式.問(wèn)題設(shè)計(jì)時(shí)或?qū)φn本習(xí)題的“深加工”、或?qū)?jīng)典試題的解析嘗試，以展示知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程；展示數(shù)學(xué)問(wèn)題的結(jié)構(gòu)和演變過(guò)程；展示解決問(wèn)題的思維過(guò)程，使得“思維的體操”進(jìn)行有效的訓(xùn)練，通過(guò)數(shù)學(xué)問(wèn)題富于變化的“形”，更加深刻地認(rèn)識(shí)趨于明朗化的“神”.見(jiàn)下面案例.

以上變式實(shí)現(xiàn)了思維能力的三次飛躍：從“乘以常數(shù)，除以常數(shù)”的常規(guī)解法到“發(fā)現(xiàn)構(gòu)造新常數(shù)”，再到“代數(shù)式的變形后觀察新常數(shù)”，立足點(diǎn)在“常數(shù)”的運(yùn)用上；突破點(diǎn)在“代數(shù)式”的變形上；結(jié)合點(diǎn)在“變形后條件與結(jié)論關(guān)系”的觀察上；制高點(diǎn)在“變形后因果關(guān)系”的運(yùn)用上，問(wèn)題變式中變換問(wèn)題的條件和結(jié)論、變換問(wèn)題的形式，使本質(zhì)的東西更全面，使學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)不只是停留于事物的表象，而能自覺(jué)地從本質(zhì)看問(wèn)題，比較全面地觀察問(wèn)題，尋求事物之間的聯(lián)系，從而理解問(wèn)題的本質(zhì).教學(xué)上一題多用，多題重組，給人一種新鮮、生動(dòng)的感覺(jué)，以喚起學(xué)生的好奇心和求知欲，克服和減少學(xué)生思維僵化及思維惰性，引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從而更深刻地理解課堂教學(xué)的內(nèi)容，培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.

垂直變式就像“長(zhǎng)河里的逆水行舟”，越往上游阻力越大，要挺立潮頭，劈波斬浪，就要把握垂直變式的特點(diǎn)：垂直變式中問(wèn)題的難度由“淺”入“深”，分級(jí)遞進(jìn)；問(wèn)題解決方法呈現(xiàn)出層次性、梯度性及可比性；解題思維能力螺旋式地層層提升，教學(xué)時(shí)要立足緩坡度、慢轉(zhuǎn)彎、小步走的原則，循序漸進(jìn)，誘生深入，方能漸入佳境，這樣有利于學(xué)生將一個(gè)個(gè)孤立的知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)起來(lái)，形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，從而達(dá)到融會(huì)貫通的教學(xué)目的.

三、輻射變式：“夜空中的煙花”

解決問(wèn)題的思維方式呈現(xiàn)發(fā)散性，通過(guò)聯(lián)想、類比、遷移等途徑來(lái)解決問(wèn)題，在不斷增加學(xué)生認(rèn)知負(fù)荷的前提下，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行變式.問(wèn)題設(shè)計(jì)時(shí)往往打破知識(shí)的章節(jié)、單元框框，跨越式地將知識(shí)點(diǎn)連成片，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)解題方法的“時(shí)空穿越”，是復(fù)習(xí)課中建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的過(guò)程，見(jiàn)下面案例.

案例3設(shè)f（x）=ax2+bx，若-1≤f（-1）≤2，2≤f（2）≤4，求點(diǎn)（a，b）的集合表示的平面區(qū)域的面積.

變式1：已知函數(shù)f（x）=ax2+bx，且1≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，求f（-2）的取值范圍.

變式2：設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，若1≤a5≤4，2≤a6≤3，求S6的取值范圍.

變式3：設(shè)等差數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn，若S4≥10，S5≤15，求a4的最大值.

變式5：各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛an｝中，若a1≥1，a2≤2，a3≥3，求a4的取值范圍.

案例剖析：案例3是蘇教版教材高中數(shù)學(xué)必修5第95頁(yè)11題，問(wèn)題變式的設(shè)計(jì)空間跨度大，輻射性強(qiáng)，知識(shí)遷移能力得到了訓(xùn)練，雖然均可以采用線性規(guī)劃的解答方法，多題一解，但過(guò)程較煩瑣.由案例3求可行域面積這一線性規(guī)劃的基本問(wèn)題設(shè)置了變式1，即由造的背景，使學(xué)生利用線性規(guī)劃的解題思想油然而生，為體現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題的一題多解和知識(shí)的橫向聯(lián)系，在柳暗花明中又一村閃現(xiàn)在學(xué)生的腦海，此題亦可以采用待定系數(shù)法，得到簡(jiǎn)潔明快的解答過(guò)程：設(shè)m（a+b）+n（a-b）=f（1）+3f（-1）.因?yàn)?≤f（-1）≤2，2≤f（1）≤4，所以5≤f（-2）≤10.另外變式1要注意對(duì)謬解的辨析：由已知得［3，12］，去偽存真，需要師生共同探討，正本清源，找出b）所確定的可行域的形狀由平行四邊形變成了矩形.為了強(qiáng)化通性通法設(shè)計(jì)了變式2，變式3，兩個(gè)變式依不同的角度，從不等式的范疇跨越到數(shù)列變式4類比待定系數(shù)法的線性表示，在老師的啟發(fā)誘導(dǎo)下讓同學(xué)們嘗試如下解法，令人耳目一新的同時(shí)，也找到了解決這一類題“神”就是“在不打破整體范圍的情況下，利用兩個(gè)整體去表示第三個(gè)整體”.變式5就是這一中心思想的高水平

輻射變式就像“夜空中的煙花”，無(wú)論哪一朵以哪種方式飛翔，無(wú)論飛向哪個(gè)方向，都是一樣地綻放火花，一樣地流光溢彩.以上變式題組通過(guò)類比的手法，發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的“交匯點(diǎn)”：線性規(guī)劃的思想；尋找問(wèn)題的“切入點(diǎn)”：待定系數(shù)法；辨析問(wèn)題的“易錯(cuò)點(diǎn)”：整體范圍，不可打破；探究問(wèn)題的“著力點(diǎn)”：若干整體表示一個(gè)整體；夯實(shí)問(wèn)題的“落腳點(diǎn)”：待定系數(shù)法與線性規(guī)劃的融合.變式中將問(wèn)題解決的思想和方法串線連網(wǎng)，在知識(shí)的時(shí)空中“穿越”，注重培養(yǎng)學(xué)生的知識(shí)遷移能力，一題多變，多題一解，融匯貫通，渾然一體，另辟蹊徑，八面玲瓏.

四、案例剖析綜述

三種問(wèn)題變式類型中的f（x）=|x-a|+|x-b|水平變式注重基本知識(shí)的學(xué)習(xí)，加強(qiáng)基本解題思想的掌握及基本能力的培養(yǎng)；垂直變式則是對(duì)問(wèn)題的不斷深化提高，是對(duì)問(wèn)題的認(rèn)識(shí)和理解更上一層樓，更加深刻到位；輻射變式是把問(wèn)題放在整個(gè)高中數(shù)學(xué)的全局上思考變換問(wèn)題，是通盤上的知識(shí)遷移、類比、拓展和升華，旨在編織知識(shí)網(wǎng)絡(luò).三種變式方法往往不是“單兵作戰(zhàn)”的，教學(xué)中對(duì)一類問(wèn)題的變式常常運(yùn)用三種變式的“聯(lián)盟”展開(kāi)：如案例1亦可作垂直變式，變式13：若函數(shù)（fx）＝|x+1|+|2x+a|的最小值為3，求實(shí)數(shù)a的值；變式14：設(shè)實(shí)數(shù)a使得不等式|2x-a|+|3x-2a|≥a2對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求滿足條件的實(shí)數(shù)a的范圍.上述兩個(gè)垂直變式相對(duì)于案例1的其他變式是“顛覆性”的，改頭換面并沒(méi)有改變此類問(wèn)題的“神”：函數(shù)（fx）=|x-a|+|x-b|圖像的描繪方法及圖像特征，x系數(shù)的改變使形如（fx）=|x-a|+|x-b|的函數(shù)歸為一般化，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是函數(shù)取得最值點(diǎn)的位置考查；案例1亦可作輻射變式，變式15：已知函數(shù)（fx）是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，（fx）（|x-a2|+|x-2a2|-3a2）.若?x∈R，（fx-1）≤（fx），求實(shí)數(shù)a的取值范圍.變式15的動(dòng)作較大，可謂大刀闊斧，面目全非，輻射廣，綜合性強(qiáng)，但“不變之根基”仍是（fx）＝|x-a2|+|x-2a2|的圖像特征，根據(jù)奇函數(shù)圖像的性質(zhì)畫出函數(shù)（fx）（|x-a2|+|x-2a2|-3a2）的圖像，利用數(shù)形結(jié)合的方法轉(zhuǎn)化為6a2≤1.

美國(guó)著名數(shù)學(xué)家波利亞曾說(shuō)：“一個(gè)專心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義的但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題，就好像通過(guò)一道門戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域”［4］高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)中我們要幫助學(xué)生成功跨過(guò)“最近發(fā)展區(qū)”，問(wèn)題變式教學(xué)中就要靈活創(chuàng)新地運(yùn)用三種問(wèn)題變式類型，通過(guò)強(qiáng)化、類比、拓展、延伸、遷移，設(shè)計(jì)問(wèn)題變式題組，構(gòu)筑知識(shí)框架，建構(gòu)“思維場(chǎng)域”，以“形”變而“神”不變?yōu)椤盎c(diǎn)”，點(diǎn)點(diǎn)突破，層層深入，步步登高.

“紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行”，源于課本，高于課本，擅于變式，重于嘗試，是高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)中變式教學(xué)的基本原則，題海無(wú)邊，變式是岸，讓我們手擎“變式教學(xué)”這一神奇“魔棒”，在問(wèn)題的變式上審時(shí)度勢(shì)，匠心獨(dú)運(yùn)，化茫茫無(wú)邊題海為岸邊柳綠桃紅，讓“變式教學(xué)”這支神來(lái)之筆，在高中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)的畫卷上畫龍點(diǎn)睛，妙筆生花.

1.張春興.教育心理學(xué)［M］.杭州：浙江教育出版社，2000.

2.張奠宙.中國(guó)數(shù)學(xué)雙基教學(xué)［M］.上海：上海教育出版社，2006.

3.郭建理.問(wèn)題導(dǎo)學(xué)教學(xué)模式引領(lǐng)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)的思考與實(shí)踐［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（1）.

4.【美】G.波利亞.怎樣解題［M］.上海：上?？茖W(xué)出版社，1982.A