根植課本關(guān)注應(yīng)用適度創(chuàng)新
——2015年高考數(shù)學(xué)江蘇卷評(píng)析與思考

☉江蘇省溧水高級(jí)中學(xué) 李寬珍

根植課本關(guān)注應(yīng)用適度創(chuàng)新
——2015年高考數(shù)學(xué)江蘇卷評(píng)析與思考

☉江蘇省溧水高級(jí)中學(xué) 李寬珍

2015年高考已落下帷幕，社會(huì)各界對(duì)江蘇卷的評(píng)價(jià)眾說(shuō)紛紜.筆者的整體感受是今年江蘇卷試題可謂基于基礎(chǔ)，凸顯本質(zhì)，精彩紛呈，亮點(diǎn)頗多.試題遵循課程標(biāo)準(zhǔn)、考試說(shuō)明和考試大綱，立意清晰，重點(diǎn)突出，背景深刻，試題源于教材又活于教材，試題區(qū)分度好，具有很好的選拔功能.既重視對(duì)雙基的考查，又兼顧對(duì)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí)所需的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和潛能的考查，為推進(jìn)普通高中新課程改革起到很好的引領(lǐng)作用.

一、2015年江蘇高考特點(diǎn)分析

1.立足基礎(chǔ)，凸顯主干，滲透數(shù)學(xué)思想

縱觀2015年江蘇卷你會(huì)發(fā)現(xiàn)所考查的知識(shí)點(diǎn)全部是高中數(shù)學(xué)學(xué)科的核心內(nèi)容和主干知識(shí)，而且嚴(yán)格遵循課程標(biāo)準(zhǔn)、考試說(shuō)明和考試大綱，同時(shí)更加注重?cái)?shù)學(xué)思想方法的考查，而且考查得入木三分.全卷對(duì)三角函數(shù)（如第8題，第14題，第15題）、解析幾何（如第10題，第12題，第18題）、立體幾何（如第9題，第16題）、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)（如第7題，第13題，第17題，第19題）、數(shù)列（如第11題，第20題）等主要內(nèi)容的考查占有相當(dāng)?shù)谋壤?大多數(shù)題重基礎(chǔ)，只要概念清晰、解答規(guī)范、基礎(chǔ)知識(shí)牢固就能得到該得的分?jǐn)?shù)；多數(shù)解答題雖有一定的綜合性，但也是由若干個(gè)基礎(chǔ)題整合而成.

另外，在考查知識(shí)點(diǎn)的同時(shí)也滲透了大綱要求的重要數(shù)學(xué)思想.例如，數(shù)形結(jié)合的思想滲透在解析幾何（第10題、第12題）、函數(shù)圖像（第13題、第19題）等題目中；函數(shù)與方程的思想則體現(xiàn)在第13題、第19題等題目中；轉(zhuǎn)化與化歸思想貫穿整份試卷，如第19題第（2）問(wèn)，是個(gè)零點(diǎn)存在問(wèn)題，卻可以轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題；試卷對(duì)分類討論的思想（第19題第（1）問(wèn)、第20題等）做了深入考查.例如，用來(lái)壓軸的第19題，用常規(guī)的題目背景——導(dǎo)數(shù)，而且題目的表述簡(jiǎn)潔明了，考生一看就是常規(guī)題，因?yàn)橄嗨茊?wèn)題在平時(shí)模考中做過(guò)很多；但如何實(shí)施等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合，沒(méi)有較強(qiáng)的運(yùn)算能力和深厚的數(shù)學(xué)功底是難以做出最終結(jié)果的，下面舉例說(shuō)明.

例1（江蘇卷第11題）數(shù)列｛an｝滿足a1=1，且an+1-an=

解：由已知連續(xù)兩項(xiàng)差滿足一定的關(guān)系，可以想到利用累加法求出數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式an=1+2+3+…+n=___________.

此題短小精悍，數(shù)學(xué)概念清晰，內(nèi)涵豐富，富有啟迪性，對(duì)基本知識(shí)的綜合運(yùn)用能力，分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力可以說(shuō)考查得淋漓盡致，盡善盡美.

點(diǎn)評(píng)：此題考查了數(shù)列通項(xiàng)公式的重要求法——累加法，數(shù)列前n項(xiàng)和的重要求法——裂項(xiàng)法等重要的方法，是學(xué)生在各種練習(xí)中常練的題型，屬于常規(guī)基礎(chǔ)題，很容易上手.

例2（江蘇卷第13題）已知函數(shù)f（x）=|lnx|，g（x）=

當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，h′（x）＜0，所以h（x）在（1，2）上為減函數(shù).

又h（1）=1，h（2）=-2+ln2＜-1，所以方程f（x）+g（x）=±1

又φ（2）=-2+ln2＜-1，φ（3）=3+ln3＞1，所以方程f（x）+ g（x）=±1在［2，+∞）內(nèi)有2個(gè)根.

綜上，方程|f（x）+g（x）|=1有4個(gè)實(shí)根.

點(diǎn)評(píng)：研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題其實(shí)就是研究函數(shù)的圖像和性質(zhì)，本題在考查函數(shù)零點(diǎn)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的問(wèn)題上，借助函數(shù)圖像，綜合考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等重要數(shù)學(xué)思想.

2.穩(wěn)中求新，立意深遠(yuǎn)，注重問(wèn)題表征能力的考查

試題的穩(wěn)體現(xiàn)在試卷結(jié)構(gòu)沒(méi)有大的變化上，并不回避重點(diǎn)知識(shí)重點(diǎn)考，換言之，在考前老師和學(xué)生都知道所考的大致內(nèi)容；試題的新體現(xiàn)在題目的設(shè)計(jì)上，給人一種耳目一新，眼前一亮的感覺(jué).如第9、10、12、13、17、18題，在設(shè)計(jì)上非常新穎，看似熟悉，實(shí)質(zhì)有別，要求學(xué)生具有較好的問(wèn)題表征能力，具備一定的轉(zhuǎn)化與化歸能力，尤其是第9、13題，需要學(xué)生有一定的理解能力.現(xiàn)擷取部分試題解析如下：

例3（江蘇卷第10題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)（1，0）為圓心且與直線mx-y-2m-1=0（m∈R）相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____.

法六：由直線過(guò)定點(diǎn)A（2，-1），從而使問(wèn)題更簡(jiǎn)潔，可以轉(zhuǎn)化為半徑最大值為定點(diǎn)與已知點(diǎn)（圓心）間的距離于是圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-1）2+y2=2.

點(diǎn)評(píng)：此題可以說(shuō)是很傳統(tǒng)的常規(guī)題，所考查的內(nèi)容是直線與圓的基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想方法，同時(shí)，以此為背景的試題在歷年的競(jìng)賽與高考中都曾出現(xiàn)過(guò).因此此題入手寬，過(guò)渡自然，解法多樣.不但較好地考查了直線與圓的相關(guān)知識(shí)，也充分考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力、推理論證能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸的思想，對(duì)不同能力層次的學(xué)生解決這個(gè)問(wèn)題的方法速度是有很大差異的，因此，本題能起到很好的區(qū)分效果.

3.源于教材，歸于生活，回歸數(shù)學(xué)本質(zhì)，凸顯教材價(jià)值

江蘇卷一直堅(jiān)持試題源于教材、源于生活，凸顯了教材的價(jià)值，使數(shù)學(xué)返璞歸真.如第1、2、3、4、5、6、7、8、11、15、16、17、18、19（1）、20（1）題等試題就是取之于教材，但又高于教材，在課本習(xí)題或圖形的基礎(chǔ)上進(jìn)行改編，有的試題表面看似無(wú)任何關(guān)系，但其解題過(guò)程中的思想方法、解題技巧卻與課本高度一致.試卷的第9題、第17題，都來(lái)源于生活，背景對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)非常熟悉、公平，也符合新課程標(biāo)準(zhǔn)中倡導(dǎo)的“發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)”的理念，使學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高實(shí)踐能力.

例4（江蘇卷第17題）某山區(qū)外圍有兩條相互垂直的直線型公路，為進(jìn)一步改善山區(qū)的交通現(xiàn)狀，計(jì)劃修建一條連接兩條公路的山區(qū)邊界的直線型公路，記兩條相互垂直的公路為l1、l2，山區(qū)邊界曲線為C，計(jì)劃修建的公路為l，如圖1所示，M、N為C的兩個(gè)端點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)M到l1、l2的距離分別為5千米和40千米，點(diǎn)N到l1、l2的距離分別為20千米和2.5千米，以l1，l2所在的直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系xOy，假設(shè)曲線C符合函數(shù)y=

圖1

（1）求a，b的值.

（2）設(shè)公路l與曲線C相切于P點(diǎn)，P的橫坐標(biāo)為t.

①請(qǐng)寫(xiě)出公路l長(zhǎng)度的函數(shù)解析式f（x），并寫(xiě)出其定義域；

②當(dāng)t為何值時(shí)，公路l的長(zhǎng)度最短？求出最短長(zhǎng)度.

本題以山區(qū)修公路為背景，要求考生建立數(shù)學(xué)模型、適度創(chuàng)新，運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題，完成山區(qū)公路設(shè)計(jì).試題的設(shè)計(jì)使考生置身于問(wèn)題情境之中，充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，形成自覺(jué)創(chuàng)新應(yīng)用意識(shí)，彰顯數(shù)學(xué)的理性精神與人文情懷，進(jìn)而影響學(xué)生的情感態(tài)度與價(jià)值觀.

點(diǎn)評(píng)：本題的建模過(guò)程簡(jiǎn)潔明朗，而數(shù)學(xué)模型也十分簡(jiǎn)約，但求解過(guò)程卻能測(cè)試學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力.因此加強(qiáng)實(shí)踐能力的考查是時(shí)代發(fā)展的需要，同時(shí)也是由數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)所決定的，培養(yǎng)學(xué)生綜合所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法來(lái)解決問(wèn)題的能力是數(shù)學(xué)教師義不容辭的責(zé)任.

例5（江蘇卷第19題）已知函數(shù)y=f（x）=x3+ax2+b（a，b∈R）.

（1）試討論f（x）的單調(diào)性；

（2）若b=c-a（實(shí)數(shù)c是與a無(wú)關(guān)的常數(shù)），當(dāng)函數(shù)f（x）有三個(gè)不同零點(diǎn)時(shí)，a的取值范圍恰好是（-∞，-3）∪

本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究初等函數(shù)的單調(diào)性、極值及零點(diǎn)問(wèn)題，同時(shí)考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問(wèn)題的能力，兩問(wèn)的來(lái)源均出于教材.

（1）題源即為導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，其中涉及了對(duì)參數(shù)的分類討論，若對(duì)分類的標(biāo)準(zhǔn)或依據(jù)不夠熟練，就很難拿滿本小題的得分.（限于篇幅，此問(wèn)解答略）

（2）題源即為零點(diǎn)的存在定理，在此處的考查可以看成是求含參數(shù)的零點(diǎn)的逆向問(wèn)題，即已知零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)范圍.

本題已知零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，據(jù)函數(shù)圖像（得到參數(shù)滿足的不等式），求參數(shù)的范圍，其中給出一個(gè)參數(shù)的范圍求另一個(gè)參數(shù)的范圍，也可以轉(zhuǎn)化為不等式恒成立的問(wèn)題來(lái)解決.

解法二：由題知函數(shù)f（x）有三個(gè)不同的零點(diǎn)，f′（x）= 3x2+2ax開(kāi)口向上，故函數(shù)的單調(diào)性為先增再減再增.故方程f′（x）=3x2+2ax=0有兩個(gè)不等實(shí)根，且小根為極大值點(diǎn)，大根為極小值點(diǎn).又函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，故極大值大于0，極小值小于0.

點(diǎn)評(píng)：本題是含參數(shù)問(wèn)題的一個(gè)變形，已知取值范圍，只要抓住三個(gè)字“恒成立”，可快速破解.其本質(zhì)是處理二元參數(shù)問(wèn)題，可以選定a作主元，c作參數(shù)，則不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，也就回歸到我們熟悉的題型.學(xué)生做不出最后結(jié)果就難在等價(jià)轉(zhuǎn)化與思維的轉(zhuǎn)變上.平時(shí)過(guò)于注重題型教學(xué)，而在能力的培養(yǎng)上沒(méi)有達(dá)到相應(yīng)的高度，未能形成真正的數(shù)學(xué)思維，只能生搬硬套，在沒(méi)見(jiàn)過(guò)的題目面前，無(wú)所適從，缺少分析問(wèn)題的思維能力，不能靈活變通，透過(guò)現(xiàn)象看到問(wèn)題的本質(zhì).

4.注重運(yùn)算，強(qiáng)調(diào)能力立意，凸顯課改方向

不難看出2015年江蘇省數(shù)學(xué)高考試卷在推動(dòng)與順應(yīng)課改方面又做出了積極的嘗試，在情景設(shè)置上貼近學(xué)生實(shí)際，貫徹課程改革理念.全卷注重考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理等的本質(zhì)的理解，強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)，基本概念清晰、基本運(yùn)算過(guò)關(guān)的考生都能較好解答，展示了數(shù)學(xué)測(cè)試與評(píng)價(jià)的方向.如試卷的第18題，學(xué)生入手解答并不困難，但由于其重推理又重計(jì)算，想要圓滿完成解答，則需要具備較高的數(shù)學(xué)能力、嚴(yán)密深刻的數(shù)學(xué)思維和良好的運(yùn)算能力.

圖3

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過(guò)F的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線分別交直線l和AB于點(diǎn)P、C，若PC=2AB，求直線AB的方程.

本題主要考查直線和橢圓的方程及位置關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)、方程根與系數(shù)關(guān)系、兩點(diǎn)間距離公式.考查問(wèn)題簡(jiǎn)單、質(zhì)樸，體現(xiàn)了解析幾何的本質(zhì)特征，實(shí)現(xiàn)了坐標(biāo)法和方程法在解決解幾問(wèn)題中的應(yīng)用，符合江蘇考試說(shuō)明精神.題型簡(jiǎn)單質(zhì)樸，不偏不怪，學(xué)生很容易找到解題思路.

（2）設(shè)直線AB的方程，找出點(diǎn)A、B、C、P的坐標(biāo)與直線AB的斜率關(guān)系，利用兩點(diǎn)間距離公式建立方程求解.

此種解法由于將直線AB的方程代入橢圓方程，使得計(jì)算變得異常復(fù)雜，不少學(xué)生未能求出結(jié)果.對(duì)于解析幾何，也有一些常見(jiàn)方法簡(jiǎn)化運(yùn)算，如可以將AB的方程設(shè)為：x=my+1，具體方法同法一（限于篇幅，此處略），或者也可以設(shè)點(diǎn)，用“點(diǎn)差法”解決.

所以，kAB=kCF=±1，從而AB的方程為y=x-1或y=-x+1.

點(diǎn)評(píng)：本題形式簡(jiǎn)潔，入口較寬，方法多樣，平而不俗.注重通性通法，各種方法之間又有密切的聯(lián)系，內(nèi)涵豐富，突出了對(duì)學(xué)生計(jì)算能力、靈活運(yùn)用知識(shí)能力的考查，以及對(duì)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化與化歸思想方法的考查.與深化普通高中課程改革的方向完全吻合，體現(xiàn)了能力立意的宗旨，是一道非常漂亮的好題.

二、教學(xué)啟示與思考

1.求準(zhǔn)——熟悉考綱明要求、研究評(píng)價(jià)探方向

做完今年試卷最大的感觸就是題海戰(zhàn)術(shù)已無(wú)用武之地.很多高三老師和學(xué)生也都發(fā)出這樣的感慨：高中數(shù)學(xué)白學(xué)了，那么多題白做了！其實(shí)，這也是課程改革的大趨勢(shì)，破除題海戰(zhàn)術(shù)，而是加大對(duì)學(xué)生探究能力、創(chuàng)新能力、思維能力的考查.做題不在多，關(guān)鍵是有思想方法引領(lǐng)才行.從今年的試題我們可以看到思想、方法、技巧以顯性知識(shí)呈現(xiàn)在各個(gè)試題中，如果不揭示數(shù)學(xué)思想、方法、技巧的本質(zhì)，就會(huì)只見(jiàn)到簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)操作和技巧的神秘出現(xiàn)，看不到數(shù)學(xué)的真諦.而當(dāng)揭示出思想、方法、技巧的內(nèi)涵時(shí)，諸多試題都是妙手偶得的一招一式.這就告訴我們數(shù)學(xué)教學(xué)一定要為學(xué)生的真正理解而教，為提升學(xué)生的思維而教.

2.求實(shí)——分析考題看變化、勤于反思善總結(jié)

高考命題遵循“有助于高校選拔新生，有助于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)”的指導(dǎo)思想，而《考試說(shuō)明》中明確指出：“對(duì)于支撐學(xué)科知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容，要占有較大的比例，這是構(gòu)成數(shù)學(xué)試卷的主體.”因此，在復(fù)習(xí)教學(xué)中，我們必須抓住數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，突出重點(diǎn)內(nèi)容.函數(shù)方程與不等式、三角函數(shù)與平面向量、數(shù)列、立體幾何、解析幾何等大章節(jié)知識(shí)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，已成為數(shù)學(xué)試題的主體，而且總是穩(wěn)中生變，平中生奇，淡中生趣.復(fù)習(xí)教學(xué)中要加強(qiáng)近年高考試題的研究，既要對(duì)全國(guó)新課標(biāo)試卷中相同知識(shí)領(lǐng)域的試題進(jìn)行橫向比較，找差別、找共性、找聯(lián)系、找特點(diǎn)，還要對(duì)本省市近兩年的高考數(shù)學(xué)試題進(jìn)行縱向?qū)Ρ?，找趨?shì)、找方向、找規(guī)律，這樣可以明確高考試題的重點(diǎn)、難點(diǎn)、熱點(diǎn)、冷點(diǎn)，使復(fù)習(xí)目標(biāo)更明確，針對(duì)性更強(qiáng).高三復(fù)習(xí)教學(xué)中，解題教學(xué)是必不可少的，但不可為做題而做題，而要“借題發(fā)揮、舉一反三、觸類旁通”，借助問(wèn)題載體，鞏固知識(shí)方法，注重解題“三思”，積累解題經(jīng)驗(yàn).所謂“三思”，一思知識(shí)提取是否熟練：本題涉及哪些重要的知識(shí)？題目特殊在哪里？二思方法是否熟練：用到哪些思想方法、解題思路？為什么要用這種方法？解題的關(guān)鍵是什么？突破口在何處？能否推廣？方法是否具有一般性？三思存在的弱點(diǎn)：為什么沒(méi)有做出？產(chǎn)生了哪些錯(cuò)誤？為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的錯(cuò)誤？走了什么彎路？通過(guò)反思總結(jié)，提高直覺(jué)猜想、歸納演繹、快速運(yùn)算等思維能力.每題必思，終有收獲.

3.求真——回歸教材重基礎(chǔ)、點(diǎn)撥高效解疑難

立足教材、立足通性通法是江蘇省數(shù)學(xué)高考命題一直延續(xù)的特點(diǎn)和不變的追求，同時(shí)也給我們教師指出高考題背景本是有源之水，源頭便是教材中的核心知識(shí)，典型例題、習(xí)題.正所謂“問(wèn)渠那得清如許，唯有源頭活水來(lái)”.探究高考試題根源的精彩，充分挖掘數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)，揭示數(shù)學(xué)問(wèn)題的精髓是破除題海戰(zhàn)術(shù)最有力、最有效的武器.

三、結(jié)束語(yǔ)

2015年江蘇卷盡管亮點(diǎn)頻頻，但也有一些不盡如人意的地方：難題過(guò)難，簡(jiǎn)單題又過(guò)于簡(jiǎn)單，壓軸題的坡度過(guò)大；整份試卷的計(jì)算量偏大；對(duì)函數(shù)與導(dǎo)數(shù)部分考查的題量過(guò)多等.但是，瑕不掩瑜，這些并沒(méi)有影響江蘇卷在教師心目中的“美好形象”.整體來(lái)說(shuō)，這是一份值得肯定的試卷.今年的江蘇卷給予我們豐富的內(nèi)涵和真知灼見(jiàn)的啟迪——我們的數(shù)學(xué)教學(xué)最終不僅僅是教會(huì)學(xué)生解題，而是使學(xué)生學(xué)會(huì)了一種數(shù)學(xué)的思維，一種對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的領(lǐng)悟與追求.F