嘗試自主教學(xué)享受生成創(chuàng)新
——基于“簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題”教學(xué)

☉江蘇省宿遷青華中學(xué) 于天舉

嘗試自主教學(xué)享受生成創(chuàng)新
——基于“簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題”教學(xué)

☉江蘇省宿遷青華中學(xué) 于天舉

一、教材分析

本節(jié)課是繼上一節(jié)二元一次不等式（組）表示平面區(qū)域的后續(xù)內(nèi)容，是“簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題”第1課時(shí)，內(nèi)容主要包括線(xiàn)性規(guī)劃的意義、線(xiàn)性約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行域、可行解、最優(yōu)解等概念和一些簡(jiǎn)單應(yīng)用.簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃在工程設(shè)計(jì)、經(jīng)濟(jì)管理、科學(xué)研究等方面的應(yīng)用非常廣泛.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，使學(xué)生進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，以培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和解決實(shí)際問(wèn)題的能力.筆者制訂了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，由實(shí)際問(wèn)題引入來(lái)探討學(xué)生自主探究的主要思路.

二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析

本節(jié)課學(xué)生在學(xué)習(xí)了不等式、直線(xiàn)方程的基礎(chǔ)上，又通過(guò)實(shí)例理解了平面區(qū)域的意義，并會(huì)畫(huà)出平面區(qū)域，還能初步用數(shù)學(xué)關(guān)系式表示簡(jiǎn)單的二元線(xiàn)性規(guī)劃的限制條件，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題.從數(shù)學(xué)知識(shí)上看，問(wèn)題涉及多個(gè)已知數(shù)據(jù)、多個(gè)字母變量、多個(gè)不等關(guān)系，從數(shù)學(xué)方法上看，學(xué)生對(duì)圖解法的認(rèn)識(shí)還很少，這都將成為學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn).

三、教學(xué)目標(biāo)

1.知識(shí)與技能

了解線(xiàn)性規(guī)劃的意義，以及線(xiàn)性約束條件、線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等概念；了解線(xiàn)性規(guī)劃的圖解法，并會(huì)利用圖解法求解線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)的最大（小）值.

2.過(guò)程與方法

在實(shí)驗(yàn)探究的過(guò)程中，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿(mǎn)著探索與創(chuàng)造，培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、作圖和理解實(shí)際問(wèn)題的能力，以及動(dòng)手操作、勇于探索的精神.

3.情態(tài)與價(jià)值

滲透集合、數(shù)形結(jié)合、化歸的數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)形結(jié)合”的應(yīng)用意識(shí)，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.

四、教學(xué)重、難點(diǎn)

（1）重點(diǎn)：指導(dǎo)學(xué)生緊緊抓住化歸、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，找到目標(biāo)函數(shù)與直線(xiàn)方程的關(guān)系.

（2）難點(diǎn)：用圖解法求最優(yōu)解的探索過(guò)程；數(shù)形結(jié)合思想的理解.

五、教學(xué)流程

活動(dòng)一：回顧知識(shí)，奠定基礎(chǔ)

師：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐標(biāo)系中表示什么圖形？

生1：表示在直線(xiàn)Ax+By+C=0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域.

師：怎樣畫(huà)二元一次不等式（組）所表示的區(qū)域？

生2：可以轉(zhuǎn)化為y＞kx+b或y＜kx+b的形式，大于的區(qū)域就是在直線(xiàn)上方，小于的區(qū)域就是在直線(xiàn)下方，也可以用特殊點(diǎn)代入驗(yàn)證.

師：很好！其中我們要注意檢查直線(xiàn)是虛線(xiàn)還是實(shí)線(xiàn)；一般的，如果C≠0，可取（0，0）；如果C＝0，可?。?，0）或（0，1）.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)教師提出問(wèn)題，學(xué)生思考、歸納、總結(jié)回答提問(wèn)，學(xué)生可以和同桌交流，得出觀點(diǎn).教師及時(shí)點(diǎn)評(píng)鼓勵(lì)，最好做出總結(jié).由此可以讓學(xué)生溫習(xí)舊知識(shí)，進(jìn)一步強(qiáng)化學(xué)生前面學(xué)習(xí)的內(nèi)容；由于二元一次不等式（組）表示的區(qū)域是學(xué)習(xí)本節(jié)課的重要基礎(chǔ)，復(fù)習(xí)可為本節(jié)課打好基礎(chǔ)；而且此處復(fù)習(xí)也做到了自然過(guò)度與上節(jié)課內(nèi)容有效連接.

活動(dòng)二：創(chuàng)設(shè)情境，啟迪思維

引例某工廠用A、B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個(gè)A配件耗時(shí)1h，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個(gè)B配件耗時(shí)2h.該廠每天最多可從配件廠獲得16個(gè)A配件和12個(gè)B配件，每天工作時(shí)間按8h計(jì)算.

問(wèn)題1：該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？

A配件B配件耗時(shí)（h）甲產(chǎn)品401乙產(chǎn)品042

（學(xué)生思考后給出解答）

生3：設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x、y件，由已知條件可得二元一次不等式組：

圖1

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生沿著教師的引導(dǎo)，通過(guò)認(rèn)真思考，探索交流，動(dòng)手操作，參與到解決實(shí)際問(wèn)題的課堂中來(lái).一個(gè)貼近實(shí)際的問(wèn)題情境使學(xué)生感到數(shù)學(xué)是自然的、有用的，學(xué)生更能夠容易理解，因而，更容易激起學(xué)生解決問(wèn)題的欲望，調(diào)動(dòng)起學(xué)生的積極性.因此這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)更注重學(xué)生的思維發(fā)展，更具有程序性，因而學(xué)生更容易操作.

問(wèn)題2：若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬(wàn)元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬(wàn)元，采用哪種生產(chǎn)安排獲得利潤(rùn)最大？

生2：（思考片刻）設(shè)工廠的利潤(rùn)為z，則z=2x+3y.

問(wèn)題3：我們可以想出怎樣的辦法，在該區(qū)域中找到使得z值最大的點(diǎn)？

設(shè)計(jì)意圖：本問(wèn)題的設(shè)置目的是將實(shí)際問(wèn)題中的最值轉(zhuǎn)換為直線(xiàn)斜率在特定區(qū)域內(nèi)的最值.教師是整個(gè)過(guò)程的引導(dǎo)者、參與者，甚至成為學(xué)生的協(xié)作者.本環(huán)節(jié)學(xué)生體驗(yàn)到從分析實(shí)際問(wèn)題，再通過(guò)思維建立起數(shù)學(xué)模型，最終解決問(wèn)題的過(guò)程，有效地培養(yǎng)了學(xué)生利用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的意識(shí).最后的思考抓住解決線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的關(guān)鍵，學(xué)生把思維的焦點(diǎn)放在了本節(jié)的難點(diǎn)上，從而有效突破難點(diǎn).

活動(dòng)三：例題講解，提升思維

例1營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白質(zhì)，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg的蛋白質(zhì)，0.14kg的脂肪，花費(fèi)28元；而1kg食物B含有0.105kg的碳水化合物，0.14kg的蛋白質(zhì)，0.07kg的脂肪，花費(fèi)21元.為了滿(mǎn)足營(yíng)養(yǎng)學(xué)家指出的日常飲食要求，同時(shí)使花費(fèi)最低，需要同時(shí)食用食物A和食物B各多少？

（學(xué)生在引例解決的基礎(chǔ)上不難解決此題，此處限于篇幅略，去解題過(guò)程）

問(wèn)題4：通過(guò)對(duì)以上兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題的解決，你認(rèn)為利用線(xiàn)性規(guī)劃解決實(shí)際問(wèn)題可以分為哪幾個(gè)步驟？它們都是什么？

規(guī)范線(xiàn)性規(guī)劃圖解法的步驟：

（1）列——設(shè)出未知數(shù)，列出約束條件，確定目標(biāo)函數(shù).

（2）畫(huà)——畫(huà)出線(xiàn)性約束條件所表示的可行域；畫(huà)目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線(xiàn).

（3）移——在可行域內(nèi)移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)到斜率最大（最?。?

（4）求——通過(guò)解方程組求出最優(yōu)解.

（5）答——作出答案.

設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在引例的基礎(chǔ)上，已經(jīng)對(duì)解決線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題有了一定的認(rèn)識(shí)，此處引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)、歸納解決問(wèn)題的步驟，培養(yǎng)思維的嚴(yán)密性.

活動(dòng)四：反饋訓(xùn)練，拓展引申

變式2：求Z=3x+5y的最大值，以及取最大值時(shí)最優(yōu)解的個(gè)數(shù).

變式3：若Z=3x+ay取最大值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)個(gè)，則a值如何？

變式4：當(dāng)Z=3x+ay取最大值時(shí)，最優(yōu)解僅有（5，2），則a的取值范圍又將如何呢？

（學(xué)生結(jié)合圖形獨(dú)立思考、交流合作、給出解答）

師：大家說(shuō)的很好！把握住了此類(lèi)題目的關(guān)鍵所在，理解非常到位，課后再進(jìn)行整理.如果目標(biāo)函數(shù)是非線(xiàn)性的函數(shù)時(shí)又怎么處理呢？

變式8：求Z=x2+y2的范圍.

變式9：求Z=（x-4）2+（y-1）2的范圍.

根據(jù)變式5到變式7的鋪墊，學(xué)生易想到通過(guò)考慮式子的幾何意義——距離的平方來(lái)解決問(wèn)題.

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)各類(lèi)變式的分析，由學(xué)生總結(jié)方法，形成共識(shí)，進(jìn)而上升為規(guī)律，對(duì)學(xué)生的解題能力是一個(gè)很大的提升.在這其中，精選題目是組織習(xí)題課教學(xué)的關(guān)鍵.本題所選題目正是那種可以無(wú)限擴(kuò)展的題型，對(duì)學(xué)生的發(fā)散思維有很大幫助.

“解題千萬(wàn)道，解后拋云霄”是難以提高能力和發(fā)展思維的，這是我們教數(shù)學(xué)的老師一直頭疼的一件事，其實(shí)根源就在于不能很好地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解后反思與方法總結(jié).

活動(dòng)五：課堂小結(jié)，提升總結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生回顧用圖解法解決簡(jiǎn)單的線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的基本步驟：（1）列；（2）畫(huà)；（3）移；（4）求；（5）答.同時(shí)回顧研究問(wèn)題所用的數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想等，以便增加學(xué)生的數(shù)學(xué)理解力，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

六、教學(xué)與反思

（1）概念生成的課堂是學(xué)生收集、檢索、甄別、整合信息的探索活動(dòng)，提出問(wèn)題，相互質(zhì)疑，爭(zhēng)辯，使認(rèn)識(shí)不斷深入，思維不斷精致，化神秘為自然，這樣以學(xué)生為認(rèn)識(shí)主體的教學(xué)方式凸顯了“自主—?jiǎng)?chuàng)新”的精神實(shí)質(zhì).本課例中，用線(xiàn)性規(guī)劃思想解決實(shí)際問(wèn)題均通過(guò)教師設(shè)置的問(wèn)題串的引導(dǎo)，經(jīng)過(guò)學(xué)生獨(dú)立思考、合作交流等方式取得.

（2）由于本節(jié)內(nèi)容難度不大，本想直接給出例題，但是考慮到讓學(xué)生自然理解線(xiàn)性規(guī)劃在解題中的運(yùn)用，故用了引例，進(jìn)而學(xué)生易于理解例題的解答，并能自己總結(jié)出解題步驟，培養(yǎng)學(xué)生的概括能力，提升學(xué)生思維的嚴(yán)密性.

（3）例題后的變式是本節(jié)課的一個(gè)高潮部分，作為第一課時(shí)是否超越教材要求？這樣的現(xiàn)象是不是合理？這樣做，是否體現(xiàn)“用教材教”？教之道在于“度”，學(xué)之道在于“悟”.深入研讀教材，才能把握好教學(xué)的“度”.筆者認(rèn)為，合理與否關(guān)鍵在于學(xué)生的接受程度，而并不是局限于教學(xué)目標(biāo)和教材安排.本案例后面的變式部分，對(duì)于學(xué)生提煉總結(jié)方法、歸納題型、提高解題能力，同時(shí)對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性大有裨益.

沒(méi)有誰(shuí)能剝奪學(xué)生自主建構(gòu)的權(quán)利，即便想剝奪，也奪不去他們對(duì)知識(shí)的懷疑，即便強(qiáng)加，也不能讓其心悅誠(chéng)服.真正能說(shuō)服學(xué)生的，是他自己，只有將“已有的”與“欲求的”完美對(duì)接，才能和諧建構(gòu)，促進(jìn)知識(shí)的生長(zhǎng).知識(shí)，因結(jié)果呈現(xiàn)而彰顯邏輯，體現(xiàn)出結(jié)論性的靜態(tài)特征，而學(xué)生知識(shí)的形成與建構(gòu)與數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)迥然不同，材料、背景、經(jīng)驗(yàn)、習(xí)慣都影響著認(rèn)知，缺少對(duì)學(xué)生的理解，教育便失去針對(duì)性，教學(xué)便忽視個(gè)性化，光靠網(wǎng)絡(luò)視頻就足以完成的，何必還要教師？鑒于此，筆者認(rèn)為，教學(xué)活動(dòng)的過(guò)程，是策動(dòng)、激發(fā)的過(guò)程，是參與、體驗(yàn)的過(guò)程，是享受、賞識(shí)的過(guò)程.一句話(huà)，是培育積極情感的過(guò)程.A