把握命題特色合理優(yōu)化解題
——一道導數(shù)高考模擬題亮點賞析

☉江蘇省常熟中學 曹正清

把握命題特色合理優(yōu)化解題
——一道導數(shù)高考模擬題亮點賞析

☉江蘇省常熟中學 曹正清

眾所周知，函數(shù)與導數(shù)部分內(nèi)容在全國各省市高考命題中均以把關(guān)題甚至是壓軸題形式出現(xiàn).函數(shù)的應用是考查的重點，導數(shù)已由解決問題的輔助工具上升為解決問題必不可少的工具，特別是在研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值、零點，以及曲線的切線問題中，導數(shù)的作用更是功不可沒.

下面以一道導數(shù)高考模擬題為例，就問題的解答談幾點意見和建議，供大家參考.

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的零點及單調(diào)區(qū)間；

在高考試題中導數(shù)問題的考查常以函數(shù)與導數(shù)、不等式的綜合為主線，著重考查學生的數(shù)學素養(yǎng)和處理問題的能力，引導數(shù)學教學立足于數(shù)學知識、能力的基礎(chǔ)上，提升學生的綜合能力，導數(shù)壓軸題的命制與實施，目的就是全面考查考生對數(shù)學知識的理解和能力的提升.

一、落實基礎(chǔ)，突出能力

利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是導數(shù)的重要應用之一，解題中要注意對函數(shù)定義域的優(yōu)先考慮，導函數(shù)的零點是否為極值點，要做充分性判斷，即極值點兩側(cè)導數(shù)值異號.當x變化時，f′（x）、f（x）的變化情況如下表：

f（x）0，e （）f′（x）-f（x）↘3 3（）∞3 2 e 2e2，+ 0 +↗

評注：此類問題的另一命題視角是給出單調(diào)性判斷參數(shù)的取值范圍，即函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，則導函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)恒大于等于0，或小于等于0，進而將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題求解.

變式1：（2015年北京海淀二模）已知f（x）是定義域為R的偶函數(shù)，當x≤0時，f（x）=（x+1）3ex+1，那么函數(shù)f（x）的極值點的個數(shù)是（）.

A.5B.4C.3D.2

解析：當x≤0時，f′（x）=3（x+1）2ex+1+（x+1）3ex+1=（x+ 1）2ex+1（x+4），令f′（x）=0，得x=-4，所以當x∈（-∞，-4）時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；當x∈（-4，0）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，所以x=-4為極值點.

函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，所以當x＞0時，x=4為極值點.

又因為在x=0時，左右兩側(cè)函數(shù)單調(diào)性相異，故x=0為極值點.答案C.

評注：本題部分考生錯選答案D，漏掉x=0為極值點的情況，即忽視函數(shù)極值點存在的充分條件，不可導點仍然可能為極值點.

二、把握知識關(guān)聯(lián)

細心的考生已經(jīng)注意到了，此時的g′（x）恰好是第一問的f（x），這也是本題亮點之一，能有效考查考生對知識關(guān)聯(lián)的掌握及靈活應用的程度，進而使后續(xù)問題的求解順理成章.

三、最基本的方法解決復雜的題目

導數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某點的導數(shù)值即為在該點切線的斜率，曲線y=存在斜率為6的切線，即導函數(shù)的值域包含6.

因為x0＞，所以＜2，-6x0＜-3.所以y0=g（x0）＜-1.

四、逆向探究，執(zhí)果索因

變式3：（2015年全國新課標I）設(shè)函數(shù)f（x）=ex（2x-1）-ax+a，其中a＜1，若存在唯一的整數(shù)x0，使得f（x0）＜0，則a的取值范圍是（）.

解析：設(shè)g（x）=ex（2x-1），y=ax-a，由題意知存在唯一的整數(shù)x0，使得g（x0）在直線y=ax-a的下方.

如圖1，當x=0時，g（0）=-1，g（1）=3e＞0，直線y=ax-a恒過點（1，0）且斜率為a，故-a＞g（0）=-1，且g（-1）=-3e-1≥-a-a，解得≤a＜1，答案為D.

圖1

本題乍一看是一個導數(shù)求最值的題目，但是因為題目中限定了“存在唯一的整數(shù)x0”這個條件，讓很多同學感覺陌生和無從下手.這是默記解題套路給學生帶來的思維局限.面對函數(shù)，求導只是手段而不是目的，求導是幫助我們認知一個函數(shù)的過程.題目中出現(xiàn)“整數(shù)”這個條件是在幫助我們簡化題目，讓我們只需要關(guān)注函數(shù)圖像上的一些“散點”即可，但是因為高中階段數(shù)學教學中對于離散問題研究的較少，讓很多同學不適應，而忽略了問題的本質(zhì).F