學(xué)生對參數(shù)的認(rèn)識、應(yīng)用困難歸因及其突破

☉江蘇省六合高級中學(xué) 樊必業(yè)

學(xué)生對參數(shù)的認(rèn)識、應(yīng)用困難歸因及其突破

☉江蘇省六合高級中學(xué) 樊必業(yè)

一、問題提出

在教學(xué)和考試中經(jīng)常會(huì)碰上參數(shù)的求解和討論方面的問題，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生很“怵”它們，教師講解、學(xué)生練習(xí)，題做了不少，但總是難盡人意.查尋資料，閱讀期刊，多半是“參數(shù)法（參數(shù)思想）+例子”的堆砌，鮮有從學(xué)生認(rèn)知心理、知識和方法的內(nèi)在邏輯聯(lián)系、思維策略的選擇與優(yōu)化等角度進(jìn)行剖析，針對這些問題或現(xiàn)象，本文力圖從學(xué)生的視角找出對參數(shù)的認(rèn)識、應(yīng)用中的疑難困惑所在，并把它們作為教學(xué)改進(jìn)的依據(jù)，給出在具體教學(xué)實(shí)踐中的一些建議，期望通過這些努力能對參數(shù)學(xué)習(xí)有改善和促進(jìn)作用.

二、學(xué)生對參數(shù)的認(rèn)識、應(yīng)用困難歸因

學(xué)生對參數(shù)認(rèn)識、應(yīng)用上的困難原因是多方面的，本文主要從概念、思想和思維三個(gè)維度進(jìn)行分析.

1.概念上的模糊：不清楚參數(shù)是什么樣的量

概念上的模糊是影響學(xué)生對參數(shù)的認(rèn)識、應(yīng)用困難的第一因素.教材對參數(shù)的定義是很晚的，出現(xiàn)在選修4-4“坐標(biāo)系與參數(shù)方程”，是為了研究參數(shù)方程而提出的：一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y）都是某個(gè)變數(shù)t的函數(shù)并且對于t的每一個(gè)允許值，由方程組所確定的點(diǎn)M（x，y）都在這條曲線上，那么方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程，聯(lián)系變數(shù)x，y的變數(shù)t叫做參變數(shù)，簡稱參數(shù).從這一敘述中可以看出，參數(shù)是參變數(shù)的簡稱，它的主要特征還是變數(shù)，只是相對于變數(shù)x，y而處于從屬地位；同時(shí)我們又必須指出，這里參數(shù)的提法是建立在曲線的參數(shù)方程這一概念基礎(chǔ)下的，更準(zhǔn)確地說，參數(shù)t是x，y的共同的自變量，x，y都是t的函數(shù)，正因?yàn)閠是x，y的共同的自變量，從而成為溝通變量x，y的橋梁，或者在x，y之間的關(guān)系不易直接發(fā)現(xiàn)的時(shí)候，通過參變量來搭橋.那么，參數(shù)僅在這一范疇里出現(xiàn)嗎？顯然不是，從初中學(xué)習(xí)代數(shù)，從字母代數(shù)的思想出現(xiàn)以后，方程的系數(shù)、函數(shù)的系數(shù)經(jīng)常會(huì)遇到字母表示的形式，這在研究方程、函數(shù)類型的一般化時(shí)是不可避免的，如一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0），反比例函數(shù)y=（k≠0）的比例系數(shù)k，進(jìn)入高中研究函數(shù)就更多了，指數(shù)函數(shù)y=ax和對數(shù)函數(shù)y=logax中的底數(shù)a，冪函數(shù)y=xa的指數(shù)a，正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）中的A，ω，φ等，這些字母系數(shù)也是參數(shù)，但它們的含義同參數(shù)方程中的參數(shù)的含義是不一樣的，更多的是“常量”、“不變的數(shù)”的意義，但同時(shí)，它的取值還有“在哪一范圍”的不確定因素（有時(shí)可以規(guī)定），故又有“變”的可能，如反比例函數(shù)中的k分為k＞0，k＜0，指對數(shù)函數(shù)中的a分為0＜a＜1，a＞1等，這里，參數(shù)起到了確定函數(shù)（或方程）類別屬性的作用，影響到函數(shù)的性態(tài)差異.我們還要特別指出一個(gè)特例，即常量函數(shù)y=a，這里a不是自變量，從對應(yīng)說解釋“每一個(gè)x的值都與數(shù)a對應(yīng)”，這里a是常量，是不變量.

由上述分析，不難看出參數(shù)的概念不是“想當(dāng)然”的那樣簡單明了，不是那種不講自明的東西，參數(shù)概念具有相對的范疇和前提，它與常量、變量具有交叉的關(guān)系，是個(gè)相對概念：在參數(shù)方程中，參數(shù)是變數(shù)；作為函數(shù)表達(dá)式中的字母系數(shù)，它具有雙重身份，一方面，相對于自變量x和因變量（函數(shù)）y它應(yīng)視為常數(shù)，在字母代數(shù)的可能性上，又有范圍分類的傾向決定函數(shù)的類別屬性，需考慮它的“變”的一面.所以，學(xué)生對參數(shù)認(rèn)識、應(yīng)用的困難，首先是參數(shù)概念自身的“模糊性”帶來學(xué)生認(rèn)識上的模糊：不清楚參數(shù)是什么性質(zhì)的量.

2.思想上的盲目：不知道參數(shù)是用來干啥的

思想上的盲目是學(xué)生認(rèn)識、應(yīng)用參數(shù)的困難的第二因素.碰到字母問題需要分類討論，相信每位數(shù)學(xué)老師不知苦口婆心強(qiáng)調(diào)了多少遍，問幾個(gè)常見問題：你的學(xué)生對“偽”二次問題是不是能自覺做到先考查二次系數(shù)為0的情形，還是動(dòng)輒一上來就是判別式、求根公式或韋達(dá)定理？正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖像由正弦函數(shù)變換得來學(xué)生是不是總是糾結(jié)到底左右平移“|φ|個(gè)單位”用換元法解題時(shí)是不是經(jīng)常“忘掉”“新元”范圍？用待定系數(shù)法時(shí)在未具體求解之前能清醒地考慮按參數(shù)的個(gè)數(shù)設(shè)計(jì)方程的個(gè)數(shù)嗎？現(xiàn)在大家都知道數(shù)學(xué)思想方法的重要性，也經(jīng)常將函數(shù)方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想等掛在嘴邊，學(xué)生聽得不少了，他也分類討論，但偏偏“忘”了二次系數(shù)為0的情形；講了平移變換、伸縮變換，很好地運(yùn)用化歸轉(zhuǎn)化思想，就是沒弄明白參數(shù)A、ω、φ間的分工與合作；換元法是個(gè)好東西，卻因?yàn)闆]考慮新元（參數(shù)）范圍而沒能得到“好結(jié)果”；有幾個(gè)系數(shù)（參數(shù)）待定就列幾個(gè)關(guān)于該待定系數(shù)（參數(shù)）的方程，目標(biāo)明確的很，可就是有人沒弄明白.說來簡單，思想方法上的盲目套用、瞎拼亂湊都是因?yàn)椤安恢绤?shù)是用來干啥的”.當(dāng)然，往深處再想想，也離不開參數(shù)“概念上的模糊”：不知是啥怎知咋用？

3.思維上的混亂：把握不好如何用和用好參數(shù)

思維上的混亂是學(xué)生認(rèn)識、應(yīng)用參數(shù)的困難的又一原因.主要體現(xiàn)在兩類問題的處理上，一是給定限制條件的含參函數(shù)求參變量的取值范圍問題；二是解析幾何參數(shù)法求軌跡方程問題.前者的困難一般是很難甚至是找不到原問題的等價(jià)命題，需要從必要性或充分性入手，分解、檢驗(yàn)、討論參數(shù)的不同情形是否滿足原命題，再整合得出原問題的解答，對思維的創(chuàng)新性、深刻性要求極高；對于參數(shù)法求軌跡方程問題，思維上的混亂主要是對“引參、用參、消參”的程序不清晰，缺乏對“（含參數(shù)的）方程的個(gè)數(shù)比參數(shù)的個(gè)數(shù)多1個(gè)”這一消參的基本指導(dǎo)思想的領(lǐng)悟和引導(dǎo).參數(shù)，顧名思義有參考之?dāng)?shù)、參照之?dāng)?shù)的意味，從某種意義上理解為臨時(shí)性的過渡橋梁工具，講得“不地道”些，過河是要拆橋的.如果引進(jìn)的參數(shù)比較多，在消參階段學(xué)生一般會(huì)“頭暈”，甚至?xí)岩上麉⒌目尚行?，從根本上?dòng)搖自己的思路選擇和判斷.

三、教學(xué)建議

在以上分析的基礎(chǔ)上，我們提出下面三點(diǎn)教學(xué)建議.

1.借助具體問題，在常量、變量與參變量的多次比較中認(rèn)識參數(shù)的“雙重”身份

參數(shù)的概念可以早一點(diǎn)告訴學(xué)生，當(dāng)然應(yīng)借助具體問題和載體，通過將參數(shù)與常量、變量多次比較，反復(fù)認(rèn)識，逐漸提高、完善學(xué)生對參數(shù)本質(zhì)理解水平.參數(shù)概念的表述可以通俗、直白些，能把握住它在具體情境下側(cè)重的是變量角色（主要是參數(shù)方程）還是以常量角色為主（作為函數(shù)或方程的系數(shù)）就差不多了.其中生長點(diǎn)還是“字母代數(shù)”，回顧字母代數(shù)、代數(shù)式、方程、函數(shù)過程，認(rèn)識和體會(huì)字母代數(shù)的進(jìn)步，了解方程中的未知數(shù)和函數(shù)關(guān)系中的自變量與因變量用x，y表示，而系數(shù)用字母a，b等表示，既是一種習(xí)慣也是一種區(qū)分.常量函數(shù)y=a是一個(gè)特別的例子，可以設(shè)置這樣的教學(xué)活動(dòng)幫助學(xué)生認(rèn)識和區(qū)分參數(shù)與常量的聯(lián)系與區(qū)別：（1）在同一直角坐標(biāo)系下作y=1，y=-1，y=0的圖像；（2）作y=a的圖像；（3）比較大家作出的圖像，分析造成圖像差異的原因.對于參數(shù)的“變數(shù)”身份，參數(shù)方程當(dāng)然是很好的載體，不過太靠后了，建議在“換元法”的學(xué)習(xí)中提前滲透，如研究正弦型函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的單調(diào)性、在給定區(qū)間上的值域等問題的時(shí)候，引入中間變量（參數(shù)）t，滿足t=ωx+φ，針對學(xué)生對新元t范圍的忽略、ω正負(fù)對單調(diào)性的影響，引導(dǎo)學(xué)生意識到此時(shí)參數(shù)t雖然只是輔助元素，起過渡作用，但它也是隨x的變化而變化的，它是x的函數(shù).還有一種比較特殊、具有辯證味道的“主元法”，即將變量x與參數(shù)身份互換，轉(zhuǎn)換視角，對參數(shù)身份認(rèn)識就真可謂“上了檔次”，如例子：對于滿足0≤p≤4的所有實(shí)數(shù)，求使不等式x2+px＞3x+p-2都成立的x的取值范圍.

2.在函數(shù)和方程的學(xué)習(xí)中，認(rèn)識參數(shù)是決定函數(shù)、方程類別和屬性的關(guān)鍵量

參數(shù)的學(xué)習(xí)貫穿于兩條主線，一條是函數(shù)，另一條是曲線方程，要讓學(xué)生對“參數(shù)是決定函數(shù)、方程類別和屬性的關(guān)鍵量”有足夠準(zhǔn)確的認(rèn)識，并將其作為研究的一個(gè)基本視角和重要思維方式.

在函數(shù)主線的學(xué)習(xí)過程中，要引導(dǎo)學(xué)生回顧初中學(xué)習(xí)過的一次函數(shù)、二次函數(shù)和反比例函數(shù)中的系數(shù)參數(shù)作用（如對二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），學(xué)生知道a＞0拋物線開口向上，a＜0拋物線開口向下），必要時(shí)教師親自講清楚系數(shù)參數(shù)對函數(shù)類型確定、函數(shù)圖像和性質(zhì)影響的作用，進(jìn)而，在高中每學(xué)習(xí)一類新函數(shù)時(shí)，除了經(jīng)歷特殊到一般的歸納活動(dòng)外，還要有意識運(yùn)用類比方法認(rèn)識參數(shù)對函數(shù)類別屬性的制約與影響，將其培養(yǎng)成為一種思維習(xí)慣.為強(qiáng)化學(xué)生對“參數(shù)是決定函數(shù)、方程類別和屬性的關(guān)鍵量”的認(rèn)識，給出兩條具體建議，一是學(xué)習(xí)每類新函數(shù)，在學(xué)生描點(diǎn)作圖的基礎(chǔ)上，充分發(fā)揮計(jì)算機(jī)和計(jì)算器強(qiáng)大的作圖功能，讓學(xué)生直觀感受參數(shù)對函數(shù)圖像和性質(zhì)的影響；二是在必修1“3.2函數(shù)模型及其應(yīng)用”的例習(xí)題教學(xué)中，對例6，相對于教材選指數(shù)型函數(shù)y=a·bx的做法，可做開放式的模型選取、比較、優(yōu)化的教學(xué)處理，借助計(jì)算機(jī)或計(jì)算器的擬合功能，使獲得的函數(shù)模型更精確，這樣的教學(xué)，除了對待定系數(shù)法進(jìn)行了必要的訓(xùn)練，更重要的是使學(xué)生通過實(shí)踐，更深刻、更親切地感受不同參數(shù)對函數(shù)圖像和性質(zhì)的影響.

在曲線方程為主線的學(xué)習(xí)中，也可參照函數(shù)主線的學(xué)習(xí)展開.為強(qiáng)化“參數(shù)是決定函數(shù)、方程類別和屬性的關(guān)鍵量”，這里特別提出以下兩個(gè)話題供大家進(jìn)一步思考：一是圓錐曲線的統(tǒng)一定義：“平面上到一個(gè)定點(diǎn)F的距離和它到一條定直線l的距離之比是一個(gè)常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡，當(dāng)0＜e＜1時(shí)，軌跡是橢圓；當(dāng)e＞1時(shí)，軌跡是雙曲線；當(dāng)e=1時(shí)，軌跡是拋物線”.二是曲線系在待定系數(shù)法求方程時(shí)的簡化運(yùn)算探討.

3.結(jié)合典型案例，熟悉“引參、用參、消參”過程，掌握基本套路，優(yōu)化思維策略

參數(shù)法是處理解析幾何軌跡問題、定點(diǎn)定值問題的重要方法，選修4-4“極坐標(biāo)與參數(shù)方程”的開設(shè)，雖然不要求在難度和應(yīng)用上拔高，但起碼開拓了研究方法和問題解決的視野，對學(xué)力水平高的學(xué)生鼓勵(lì)他們從參數(shù)方程視角，在對參數(shù)的幾何意義有深層次理解的基礎(chǔ)上用參數(shù)思想處理解析幾何中的問題，對簡化解析幾何運(yùn)算“老大難”和優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)是有幫助的.對一般程度的學(xué)生，我們認(rèn)為，選取參數(shù)法求軌跡方程，讓學(xué)生熟悉“引參、用參、消參”過程，掌握參數(shù)法基本套路，對優(yōu)化學(xué)生的思維品質(zhì)也是很有幫助的.

例題圓O：x2+y2=1與x軸的右交點(diǎn)是A（1，0），過圓O上一動(dòng)點(diǎn)B作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)C.求OB與AC的交點(diǎn)D的軌跡方程.

分析：參數(shù)的選擇與具體問題的條件有關(guān)，一般可依據(jù)條件特點(diǎn)作多角度的權(quán)衡與選定.此題不難，對訓(xùn)練“引參、用參、消參”還是比較好的.

思路1：以點(diǎn)B的坐標(biāo)為參，設(shè)B（x0，y0），則點(diǎn)C（0，y0），依題意有：

點(diǎn)評：兩個(gè)參數(shù)三個(gè)方程，消參是一定能實(shí)現(xiàn)的；可以從第二個(gè)方程將y0用x，y表示，再代入第一個(gè)方程將x0用x，y表示，最后將x0，y0代入第三個(gè)方程整理得到（*）式.

一般來說，引參有一定的彈性，但參數(shù)的個(gè)數(shù)、用參數(shù)翻譯幾何條件得到的方程的差異會(huì)對后面的消參帶來影響，所以建議參數(shù)的個(gè)數(shù)少些為好；消參的依據(jù)是“方程的個(gè)數(shù)比參數(shù)的個(gè)數(shù)多1”，消參必然借助運(yùn)算，能整體消參是上上之選，代入消參是最基本的.A