高斯數論研究芻議及其生平補遺
——紀念高斯逝世160周年

金亞南，徐瀝泉

①無錫旅游商貿高等職業(yè)技術學校，江蘇 無錫 214045；②無錫市教育科學研究院，江蘇 無錫 214001

高斯數論研究芻議及其生平補遺
——紀念高斯逝世160周年

金亞南①，徐瀝泉②?

①無錫旅游商貿高等職業(yè)技術學校，江蘇 無錫 214045；②無錫市教育科學研究院，江蘇 無錫 214001

高斯是繼歐拉與拉格郎日之后把分析方法應用于數論研究的又一位數學大師。本文扼要地綜述高斯數論研究的早期工作，其中有許多激動人心的數論公式與定理。例如：正十七邊形的解，高斯和，二次互反律的證明；高斯的名著《算術研究》中較多的篇幅都涉及到了二次同余和二次型、代數學基本定理，高斯整數環(huán)的概念等，以及高斯在解決這些問題的同時所創(chuàng)造的證明方法和概念。這些概念、定理或公式都是高斯發(fā)明并加以精確論證的。與眾不同的是，他善于把復雜問題變換為一個簡單問題。事實上，高斯的想法更具一般性，并足以展示高斯數學工作的深刻性。文中的某些典型例子反映了他深刻的洞察力。從高斯對數學科學的發(fā)現和發(fā)明中，我們還可以領略與欣賞到他深邃的創(chuàng)造性思維活動中的方法論價值。他并沒有把他的發(fā)現和發(fā)明過程掩蓋起來，而是記載在他的工作日記和給友人的信件之中。

算術研究；正十七邊形；二次互反律；高斯和；高斯整數環(huán)

如果說費馬是現代數論研究的先驅，那么毫無疑問，高斯則是現代數論研究的奠基者?？?弗里德里希?高斯(Carl Friedrich Gauss)生于1777年，卒于1855年，逝世已160周年。他是眾所周知的那個時代最偉大的數學家。他在數論方面的主要著作有《算術研究》(中國臺灣學者把它譯作《整數論研考》)。數論在數學中的地位是獨特的，對此高斯曾經說過：“數學是科學的皇后，數論是數學中的皇冠。”高斯的名著《算術研究》于1801年問世，由此開創(chuàng)了數論研究的全新方式，是數論研究系統(tǒng)化、科學化的劃時代著作。除此之外，高斯還有若干數論方面的小論文，其中包括許多深刻和專門的結果。當然，這里只能涉及其中的一小部分。

高斯的數學生涯經歷了一條非凡而令人驚嘆的道路，從他的工作日記中可見一斑。它告訴我們有關高斯的最重要的發(fā)現。高斯并不是人們所傳言的那樣，是一位隱匿其重大發(fā)現和研究過程的數學家，更不是有人形容的，高斯從不讓人看到和發(fā)現他的研究過程與方法，就像一頭在沙漠中行走的狡猾的狐貍，不時地用尾巴掃除掉自己所走過的足跡。不過高斯的一句座右銘“寧肯少些，但要好些”倒是真的，它恰如其分地刻畫出了他一貫的研究風格。高斯對待學問十分嚴謹，他的研究成果不到自己認為已經是臻善致美、無懈可擊時，他是不會發(fā)表出來的。

1 正十七邊形作圖、高斯二次互反律與高斯和

從文獻[1]中我們可以了解到許多關于高斯的鮮為人知的思維方法與過程。1796年3月30日，他發(fā)現了五進制與二進制的割圓原理，即在幾何上把圓17等分的可行性問題。爾后在他1819年寫給Gerling的一封信中，高斯又進一步推廣了他的關于正十七邊形的可構造性原理(等分圓周原理以及用幾何方法十七等分圓周)。他說：

“我聯想到方程1+x+...+xp-1=0的所有的根，并對它們進行了集中的分析，依據算法的原理，我終于成功了！那是在布倫瑞克(Braunschweig)休假期間，那天早晨，在我起床之前，我清楚地看到了它們之間的這種聯系，能夠特殊地應用于正十七邊形，并立刻用數值的方法一一驗證了它們?！盵1]64。

換言之，高斯解決了一個十分古老的古典問題——正十七邊形的尺規(guī)作圖問題，即正十七邊形可以使用圓規(guī)和直尺作出。于是高斯首次發(fā)布了一個告示，并在這個告示中強調指出，他的方法足以徹底解決任何正n邊形的作圖問題，即：正n邊形可以用圓規(guī)和直尺作出，當且僅當邊數n=2kp1...pr,時。這里pi是費馬素數，即形如22i+1的數。

僅幾個星期后，1796年4月18日，高斯又第一個給出了關于二次互反律的完整證明：

這是他在幾個月前獨立于歐拉和勒讓德(Legendre)所發(fā)現的。與之相聯系，他發(fā)展了二元二次型的理論。他所建立的這一理論遠遠超越了他的前輩們，諸如拉格朗日(Lagrange)和勒讓德的工作 。他的著名的《整數論研考》一書，于1801年在Latin這個地方首次出版。它所創(chuàng)建的理論為數論奠定了系統(tǒng)而堅實的基礎，也極大地豐富了數學科學領域。在這之前，數論并沒有成為數學的一個科學分支。用高斯的話來說，其中的最優(yōu)美結果都是零星而雜亂無章地分布著，是靠人們的好運氣被實驗性地發(fā)現的，而對它們的證明“則深深地隱匿在黑暗之中，頑固地抵制所有的努力，挫敗最銳利的探究”。數論中各種規(guī)律看起來互不相關、性質迥異，實際上卻是緊密聯系的。這些規(guī)律經?？梢酝ㄟ^不同途徑加以發(fā)現，殊途同歸，最終加以比較之后找到一個最簡單、最自然且令人滿意的證明方法[2]。今天，關于如何構造正多邊形作圖的定理，已成為伽羅華(Galois)理論的一部分。一種數學理論越是向某些問題縱深發(fā)展之后，就常常會碰到更多令人驚奇的發(fā)現。

高斯在《整數論研考》(Disquisitiones Arithemeticae )第四節(jié)中把二次互反律稱之為基本定理，居于一個突出的位置，因為它蘊含了所有二次剩余的理論。高斯著重指出了這個定理的重要性，它既可以判別二次同余式解的一般法則，同時也揭示了存在于質數對之間的一個意想不到的驚人的聯系，一個支配質數的深刻的法則。高斯認為：“數論本質上分為兩部分：同余理論和齊次式的理論。二項同余式理論是一般同余理論的核心組成部分，而互反律則是后一理論的基石?！?/p>

在高斯的一生中，給出這一基本定理八個不同的證明方法。他在與愛森斯坦(F. G. Eisenstein，1823—1852，高斯的學生，德國數學家)的對話中講述自己在這方面的坎坷經歷：“我在1795年獨立地發(fā)現了這個定理，當時我對其他人在高等算術中的成就一無所知，因此并沒有從相關文獻上得到一星半點的幫助。這個定理折磨了我整整一年，付出了我最艱巨的努力，直到最后我終于得到了一個證明(作者注：1796年4月18日，他的第一種證法僅用到了整數性質，這是基本初等的方法)。后來我又發(fā)現了另外三個基于完全不同的原理的證明，其中有一個我已經在《整數論研考》的第五節(jié)中給出，其余的幾個論優(yōu)美都難以與之比肩，我保留著等將來發(fā)表。盡管這些證明在嚴格性上無可挑剔，它們的背景來源卻都和原問題相去甚遠?！盵2]其中有幾種證明方法，他用到了高斯和的理論。

“對根的符號的確定，使我們許多年來傷透了腦筋。在我所找到的一個問題的每一道關口都被蒙上了陰影。直到最后的四年里，碰巧有這么一個星期，由于不成功，我已經放棄了這樣或者那樣的企圖，最后，也就是幾天之前，我終于成功了。但是這一成功，與其說是作為我所尋找到的一個答案，倒不如說是由于上帝的恩賜而來，好像突然之間劃出了一道閃光一樣，它終于自己解開了這個謎。”[1]66

2 代數學基本定理和高斯數環(huán)

高斯對代數學的重要貢獻是證明了代數學基本定理，他的存在性證明開創(chuàng)了數學研究的新途徑。代數學基本定理是說，每個具有復系數的多項式都可以在復數域中被表示為若干個線性因子之積的形式。它有多種等價的表述，如每一個次數大于等于1的復系數多項式在復數域中有一根。利用復變函數論中的結論可以很簡單地證明，這正是高斯所考慮的問題。高斯以其對該定理的高超證明，使數學界不僅對高斯本人而且對復數刮目相看，從而進一步確認了復數的地位。不僅如此，他又把復數帶進了數論，并且創(chuàng)立了復整數理論。

高斯在該領域中最重要的成就是對三次和四次互反律的發(fā)現與證明。為此，他引進了高斯整數，即復整數。高斯證明了復整數在本質上具有和普通整數相同的性質，普通素數的許多定理可以轉化為復素數的定理。更為重要的是，由高斯引入的復整數理論開辟了代數數論這一新的數論分支。這一理論，在19世紀得到了巨大的發(fā)展[3-5]。

這已經表明存在一種聯系，即兩數平方和的一種表達式。我們有||xy||=||x||·||y||。高斯證明了A是一個歐幾里德(Euclidean)環(huán)。

眾所周知，歐幾里德算法(系統(tǒng))準則的一條現存結果是A中的每一個元素都可以表為素元之積(所謂素元是指A中除本身及單位外無其他因子的元素)。整數中的非素數肯定不是素元，但并非素數都是A中的素元。例如：2=(-i)(1+i)2，(1+i)是一個素元。如果x是一個單位(可逆)元素，并且xy=1，可得||x||||y||=1，從而||x||=1，即x∈{1，-1，i，-i}。在此環(huán)中，可逆元素不再是±1，而是±1，±i。這方面高斯已經明確地認識到在A中分解素(數)因子的必要性。

在高斯整數環(huán)中定義了A中的?函數：

展成“歐拉積”可得[6]

此公式中，?(s)是Zeta函數，而L(s)稱為L函數。

這里，

當s＞0時，L(s)收斂；而當s=1時恰恰就是萊伯尼茲級數：這正是我們所熟悉的。

讓我們再一次考慮這個方程：

因為||x+iy||=x2+y2，

從直觀上看，我們可以相當清楚地得到下面的一類近似等式(左邊是一個關于積分的黎曼和)：

更精確地，我們有

計算此乘積是微積分中的一個標準練習題。我們代之以極坐標x=r cos φ，y=r sin φ，可得

由此產生

最終又可得到萊伯尼茲級數：

令人意外的是，A中素因子的唯一分解問題竟與萊伯尼茲級數和p/4能聯系到一起，但這個聯系在數論中是極其重要的事實。它的一般原則被Dirichlet(迪里赫列德)完全發(fā)現。高斯對萊伯尼茲公式的證明非常簡易，但是他從未發(fā)表過他的想法，盡管他還取得了另一些進展。這是當他完成《整數論研考》這部著作33年之后完成的，直到他去世之后才得以出版。至于在這方面，高斯本人是否給迪里赫列德提供過某種線索，能了解這一點是非常有趣的。令人遺憾的是，我們不得而知。迪里赫列德的論文中所涉及到這方面的成果也沒有提供給高斯。高斯并沒有對迪里赫列德的論文中的那些材料作過任何評論，迪里赫列德卻發(fā)展了這些思想?？偟恼f來，高斯對其他數學家的發(fā)現很少予以關注，但不關注迪里赫列德是非?？上У模驗榈侠锖樟械率歉咚箍梢詮乃抢铽@取這些思想的難得的數學家。

當然，高斯對現代數論研究的貢獻遠不止這些。盡管從費馬、歐拉、拉格朗日、勒讓德，直到敏可夫斯基等等，都出自數論本身的內在趣味及其所特有的美而進行過獨自的研究，但高斯的工作是首先把先前人們所引用的符號標準化，運用二元二次型的語言非常徹底地完成了系列命題的公式化。他把已有的結果理論化和系統(tǒng)化，并開創(chuàng)了數學研究的新途徑，奠定了近代數論的基礎。

3 高斯生平補遺

最后，讓我們使用少許篇幅總結一下高斯的人格與生平，其中有一些是鮮為人知的珍貴資料。歐拉的一位同事和遠親——Nicolaus Fuss，他以《L?歐拉的頌詞》為例，從人們所期待的一種科學傳記的需求，做出了如下的描述，這是1783年10月23日他在圣?彼得堡皇家科學院的一次會議上所作的演講。他說：

“傳記文學家要描述一位偉人的生平，都會從他所處的那個時代出發(fā)，贊揚偉人對開啟人類智能所做出的貢獻，并結合偉人高雅的風格進行生動的寫照；另外，傳記文學家本身也必須具備完備的科學知識，他所記述的內容應當是科學的最新進展。然而，在諸多基本素質之中，這兩種素養(yǎng)對一些人來說并不是兼而有之的。盡管傳記文學家們不需要使用那些不必要的裝飾去修飾他的主題，但并不是說他不能從他的職責出發(fā)，自然地有鑒賞性地去組織素材，清楚地給予介紹，如實地進行記述。他應該揭示天才的偉人是如何產生的，應該調查周圍環(huán)境怎樣有助于杰出人才的造就與發(fā)展，對于偉人精湛的技藝給予廣泛的解釋，且這種贊揚不能忘記在天才人物出現之前對當時歷史現狀的分析，包括自然與社會。只有這樣才能正確地定位和反映出真實水準?！?/p>

這里由于篇幅所限，我們不能對高斯的人品和貢獻做出全面而系統(tǒng)的介紹。如果只需了解一個梗概的話，可閱讀科學傳記詞典K. O. May的文章，和1977年德國布倫瑞克科協(xié)出版的邁爾-萊布尼茨的論著《Kreativitat》(創(chuàng)意)中關于高斯的論文[1]。W. K. Buhlerr的一本關于高斯的文學傳記，則包含了更多的內容與信息，是一本新的非常杰出的傳記。

高斯1777年4月30日出生于布倫瑞克。高斯的母親婚前是女仆。他的父親Gebhard Dietrich Gauss是個非常勤勞而嚴謹的人，從事過許多種工作，當過石匠、屠夫、園林工和泥瓦匠(water worker)。他總是日夜繁忙，試圖改變其貧窮的家境。爾后，在1810年4月15日的一天，高斯對他的未婚妻Minna Waldeck這樣描述過自己的父親：

“我的父親以他非常正直的人品和高雅的工作方式贏得了人們的尊敬，但是他在家里是一個非常獨裁的人，粗暴而又急躁。我可以這樣說，他在我幼小的心靈里已經失去了我對他的充分信任。即便這樣也不會導致我們之間實際上的沖突，因為我早就變得非常地不依賴于他了。”

實際上，高斯在他那個樸素的家庭氛圍中早就得到了某種鍛煉，他那非凡的天資在早期就開始顯露出來。他自己學會了怎樣去閱讀和計算。在小學里，高斯的老師——尤其是他的輔導老師(助教)Martin Bartels——已經發(fā)現了高斯在算術方面的天才。高斯9歲時，Bartels就開始給高斯特殊的訓練，給他提供特別的教科書。這樣一個突出的學生所產生的影響，引起了周圍人們的關注。1877年，高斯違背了父親的意愿進入大學預科學校讀書，并由于學業(yè)進步巨大而得以跳級。在那兒他學習了兩年。除了他在數學方面的聰明才智外，高斯在語言方面的天賦也是罕見的。1791年，正當高斯14歲那年，他在布倫瑞克Carl Wilhelm Ferdinand公爵的宮廷里，接受了公爵贈與他的一筆獎學金。這是從公爵私人的財務開支中拿出的數額有限的費用，但已足以使高斯在面臨失學的關鍵時刻很容易地得以繼續(xù)完成他正常的學業(yè)，直到30歲為止。

1792年，高斯進入布倫瑞克的Carolinum高等學校學習。在那里他閱讀了大量的數學大師的著作，其中有牛頓的《自然哲學之數學原理》(Newton’s Principia)、雅格布?伯努利(Jacob Bernoulli)的遺著《猜度術》( J. Bernoulli’s Ars Conjectandi)，以及歐拉與拉格朗日的著作。這時，高斯也開始了他自己的研究。3年以后，高斯離開了學院，到G?ttingen(哥廷根)大學就讀。但當時高斯還尚未決定到底是專攻數學還是專攻語言學，直到他發(fā)現可以用圓規(guī)和直尺畫出正十七邊形(正多邊形的歐幾里德作圖理論)的一剎那，才最終選擇數學作為其職業(yè)生涯。

在當時，他進入了這樣的一種狀態(tài)，覺得有必要把他在此期間所產生的許多想法一一如實地記錄下來。他的科學日記就是他自己研究成果的有力證明，并一直延續(xù)到1800年。這也是他一生中最多產的一個時期。在他已經完成的許多最重要的工作之中，幾乎從來沒有后人徹底地加以改進過，尤其是他對橢圓函數的考察。在此期間取得的成就，也包括他已經寫成的《整數論研考》，該書在1801年出版。盡管當它出版的時候，能夠看懂的人不多，但這并沒有影響到人們一致公認為他是一位杰出的數學家。

1798年，高斯完成了他在哥廷根大學的學業(yè)，返回布倫瑞克。他仍然依靠所獲得的那筆資助基金從事研究工作。1799年，他被赫爾姆施泰特(Helmstedt)大學授予博士學位的時候，本人并不在場。1801年，由于高斯的計算，使得失蹤了的小行星谷神星(Ceres)再次得以發(fā)現，這件事使高斯名聲大震。這是皮阿齊(G. Piazzi，意大利天文學家)發(fā)現并于1801年1月1日公布但隨即消失了的一顆小行星。高斯要真正看到它是根本不可能的，他只是在此基礎上，即憑借皮阿齊的有限的觀察資料，進行理論和數據的考察與推斷，從而成功地計算出它的運行軌道(注：1978年，當這顆小行星的反射光線再次出現時，Ceres專門撰寫了有關的論文，由此而得以Ceres的名義命名)。此事的成功，使得高斯轉向天文學方面的研究，從而使自己系統(tǒng)地深入到天文科學，并于1807年被任命為哥廷根天文臺臺長。這一職位一直被保留到1855年高斯逝世為止。這一職位使他能進行獨立的大量的研究，而無需承擔任何教學任務，但也必須做許多具體的行政工作。

正如我們所知道的，長期以來，數學與其背景密不可分。在德國北部地區(qū)的大面積測地工作消耗了高斯的許多時間，但人們可能不會看到高斯所卷入的這些實際問題卻剌激了高斯在數學方面的某些研究。例如：在不同的幾何方面，高斯把曲面上的問題映射到平面上，并在1816年左右就得到非歐幾何的原理。他對測地線的觀察剌激了許多數學技術的發(fā)展，也有助于高斯本人掌握巨大的實驗資料。大地測量學是高斯在一生中通過一百多萬次的計算而建立起來的。不過，如果高斯不做那些具體工作，而把他的全部精力都投身于數學的話，對數學的發(fā)展是否會更好一些。

我們已經看到，高斯的一生幾乎沒有發(fā)生過意外的重大變化。他一直在哥廷根度過了50年，并且在最后的幾十年里實際上沒有離開過這座城市。他的生活是清淡而樸素的，但是他也以此節(jié)儉的方式積累了一些財富，這也許是他在那種貧窮的環(huán)境中所養(yǎng)成的一種習慣吧！

盡管他的生活是普通的，但是他個人對他家庭的安排，以及他與另一些科學家之間的關系并不是和諧的。這里，我們主要對一封信感興趣。該信是1838年11月高斯寫給迪里赫列德的。我們已經指出，高斯不是很關注其他數學家的工作，這樣說并非夸張。Jacobi抱怨高斯說，他沒有引證過他和迪里赫列德的任何論文長達20年之久。他在阿貝爾(挪威，Abel)在世時沒有給予任何關注，僅僅當阿貝爾英年早逝之后高斯請求他的摯友Olbers給他找一下，是否可以從哪里獲得阿貝爾的肖像。對于法國數學家，或許由于政治上的原因，高斯至少是漠視他們的；而對于某些人，高斯甚至表現出莫大的厭惡。愛森斯坦是在公開場合受到高斯贊揚的少數人之一。然而他是不幸的，因為患病而意志消沉。在許多方面，愛森斯坦與高斯恰恰相反，因為他的著作與高斯“寧肯少些，但要好些”的格言格格不入。

這似乎很奇怪，高斯并沒有公布他的許多重要的發(fā)現，盡管他在追求優(yōu)先權方面要超過另一些數學家，且從未表現過厭倦。這會帶來許多的麻煩，為此，他常常遭到非難。越到年老，高斯越是強烈地滋生那些似乎是不可能的與達不到的榮譽感。他的學生本來就少，但每當他可能與他們聯系的時候他也總是回避不見。他對漢堡德?亞歷山大表現出像冰川一樣的冷漠。他不幸的家庭關系也許是造成他性格冷漠的因素之一。到目前為止，我們可以看到，高斯的青年時代和在哥廷根的前期已經從沉重的生活困境中解放出來，因而顯得很幸福。在1805—1809年間，他與Johanna Osthoff的第一次婚姻期間，他們度過了一段彼此間感到美滿而寧靜的生活。高斯永遠也不會忘記當他的第三個孩子剛剛誕生不久之后，他的第一個妻子就去世了(注：她生有二子一女)。不久，高斯再婚。然而，他與Minna Waldeck的第二次婚姻實際上是不幸福的。Minna長期生病，還時不時地會發(fā)作歇斯底里癥。高斯與她所生育的孩子們的關系也很緊張，最終他們都離開高斯永久定居在美國。高斯寫信給他在哥廷根求學時代就結下了友誼的好友Wolfgang Bolyai說：“我的一生，在這世界上的許多人，他們都妒忌我。這是真的！但我確信，這些痛苦的經歷，已經相去甚遠；只要在年輕時敢于與它們抗爭，到老來所得到的，真正是價值無比?！?/p>

(2015年5月25日收稿)

參考文獻

[1]SCHARLAU W, OPOLKA H. From Fermat to Minkowski [M]// Lectures on Theory of Numbers and Its Historical Development. New York: Springer-Verlag, 1985: 13-31.

[2]謝國芳. 高斯、愛森斯坦和二次互反律的“第三個”證明——一幕小戲劇[EB/OL]. (2012-08-15)[2015-05-25]. http://www.xieguofang. cn/Translations/Math/Gauss_Eisenstein_Ch.htm.

[3]KLINE M. Mathematical thought from ancient to modern times [M]. New York: Oxford University Press, 1990.

[4]華羅庚, 王元. 數論在近似分析中的應用[M]. 北京: 科學出版社, 1978: 128-129.

[5]潘承洞, 潘承彪. 初等代數數論[M]. 濟南: 山東大學出版社, 1991: 112-117.

[6]唐志華, 徐瀝泉, 徐利治. 歐拉應用分析于數論研究綜述[J]. 南京師范大學學報: 自然科學版, 2007, 26(6): 43-48.

[7]徐瀝泉, 林益, 吳仲和. 數論中三個著名級數定理的構造性證明及其推論[J].大學數學, 2010, 30(3): 123-128.

[8]MANIN Y I, PANCHISHKIN A A. Introduction to modern number theory [M]. 2nd ed. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2005: 115-189.

(編輯：沈美芳)

Gauss number theory studies and his life addendum

JIN Yanan①, XU Liquan②
①Wuxi Higher Vocational School of Tourism & Commerce, Wuxi 214045, Jiangsu Province, China; ②Wuxi Institute of Education Science, Wuxi 214001, Jiangsu Province, China

As we know, Carl Friedrich Gauss was a mathematician to make use of mathematical analysis to research the number theory after Euler and Lagrange. An introduction of his study is presented systematically here. There are many exciting formulas and theorems such as the constructability of the regular 17-gon, Gaussian sum and the law of quadratic reciprocity. His main numbertheoretical work, Disquisitions Arithmeticae, and several smaller number-theoretical papers contain so many deep and technical results that Fundamental Theorem of Algebra and the ring of Guassian integers and so on. These conceptions, theorems, and formulas were all fi rst discovered accurately by Gauss’ demonstrations. Gauss was extraordinary at converting a complex question into a simple problem. In fact, Gauss’ ideas have become more generalized. These facts are enough to prove that he had extensive and deep knowledge of his subject. A few instances represent his deep insight. Besides, we can appreciate the basic principle of methodology from Gauss’ inventions and discoveries. He never takes a process of discovery in a cover-up, and we know this from his diary which informs us about his most important discoveries.

Disquisitions Arithmeticae, the regular 17-gon, the law of quadratic reciprocity, Guassian sum, the ring of Guassian integers

10.3969/j.issn.0253-9608.2015.05.005

?通信作者，E-mail：liquanwx@163.com