麥弗遜懸架運(yùn)動(dòng)分析的空間解析法及MATLAB實(shí)現(xiàn)

李 晏，張 姍，王 威，陳辛波，3

（1.同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 201804；2.同濟(jì)大學(xué) 汽車學(xué)院，上海 201804；3.同濟(jì)大學(xué) 新能源汽車工程中心，上海 201804；）

懸架是車輪和車身之間彈性連接的部件，其作用是把路面作用于車輪上的垂直反力、縱向力和側(cè)向反力以及這些反力所造成的力矩傳遞到車身上，并保證車輪和車身之間有確定的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，使汽車具有良好的駕駛性能［1］.汽車獨(dú)立懸架結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性關(guān)系到汽車的操縱穩(wěn)定性、乘車舒適性及底盤(pán)結(jié)構(gòu)布置中的運(yùn)動(dòng)干涉等問(wèn)題［2］.車輪上下跳動(dòng)時(shí)，主銷內(nèi)傾角、主銷后傾角、車輪前束角、車輪外傾角等車輪定位參數(shù)的變化反映了懸架的運(yùn)動(dòng)特性，其變化規(guī)律會(huì)對(duì)整車性能產(chǎn)生重要影響.尤其是隨著汽車行駛速度的提高，懸架運(yùn)動(dòng)學(xué)對(duì)操縱穩(wěn)定性的影響程度顯著增強(qiáng).車輪外傾角和前束角對(duì)汽車的直線行駛穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)向特性和輪胎磨損都有較大的影響，一般都希望車輛的車輪定位參數(shù)在車輪上下跳動(dòng)過(guò)程中的變化盡量小［3－4］.汽車獨(dú)立懸架空間運(yùn)動(dòng)特性分析的目的是通過(guò)建立和求解懸架的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，確定懸架機(jī)構(gòu)的空間幾何參數(shù)及其變化規(guī)律，這是進(jìn)行懸架機(jī)構(gòu)設(shè)計(jì)和分析懸架系統(tǒng)參數(shù)對(duì)汽車性能影響的基礎(chǔ)［5］.

目前有多種方法可以用來(lái)進(jìn)行懸架運(yùn)動(dòng)特性分析，例如，夏長(zhǎng)高利用多柔性體動(dòng)力學(xué)方法，建立了基于ADAMS軟件平臺(tái)的麥?zhǔn)姜?dú)立懸架動(dòng)力學(xué)仿真模型［6］；MANTARAS等結(jié)合多剛體動(dòng)力學(xué)和空間機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)，利用Visual C＋＋軟件進(jìn)行了性能分析［7］；時(shí)培成等建立了3自由度的車輛模型，利用MATLAB／Simulink進(jìn)行了仿真，并和試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了比較［8］.麥弗遜懸架是汽車上廣泛采用的一種懸架結(jié)構(gòu)，因而對(duì)其運(yùn)動(dòng)特性的分析和結(jié)構(gòu)參數(shù)的優(yōu)化具有十分重要的意義.本文利用空間解析幾何，提出了一種麥弗遜懸架運(yùn)動(dòng)特性分析方法，利用編程方法將其結(jié)果可視化，最后結(jié)合ADAMS仿真結(jié)果來(lái)驗(yàn)證其正確性.

1 麥弗遜懸架運(yùn)動(dòng)分析的空間解析法求解

1.1 懸架模型的簡(jiǎn)化

在對(duì)懸架進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析時(shí)，主要研究車輪相對(duì)車身上下跳動(dòng)過(guò)程中懸架的運(yùn)動(dòng)學(xué)效應(yīng)，即懸架隨車輪上下擺動(dòng)時(shí)各構(gòu)件的位移變化情況.麥弗遜懸架運(yùn)動(dòng)分析的空間解析法可以從數(shù)學(xué)的角度給出麥弗遜懸架的運(yùn)動(dòng)特性.如果忽略懸架各鉸點(diǎn)的彈性變形，根據(jù)各鉸點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)自由度，可以將麥弗遜懸架簡(jiǎn)化為如圖1所示的簡(jiǎn)化模型［9］.

A為懸架上端固定點(diǎn)球銷中心，AF為減震器，所以A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為沿著AF方向做直線運(yùn)動(dòng).E，F(xiàn)，G，D，P均為轉(zhuǎn)向節(jié)上的點(diǎn).EH表示轉(zhuǎn)向拉桿.K為下擺臂鉸點(diǎn)，DK為懸架下擺臂.M為車輪接地點(diǎn)，P為車輪中心.已知A，H，K3個(gè)定點(diǎn)坐標(biāo)和下擺臂轉(zhuǎn)軸與縱軸之間的夾角α以及動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)，G，D，P，M的初始坐標(biāo)，就可以求解出懸架運(yùn)動(dòng)時(shí)的運(yùn)動(dòng)特性.求解時(shí)，假設(shè)模型中各構(gòu)件均為剛性體，構(gòu)件在相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)不發(fā)生變形.

本節(jié)計(jì)算動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)采用的坐標(biāo)系規(guī)定如下：平行地面車輛行駛正方向?yàn)閤軸正方向；垂直于地面指向車輛上方為y軸主正方向；平行于地面指向駕駛員右側(cè)方向?yàn)閦軸正方向。

1.2 各動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算

假設(shè)已知A，H，K，D，E，F(xiàn)，G，P，M點(diǎn)的靜態(tài)坐標(biāo)為A（xA，yA），H（xH，yH），K（xK，yK），D（xD，yD），E（xE，yE），F(xiàn)（xF，yF），G（xG，yG），P（xP，yP），M（xM，yM），角度α0.

1.2.1 懸架跳動(dòng)過(guò)程中幾何不變量的求解

由于D，E，F(xiàn)是同一構(gòu)件上的點(diǎn)，故懸架運(yùn)動(dòng)過(guò)程中兩兩之間距離保持不變.E，H為轉(zhuǎn)向拉桿兩端鉸點(diǎn)，故E，H兩點(diǎn)距離保持不變.由于A點(diǎn)相對(duì)轉(zhuǎn)向節(jié)的運(yùn)動(dòng)方向不變，所以AF和FD的夾角∠AFD保持不變，平面AFD與平面EFD夾角θ也保持不變.

懸架上下跳動(dòng)時(shí)，直線AF與FD的夾角β保持不變，其表達(dá)式為

式中：l1，m1，n1為直線AF的 方 向數(shù)，l1＝xA－xF，m1＝y(tǒng)A－yF，n1＝zA－zF，l2，m2，n2為直線FD的方向數(shù)，l2＝xD－xF，m2＝y(tǒng)D－yF，n2＝zD－zF.

平面AFD與平面EFD的夾角θ為

式中：A1，B1，C1，D1是由A，F(xiàn)，D構(gòu)成的平面方程A1x＋B1y＋C1＋D1的待定系數(shù)，由式（3）展開(kāi)得到.

平面AFD與平面EFD的夾角θ為

式中：A2，B2，C2，D2是由D，E，F(xiàn)構(gòu)成的平面方程A2x＋B2y＋C2＋D2的待定系數(shù)，由式（5）展開(kāi)得到.

1.2.2 動(dòng)點(diǎn)D的坐標(biāo)求解

懸架下擺臂軸線lk的方程為

直線lk的方向數(shù)為l3＝1，m3＝tanθ，n3＝0.

過(guò)D點(diǎn)垂直于lk的平面方程為

聯(lián)立式（6），（7）可得Q點(diǎn)坐標(biāo)Q（xQ，yQ，zQ），Q點(diǎn)是D點(diǎn)到軸線的垂線的垂足.即

由幾何學(xué)可知，D點(diǎn)的空間運(yùn)動(dòng)軌跡為過(guò)D點(diǎn)垂直于平面的直線和以DQ為半徑的球面的交線.由于D點(diǎn)的軌跡方程已知，所以當(dāng)已知D點(diǎn)z方向坐標(biāo)zDt時(shí)，把代zDt入（7），（8）就可以求出D點(diǎn)的動(dòng)態(tài)坐標(biāo)Dt（xDt，yDt，zDt）.

1.2.3 動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)的坐標(biāo)求解

設(shè)E，F(xiàn)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)坐標(biāo)為Et（xEt，yEt，zEt），F(xiàn)t（xFt，yFt，zFt），求出E，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)就可以確定懸架的基本空間姿態(tài).

因?yàn)镕，D為同一構(gòu)件上的兩點(diǎn)，其距離保持不變.直線AF與直線FD之間的夾角β也不變.懸架在上下跳動(dòng)過(guò)程中，平面AFD和平面EFD形成的平面夾角θ不變.

直線AF與直線FD之間的夾角β為

式中：l1t，m1t，n1t為直線AF的方向數(shù)，l1t＝xA－xFt，m1t＝y(tǒng)A－yFt，n1t＝zA－zFt；l2t，m2t，n2t為直線FD的方向數(shù)：l2t＝xD－xFt，m2t＝y(tǒng)D－yFt，n2t＝zD－zFt

在懸架運(yùn)動(dòng)中，平面AFD的方程為

式中：A1t，B1t，C1t，D1t為平面AFD方程的待定系數(shù)，可由式（15）展開(kāi)求得.

平面EFD的平面方程為

式中：A2t，B2t，C2t，D2t為平面EFD方程的待定系數(shù)，可由式（17）展開(kāi)求得：

平面AFD與平面EFD的夾角θ為

聯(lián)立方程（9）—（17），即可解出E，F(xiàn)的動(dòng)態(tài)坐標(biāo)Et（xEt，yEt，zEt）和Ft（xFt，yFt，zFt）.此時(shí)就可以確定懸架的空間姿態(tài)了.

輪轂、轉(zhuǎn)向節(jié)、彈簧減震器可看作是一體的，因此車輪上各點(diǎn)的坐標(biāo)都可以根據(jù)Dt，Et，F(xiàn)t求出.

M點(diǎn)的坐標(biāo)Mt（xMt，yMt，zMt）可由如下方程組求解：

同理可求得點(diǎn)P，G的坐標(biāo)Pt（xPt，yPt，zPt），Gt（xGt，yGt，zGt）.

1.3 懸架特性評(píng)價(jià)參數(shù)的確定

汽車懸架性能是影響汽車行駛平順性、操縱穩(wěn)定性和行駛速度的重要因素.懸架系統(tǒng)性能好壞的評(píng)價(jià)要分別從懸架動(dòng)力學(xué)、懸架運(yùn)動(dòng)學(xué)和彈性運(yùn)動(dòng)學(xué)這幾個(gè)方面進(jìn)行評(píng)價(jià).鑒于懸架動(dòng)力學(xué)的評(píng)價(jià)方法已較為成熟，故本文僅從懸架運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度進(jìn)行評(píng)價(jià).評(píng)價(jià)指標(biāo)主要指反應(yīng)車輪定位的參數(shù)、影響懸架產(chǎn)生順從轉(zhuǎn)向的參數(shù)、反映車身產(chǎn)生縱傾和側(cè)傾的參數(shù)、反映輪胎回正性和轉(zhuǎn)向輕便性的參數(shù)、影響輪胎磨損的輪距和軸距變化的參數(shù).合理的車輪定位參數(shù)可以保持汽車直線行駛的穩(wěn)定性，保證汽車轉(zhuǎn)彎時(shí)轉(zhuǎn)向輕便，而且使轉(zhuǎn)向輪自動(dòng)回正，減少輪胎磨損.本文選擇車輪的定位參數(shù)作為懸架運(yùn)動(dòng)學(xué)性能的評(píng)價(jià)指標(biāo).車輪定位參數(shù)主要有主銷內(nèi)傾角βn，主銷后傾角γ，車輪外傾角αc，車輪前束角φq等.車輪的定位參數(shù)一般會(huì)隨著車輪相對(duì)于車架或車身的運(yùn)動(dòng)以及車輪的受力而發(fā)生變化.車輪定位參數(shù)是由懸架結(jié)構(gòu)來(lái)決定的，因此，懸架設(shè)計(jì)是否合理，取決于激勵(lì)狀態(tài)下車輪定位參數(shù)變化是否在合理的范圍內(nèi).

在確定了各坐標(biāo)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)值之后，就可以計(jì)算分析車輪外傾角、車輪前束角、主銷內(nèi)傾角、主銷后傾角和車輪接地點(diǎn)的側(cè)向滑移.通過(guò)觀察這些車輪定位參數(shù)的變化來(lái)對(duì)懸架的動(dòng)態(tài)特性作出評(píng)價(jià).

2 懸架運(yùn)動(dòng)特性空間解析的MATLAB編程實(shí)現(xiàn)

2.1 ADAMS建模優(yōu)化和MATLAB編程功能實(shí)現(xiàn)

在ADAMA／VIEW中建模的步驟：創(chuàng)建新模型、設(shè)置工作環(huán)境、創(chuàng)建設(shè)計(jì)點(diǎn)、創(chuàng)建各零部件、添加約束和驅(qū)動(dòng)，從而建立如圖2所示的麥弗遜懸架模型［10］.架結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化的過(guò)程中，通過(guò)改變上述提及的變量來(lái)實(shí)現(xiàn)懸架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化.

圖2 麥弗遜懸架的ADAMS／VIEW模型Fig.2 ADAMS／VIEW model of Macpherson 1suspension

本文分別以下擺臂內(nèi)鉸點(diǎn)的x，y，z坐標(biāo)、虛擬主銷長(zhǎng)度、主銷內(nèi)傾角、主銷外傾角為變量，對(duì)上文提及的5個(gè)目標(biāo)函數(shù)（主銷內(nèi)傾角βn、主銷后傾角γ、車輪外傾角αc、車輪前束角φq、車輪接地點(diǎn)的側(cè)向滑移量）進(jìn)行逐個(gè)優(yōu)化，反復(fù)迭代到每個(gè)目標(biāo)函數(shù)都優(yōu)化到合理的變化范圍內(nèi)為止［11］，各變量?jī)?yōu)化后的結(jié)果如圖3所示.

圖3 各變量?jī)?yōu)化后的結(jié)果Fig.3 Results of variables optimization

如圖4所示為利用MATLAB軟件編程時(shí)的麥弗遜懸架運(yùn)動(dòng)分析空間解析法的實(shí)現(xiàn)過(guò)程.該MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)的功能：在輸入激勵(lì)yD＝40sin（2πt）時(shí)，計(jì)算出各動(dòng)點(diǎn)的動(dòng)態(tài)坐標(biāo)，進(jìn)而求出各懸架的動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)，并畫(huà)出各性能指標(biāo)隨車輪跳動(dòng)量的變化曲線.然后同ADAMS／VIEW中得到的性能指標(biāo)圖像進(jìn)行對(duì)比，來(lái)驗(yàn)證編程的正確性.同時(shí)還可以改變各點(diǎn)坐標(biāo)的初始值來(lái)改變懸架結(jié)構(gòu)，進(jìn)而對(duì)懸架進(jìn)行進(jìn)一步的分析.

圖4 MATLAB軟件編程實(shí)現(xiàn)流程圖Fig.4 Flow chart of programming by MATLAB

2.1.2 MATLAB程序窗口

通過(guò)編程實(shí)現(xiàn)的程序窗口如圖5所示.窗口左上方是麥弗遜獨(dú)立懸架結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖；左下方區(qū)域用來(lái)顯示程序圖像；右上方為懸架硬點(diǎn)坐標(biāo)初始值修改顯示區(qū)域，程序啟動(dòng)時(shí)顯示默認(rèn)的各硬點(diǎn)坐標(biāo)初始值；右下方左側(cè)區(qū)域?yàn)楫?huà)圖按鈕區(qū)，當(dāng)數(shù)據(jù)準(zhǔn)備完畢時(shí)，就可以單擊按鈕來(lái)進(jìn)行畫(huà)圖操作；右下方右側(cè)區(qū)域?yàn)橹靼粹o區(qū)，如要修改懸架的硬點(diǎn)坐標(biāo)初始值，可以通過(guò)“Default”按鈕，設(shè)置懸架的硬點(diǎn)坐標(biāo)初始值為默認(rèn)值.在界面剛剛啟動(dòng)和修改了懸架的硬點(diǎn)坐標(biāo)初始值時(shí)，要單擊“Run”按鈕進(jìn)行畫(huà)圖的數(shù)據(jù)準(zhǔn)備，準(zhǔn)備完畢后會(huì)有提示，此時(shí)才可以進(jìn)行畫(huà)圖操作.

圖5 MATLAB程序窗口初始化界面Fig.5 Program intialization interface in MATLAB

圖6 車輪接地點(diǎn)上下跳動(dòng)量隨yD的變化曲線Fig.6 Curves of jerk value of wheels with yD

在本文中，激勵(lì)源D點(diǎn)沿y軸方向做上下跳動(dòng)，而通常懸架上下跳動(dòng)的激勵(lì)來(lái)自車輪接地點(diǎn)的上下跳動(dòng)，在圖6中可以看出車輪上下跳動(dòng)量與（yD為D點(diǎn)沿y軸的行程）的關(guān)系近似于相同，因此可以用作為激勵(lì)來(lái)研究懸架的運(yùn)動(dòng)特性.

2.2 MATLAB編程的運(yùn)行結(jié)果分析

在程序中，設(shè)置懸架各點(diǎn)的坐標(biāo)初始值為在ADAMS／VIEW中已經(jīng)優(yōu)化得到的懸架各點(diǎn)坐標(biāo).然后將MATLAB中通過(guò)編程計(jì)算得到的懸架運(yùn)動(dòng)特性曲線與ADAMS／VIEW中導(dǎo)出的懸架運(yùn)動(dòng)特性曲線在同一圖中畫(huà)出，相互比較，結(jié)果如圖7—11.

圖7 主銷內(nèi)傾角的變化Fig.7 Changes of kingpin inclination angle

圖8 主銷后傾角的變化Fig.8 Changes of kingpin caster angle

圖9 車輪前束角的變化Fig.9 Changes of wheels toe angle

分析圖7—11，可以看出，通過(guò)建立麥弗遜懸架數(shù)學(xué)模型和確定設(shè)計(jì)所需的參數(shù)，麥弗遜懸架運(yùn)動(dòng)特性分析的空間解析法可以準(zhǔn)確分析出麥弗遜懸架的運(yùn)動(dòng)特性，而且其結(jié)果與ADAMS軟件計(jì)算出的參數(shù)變化趨勢(shì)大致相同，二者之間得到相互佐證，證明了此空間解析法和編程實(shí)現(xiàn)的正確性，同時(shí)說(shuō)明這兩種方法都是研究麥弗遜懸架運(yùn)動(dòng)特性的行之有效的方法，具有一定的理論研究意義和工程實(shí)用價(jià)值.

圖10 車輪外傾角的變化Fig.10 Changes of wheels camber angle

圖11 車輪接地點(diǎn)側(cè)向滑移量的變化Fig.11 Changes of lateral slip of wheel ground

3 結(jié)語(yǔ)

（1）利用ADAMS對(duì)麥弗遜懸架結(jié)構(gòu)進(jìn)行建模和目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化，通過(guò)迭代使目標(biāo)函數(shù)的變化在合理的周期范圍內(nèi)，然后將優(yōu)化后的硬點(diǎn)坐標(biāo)結(jié)果作為MATLAB編程的初始坐標(biāo)值.使用空間解析幾何法對(duì)麥弗遜懸架的運(yùn)動(dòng)特性進(jìn)行了分析，給出了各硬點(diǎn)坐標(biāo)點(diǎn)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系以及車輪定位參數(shù)的相關(guān)表達(dá)式.通過(guò)MATLAB軟件對(duì)麥弗遜運(yùn)動(dòng)分析的空間解析法進(jìn)行編程，使程序窗口化，界面清晰直觀.

（2）采用建模仿真和理論編程相結(jié)合的方法探討了懸架的運(yùn)動(dòng)性能，通過(guò)圖形比較可以證明此空間解析法和編程實(shí)現(xiàn)的正確性.

（3）利用空間解析幾何，提出了一種麥弗遜懸架運(yùn)動(dòng)特性的分析方法，具有一定的理論意義和工程實(shí)用性.上文兩種方法都能有效地用來(lái)分析懸架的特性，為工程師進(jìn)行懸架結(jié)構(gòu)的開(kāi)發(fā)設(shè)計(jì)提供一定的參考.

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