注重基礎(chǔ)關(guān)注本質(zhì)強(qiáng)調(diào)應(yīng)用注重創(chuàng)新
——2015年福建高考數(shù)學(xué)試題評(píng)析及教學(xué)啟示

☉福建省寧德市民族中學(xué) 鄭一平

注重基礎(chǔ)關(guān)注本質(zhì)強(qiáng)調(diào)應(yīng)用注重創(chuàng)新
——2015年福建高考數(shù)學(xué)試題評(píng)析及教學(xué)啟示

☉福建省寧德市民族中學(xué) 鄭一平

2015年福建高考數(shù)學(xué)試題是福建省實(shí)施高中新課程標(biāo)準(zhǔn)自主命題的最后一年，試卷堅(jiān)持“注重基礎(chǔ)、關(guān)注本質(zhì)、強(qiáng)調(diào)應(yīng)用、注重創(chuàng)新”的命題思想，立足學(xué)科本質(zhì)，堅(jiān)持從學(xué)科的整體意義上選材立意，并根據(jù)數(shù)學(xué)各分支在中學(xué)數(shù)學(xué)的地位及其教育價(jià)值設(shè)置考點(diǎn)，確定考查權(quán)重，追求合理的知識(shí)結(jié)構(gòu)和能力層次，注重發(fā)揮開放性、探索性試題的評(píng)價(jià)功能.整個(gè)試卷層次分明，試卷易、中、難的比例基本按照考試說明的比例命制，三種題型的試題均采用低起點(diǎn)、寬入口、多層次、高落點(diǎn)的方式，以期獲得較好的梯度和區(qū)分度.達(dá)到既注重全面考查基礎(chǔ)知識(shí)，又突出考查主干內(nèi)容，既全面考查基本素養(yǎng)，又綜合考查分析問題和解決問題的能力，是對(duì)高中新課程改革數(shù)學(xué)教學(xué)一個(gè)正確的導(dǎo)向.

一、試題主要特點(diǎn)

1.立足學(xué)科基礎(chǔ)，凸顯平穩(wěn)過渡

2015年福建高考是福建省自主命題的最后一年，明年又要恢復(fù)全國統(tǒng)一命題，今年的命題科學(xué)地繼承了福建省已有高考數(shù)學(xué)命題的成功經(jīng)驗(yàn)，在試卷的題型結(jié)構(gòu)、賦分比例、難度要求及試題難易梯度等方面，都嚴(yán)格地遵循了《考試說明》的相關(guān)規(guī)定，充分關(guān)注數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法的考查.文、理科試卷，分別取材于構(gòu)成高中數(shù)學(xué)主體框架內(nèi)容的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、立體幾何、解析幾何、概率與統(tǒng)計(jì)、三角函數(shù)和數(shù)列的試題，不僅考查分值占比高，而且有機(jī)地融合了與之相關(guān)的知識(shí)、技能和思想方法，從而全面地檢測了考生作為未來公民所必需具備的數(shù)學(xué)基礎(chǔ).命題強(qiáng)調(diào)高考對(duì)考生學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)潛能的關(guān)注，考慮考生整體情況，又注意到試題的選拔功能，既有容易題，也有中等題、難題，有效地檢測考生對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度，合理地檢測學(xué)生的基本數(shù)學(xué)素養(yǎng).各題型都有明顯的“送分”題和“壓軸”點(diǎn)，填空題難度比往年有所降低，解答題題與題之間有分明的層次，一些試題設(shè)置了難度差異明顯的多問形式，更加關(guān)注較高層次內(nèi)的區(qū)分，有效地實(shí)現(xiàn)了平穩(wěn)過渡.

2.關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，突出考查能力

命題能立足數(shù)學(xué)本質(zhì)，從數(shù)學(xué)各分支的核心內(nèi)容、學(xué)科思想，以及相關(guān)分支的教育價(jià)值入手設(shè)置試題，確定考查力度，追求合理的知識(shí)結(jié)構(gòu)和能力層次要求，考查考生的學(xué)習(xí)能力.命題將考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)與方法解決問題的能力置于首要的位置，依托數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的本質(zhì)含義體現(xiàn)“知識(shí)立意”與“能力立意”，既全面又有所側(cè)重地考查了《考試說明》要求的“五個(gè)能力”、“兩個(gè)意識(shí)”和“七個(gè)思想”.如文12依托“三角函數(shù)線”側(cè)重考查推理論證能力、抽象概括能力和數(shù)形結(jié)合思想；文18、理16分別依托“全網(wǎng)傳播的融合指數(shù)”和“銀行卡密碼”側(cè)重考查數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識(shí)和必然與或然思想；文20（Ⅲ）依托“兩點(diǎn)之間線段最短”側(cè)重考查了空間想象能力、推理論證能力和化歸與轉(zhuǎn)化思想；理10依托“導(dǎo)數(shù)的幾何意義”側(cè)重考查推理論證能力、特殊與一般思想和數(shù)形結(jié)合思想；理15依托“糾錯(cuò)碼和異或運(yùn)算”側(cè)重考查推理論證能力和創(chuàng)新意識(shí)；文22、理20依托“導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用”側(cè)重考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)、數(shù)形結(jié)合思想和分類與整合思想.

例1（理20）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x），g（x）=kx，（k∈R）.

（Ⅰ）證明：當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＜x；

（Ⅱ）證明：當(dāng)k＜1時(shí)，存在x0＞0，使得對(duì)任意x∈（0，x0），恒有f（x）＞g（x）；

（Ⅲ）確定k的所有可能取值，使得存在t＞0，對(duì)任意的x∈（0，t），恒有|f（x）-g（x）|＜x2.

分析與略解：這是理科壓軸題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.三個(gè)設(shè)問難度逐級(jí)上升，尤其問題（Ⅲ）綜合性強(qiáng)、難度大，是全卷的壓軸題.

（Ⅰ）直接根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)就容易解決.

（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義結(jié)合分類討論思想方法才能得到解決，本問題多數(shù)學(xué)生都可以解決.

令G（x）=f（x）-g（x）=ln（1+x）-kx，x∈［0，+∞），則有

當(dāng)k≤0時(shí)，G′（x）＞0，所以G（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞增，G（x）＞G（0）=0，故對(duì)任意正實(shí)數(shù)x0均滿足題意.

綜上，當(dāng)k＜1時(shí)，總存在x0＞0，使得對(duì)任意的x∈（0，x0），恒有（fx）＞g（x）.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，要考慮對(duì)k分三種情況k＞1、k＜1、k=1進(jìn)行討論，但過程對(duì)數(shù)學(xué)思想方法要求高，特別涉及較大的運(yùn)算、推理，許多學(xué)生半途而廢.

當(dāng)k＞1時(shí)，由（Ⅰ）知，?x∈（0，+∞），g（x）＞x＞（fx），故g（x）＞（fx）.的t不存在.

當(dāng)k=1，由（Ⅰ）知，當(dāng)x∈（0，+∞），|f（x）-g（x）|=g（x）-f（x）=x-ln（1+x）.

令H（x）=x-ln（1+x）-x2，x∈［0，+∞），則有H′（x）=1-

當(dāng)x＞0時(shí)，H′（x）＜0，所以H（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞減，故H（x）＜H（0）=0.

故當(dāng)x＞0時(shí)，恒有|f（x）-g（x）|＜x2，此時(shí)，任意實(shí)數(shù)t滿足題意.

綜合上述，k=1.

問題（Ⅲ）可考慮避開煩瑣運(yùn)算，得到以下解法：

當(dāng)k＞1時(shí)，由（Ⅰ）知，?x∈（0，+∞），g（x）＞x＞f（x）.

故|f（x）-g（x）|=g（x）-f（x）=kx-ln（1+x）＞kx-x=（k-1）x.

令（k-1）x＞x2，解得0＜x＜k-1，從而得到當(dāng)k＞1時(shí)，對(duì)于x∈（0，k-1）時(shí)恒有|f（x）-g（x）|＞x2，所以滿足題意的t不存在.

由（Ⅱ）知，存在x0＞0，使得對(duì)任意x∈（0，x0）恒有f（x）＞k1x＞kx=g（x）.

故滿足題意的t不存在.

當(dāng)k=1時(shí)，由（Ⅰ）知，x∈（0，+∞）時(shí)，|f（x）-g（x）|= g（x）-f（x）=x-ln（1+x）.

令M（x）=x-ln（1+x）-x2，x∈［0，+∞），則有M′（x）=1-

當(dāng)x＞0時(shí)，M′（x）＜0，所以M（x）在［0，+∞）上單調(diào)遞減，故M（x）＜M（0）=0.

故當(dāng)x＞0時(shí)，恒有|f（x）-g（x）|＜x2，此時(shí)，任意實(shí)數(shù)t滿足題意.

綜合上述，k=1.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識(shí)，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、有限與無限思想、數(shù)形結(jié)合思想等.本題立足選拔的要求，淡化層次內(nèi)的區(qū)分，強(qiáng)化層次間的區(qū)分，合理構(gòu)建了三個(gè)問題的難度梯度，使試題難度與題序同步增加，特別是解題過程需要有一定的運(yùn)算推理能力.尤其問題（Ⅲ）的解決需要很強(qiáng)的數(shù)學(xué)思想和方法，特別是對(duì)分類思想和推理論證能力要求很高，學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)能完整地解決此題可以反映學(xué)生良好的綜合素質(zhì)與很強(qiáng)的分析問題與解決問題的能力.

3.強(qiáng)調(diào)知識(shí)應(yīng)用，彰顯選拔功能

今年福建高考數(shù)學(xué)有些試題能從課程改革的理念出發(fā)，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用、數(shù)學(xué)與日常生活及其他學(xué)科的聯(lián)系，取材于學(xué)生熟悉的學(xué)習(xí)、生活實(shí)際問題進(jìn)行命題，不僅考查了考生對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解水平，而且以這些知識(shí)為載體，檢測了考生將知識(shí)遷移到現(xiàn)實(shí)情境中的能力，從而檢測了考生應(yīng)用知識(shí)分析問題、解決問題的能力，實(shí)現(xiàn)了對(duì)考生應(yīng)用意識(shí)的考查.同時(shí)也有效地促進(jìn)學(xué)生逐步形成和發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，強(qiáng)調(diào)高考對(duì)考生學(xué)習(xí)方式和學(xué)習(xí)潛能的關(guān)注，檢測考生對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度.文12、文15、文21、文22、理9、理14、理19、理20等考查了數(shù)學(xué)知識(shí)與方法在學(xué)科內(nèi)的應(yīng)用，文13、文18、理4、理15、理16等考查了數(shù)學(xué)知識(shí)在解決實(shí)際問題中的應(yīng)用.

同時(shí)命題立足選拔功能的要求，淡化層次內(nèi)的區(qū)分，強(qiáng)化層次間的區(qū)分，合理預(yù)設(shè)各種題型的難度梯度，力求各種題型內(nèi)試題難度與題序同步增加，解答題每個(gè)小題也從易到難.如文20、21、22的第（Ⅰ）和（Ⅱ）問，理19、20的第（Ⅰ）問均為較容易題，余下各問則著重考查考生的自然語言、圖形語言和符號(hào)語言的轉(zhuǎn)換和思考的能力，正確發(fā)揮高考的選拔功能及其對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的導(dǎo)向作用.

例2（理19）已知函數(shù)f（x）的圖像是由函數(shù)g（x）= cosx的圖像經(jīng)如下變換得到：先將g（x）圖像上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍（橫坐標(biāo)不變），再將所得到的圖像向右平

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式，并求其圖像的對(duì)稱軸方程.

（Ⅱ）已知關(guān)于x的方程f（x）+g（x）=m在［0，2p）內(nèi)有兩個(gè)不同的解a，b.

（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

分析與略解：本小題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)、三角恒等變換等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、抽象概括能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、分類與整體思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想.（Ⅰ）主要考查三角變換，以及三角函數(shù)圖像及其性質(zhì)的應(yīng)用.（Ⅱ）（1）解決的關(guān)鍵是將asinx+bcosx型的三角函數(shù)化為一個(gè)三角函數(shù)的形式，這是涉及此類問題求周期、范圍、最值等的常用方法，也是三角函數(shù)重要的考點(diǎn)之一.（Ⅱ）（2）解決的關(guān)鍵是通過數(shù)形結(jié)合，利用根的對(duì)稱性結(jié)合有關(guān)知識(shí)解決.

對(duì)于問題（Ⅱ）的（2），若對(duì)三角函數(shù)公式中的兩角差的余弦公式進(jìn)行適當(dāng)變換有cos（a-b）=cos［（a+j）-（b+ j）］=cos（a+j）cos（b+j）+sin（a+j）sin（b+j），考慮是否可以根據(jù)條件求出cos（a+j）cos（b+j）+sin（a+j）·sin（b+j）的值即可.

本題雖涉及的是三角函數(shù)中常見的問題，但若對(duì)型如asinx+bcosx的三角函數(shù)的特征，以及內(nèi)在聯(lián)系、幾何關(guān)系理解不透徹，就很難圓滿解決這一問題.

4.注重知識(shí)綜合，適度探索創(chuàng)新

今年福建高考試題堅(jiān)持能力立意，以數(shù)學(xué)知識(shí)為載體，以思維能力為核心，全面考查學(xué)生綜合分析解決問題的各種能力，考查學(xué)生個(gè)體理性思維的廣度和深度，以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)的潛能.命題追求穩(wěn)中求新，適度考查將已有的知識(shí)與方法遷移到新情境中解決問題的能力.如理8（文16）以等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義為載體綜合考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力和創(chuàng)新意識(shí)；理10、文21（Ⅱ）（2）分別以導(dǎo)數(shù)的幾何意義和正弦函數(shù)的最小正周期為載體綜合考查推理論證能力、特殊與一般思想、有限與無限思想和數(shù)形結(jié)合思想；理15以糾錯(cuò)碼和異或運(yùn)算為載體綜合考查了閱讀理解、遷移運(yùn)用的能力.

例3（理10）若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（0）=-1，其導(dǎo)函數(shù)f′（x）滿足f′（x）＞k＞1，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（）.

分析與略解：本題是理科選擇題的壓軸題，有一定難度，要根據(jù)問題條件與結(jié)論之間隱含的內(nèi)在聯(lián)系考慮解決方法，是一道考查能力的好題.

根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)g（x）=f（x）-kx，則g′（x）=f′（x）-k，故g（x）在R上單調(diào)遞增.

5.試卷結(jié)構(gòu)合理，體現(xiàn)文理差別

今年福建高考文理科試題層次分明、結(jié)構(gòu)合理，各題型都有明顯的“送分”題和“壓軸”點(diǎn)，填空題難度比往年略有下降，解答題題與題之間有分明的層次，且每道題均設(shè)置難度差異明顯的多問形式，對(duì)較難的解答題也利用分步給分的設(shè)計(jì)方法，不僅化解了難度，又合理地區(qū)分了不同層次的考生，提高了試卷的整體質(zhì)量.試卷對(duì)文、理科有不同要求，文理兩份試卷沒有完全相同的試題，部分考查相同知識(shí)點(diǎn)的試題文科與理科區(qū)別較大，正視文、理科學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)上的差異，突出共性，反映個(gè)性，理科注重考查數(shù)學(xué)推理和理性思維，注重對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)理解的深刻性及思維的抽象性，文科側(cè)重于常用的推理方法，注重?cái)?shù)學(xué)思維的形象性與數(shù)學(xué)的工具性，在抽象思維、字母運(yùn)算、空間想象、解決問題的能力等方面，與理科相比都適當(dāng)降低了難度，充分體現(xiàn)文、理科考生的特點(diǎn)，關(guān)注考生的實(shí)際情況，有助于素質(zhì)教育的深入實(shí)施.

二、教學(xué)啟示

從2015年福建高考數(shù)學(xué)試題分析，結(jié)合2016年全國許多省份將結(jié)束自主命題，重新啟用全國高考試卷，2016年高考復(fù)習(xí)應(yīng)把握以下幾點(diǎn)：

（1）要以《課程標(biāo)準(zhǔn)》、《考試大綱》及相應(yīng)的《考試說明》為依據(jù)，準(zhǔn)確理解高中新課程理念，認(rèn)真分析研究全國高考數(shù)學(xué)試卷的考試范圍、內(nèi)容要求、題型特點(diǎn)，關(guān)注復(fù)習(xí)策略的調(diào)整，正確把握復(fù)習(xí)方向，適時(shí)調(diào)整復(fù)習(xí)的難度與梯度.圍繞著新課程標(biāo)準(zhǔn)中的內(nèi)容主線、核心能力、改革理念，進(jìn)行全面、系統(tǒng)的復(fù)習(xí)，突出對(duì)學(xué)生創(chuàng)新精神、探究能力和實(shí)踐能力的培養(yǎng)，把探索性、研究性、創(chuàng)新性問題滲透在平時(shí)學(xué)習(xí)過程中.

（2）立足基礎(chǔ)，第一輪復(fù)習(xí)要全面、系統(tǒng)，不留死角.特別要培養(yǎng)學(xué)生解決數(shù)學(xué)問題的思維起點(diǎn)、意識(shí)，堅(jiān)持從基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、重點(diǎn)內(nèi)容的復(fù)習(xí)中發(fā)現(xiàn)知識(shí)的缺陷并尋找原因，通過對(duì)癥下藥及時(shí)補(bǔ)缺查漏，從而切實(shí)掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本方法.在教學(xué)和復(fù)習(xí)過程中，要注意知識(shí)的不斷深化，新知識(shí)應(yīng)及時(shí)納入已有的知識(shí)體系，特別要注意數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系和聯(lián)系，使學(xué)生已掌握的知識(shí)形成一個(gè)條理化、有序化、網(wǎng)絡(luò)化的有機(jī)體系.

（3）在抓好基礎(chǔ)知識(shí)的前提下，加強(qiáng)對(duì)高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)的復(fù)習(xí)，對(duì)于函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、三角、數(shù)列、不等式、空間線線、線面、面面關(guān)系、直線與圓錐曲線關(guān)系、統(tǒng)計(jì)與概率等內(nèi)容，都是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí)，要做到在重視基礎(chǔ)的前提下，“重點(diǎn)內(nèi)容，重點(diǎn)加強(qiáng)”，強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法、能力的培養(yǎng)，倡導(dǎo)“多思少算”，加強(qiáng)知識(shí)間的交叉、滲透和綜合，平時(shí)要加強(qiáng)對(duì)具有一定思維量的開放性、探索性的試題的研究，提高學(xué)生的探究能力.

（4）重視對(duì)選考內(nèi)容的要求和難度的研究，嚴(yán)格控制選考內(nèi)容的復(fù)習(xí)難度.復(fù)習(xí)中要強(qiáng)調(diào)所學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密結(jié)合，加強(qiáng)應(yīng)用教學(xué)，特別要培養(yǎng)學(xué)生能根據(jù)試題提供的信息進(jìn)行分析、檢索、加工和組合，探求問題實(shí)質(zhì)，尋找解決方案.要始終滲透函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類與整合、化歸與轉(zhuǎn)化、特殊與一般、或然與必然、有限與無限等數(shù)學(xué)思想，真正掌握數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)科素養(yǎng).

總之，2016年高考將面臨新的機(jī)遇與挑戰(zhàn)，要注意立足學(xué)科基礎(chǔ)，注重內(nèi)涵本質(zhì)，提高應(yīng)用意識(shí)，強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透及數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)，提高觀察、聯(lián)想、歸納類比等理性思維能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生形成綜合知識(shí)體系，真正提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)效性.F