分階式雙圓弧齒輪的動態(tài)建模與特性分析

宋雪萍，王際帆，劉元偉，李朝峰，聞邦椿

（1.大連交通大學 機械工程學院，遼寧，大連 116028；2.東北大學 機械工程與自動化學院，遼寧，沈陽 110819）

隨著現(xiàn)代齒輪傳動技術的發(fā)展，對齒輪的動態(tài)性能的要求越來越高，對齒輪傳動的強度、振動和噪聲的要求更加嚴格.漸開線齒輪輪齒抗彎強度高，但接觸強度、耐疲勞強度等方面都不如圓弧齒輪.雙圓弧齒輪是一種性能優(yōu)良的動力傳動齒輪，具有承載能力高、接觸強度高、跑合性能好、加工方便、無根切現(xiàn)象等優(yōu)點.由于圓弧齒輪容易形成油膜，齒面相對滑動小，耐疲勞強度高，所以特別適合于高速旋轉［1－3］.在化工、石油等領域，以及高速傳動如齒輪泵、汽輪機、鼓風機等設備上也廣泛應用.齒輪泵是目前應用雙圓弧齒輪的主要對象，圓弧齒輪是齒輪泵的最佳齒形，我們通過對泵瞬間排量的積分計算發(fā)現(xiàn)，圓弧齒輪泵的瞬間排量是一個定值，它不隨轉角發(fā)生變化，而漸開線齒形齒輪泵的瞬間排量與齒輪轉角成平方關系，呈拋物線規(guī)律變化，所以漸開線齒輪泵做到大排量有點困難，會出現(xiàn)流量脈動大、噪聲大、振動大等問題.將齒輪泵的齒形改造成雙圓弧齒形之后，可降低流量脈動，降低噪音，實現(xiàn)高壓.文獻［4，5］對雙圓弧采用傳統(tǒng)的建模方法建立了齒輪齒形，并對齒輪進行了齒根應力的分析.本文以PTC公司的三維CAD／CAM參數(shù)化設計系統(tǒng)Pro／E軟件為工具，結合雙圓弧齒輪的結構特點，對分階式雙圓弧齒輪進行了精確的三維建模，并且運用有限元理論對雙圓弧齒輪進行結構特性分析，為動力學分析研究打下基礎.

1 雙圓弧齒輪的模型的建立

分階式雙圓弧齒輪用圓弧連接凸、凹工作齒面，所以過渡面呈臺階形，這種齒形嚙合時，非工作齒面之間形成一個較大的空隙，避免了非工作齒面發(fā)生接觸的缺點.這是分階式圓弧齒輪的一個優(yōu)點.另一個優(yōu)點是增大了凹齒齒根厚度，從而提高了彎曲強度［6］.由于圓弧齒輪圓柱齒形是法平面內工作齒廓為圓弧的基本齒條經(jīng)過包絡運動所形成的，因此為了保證傳動的連續(xù)性，圓弧齒輪傳動必須是斜齒圓柱齒輪.這是一種平行軸圓柱齒輪傳動，具有軸向共軛、點接觸的傳動特點，其端面重合度為零.所以所給的齒廓基本上都是齒條在法平面內的齒廓［7］.

1.1 設置齒輪參數(shù)

由于雙圓弧齒輪是一個空間螺旋體，若采用傳統(tǒng)的建模技術很難實現(xiàn)齒輪的曲面造型，而由齒輪的端面形狀沿螺旋線拉伸成空間螺旋面的方法進行建模是可行的，但是由于齒形是由四段圓弧組成，所以建模過程非常復雜.建模過程如下：

（1）首先設置齒輪的基本參數(shù)：齒數(shù)z、模數(shù)m、壓力角α1、螺旋角β、齒寬b等.

（2）建立齒輪的基本尺寸的關系

分度圓直徑d：d＝mz／cosβ

齒頂圓直徑da：da＝d＋2ha.

齒根圓直徑df：df＝d－2hf

式中：ha＝h＊am，hf＝h＊fm，h＊a＝1，h＊f＝1.25

（3）建立雙圓弧齒輪的齒面方程式

圓弧上各點坐標值可由圓心位置（X，L）、圓弧半徑ρ和齒形角α確定.建立圓弧齒輪齒面的普遍方程：

式中：β為螺旋角，右旋為正，左旋為負；r為節(jié)圓半徑；φ為齒輪轉角；x，y，z為齒輪齒廊上某點的坐標值；β′為基本齒廊所在截面與齒條端面的夾角.

令β′＝0，得端面圓弧齒輪齒面方程：

根據(jù)齒面方程（2）建立圓弧齒輪的主要接觸表面圓弧模型.齒形由4段圓弧組成：凸齒工作圓弧、過渡圓弧、凹齒工作圓弧和齒根圓弧，如圖1所示.

圖1 齒形圖Fig.1 Profile diagram

（4）建立螺旋線方程

雙圓弧齒輪的輪齒在基圓柱表面呈螺旋分布，螺旋線方程為

式中：ci＝2ci0180／πda，ci0＝btanβ；t為時間，0＜t＜1.

2 齒輪有限元模型的分析

對齒輪進行模態(tài)分析的目的就是要求出齒輪的各階固有頻率及其對應的振型，因此只需對模型的自由度進行約束.將約束施加在齒輪的內孔圓柱面上，設定模態(tài)提取階數(shù)為15階.頻率依次為：0.0000，0.0000，0.0000，0.132 32×10－5，0.175 37×10－5，0.207 28 × 10－5，8.946 8，8.958 7，13.096，13.182，16.450，19.685，19.698，24.605，24.770Hz.結果分析如下：

因為篇幅有限，文中僅列出了其中部分的振型圖.從圖2中可以看出，前6階是剛體運動.7，8階為對折振，主要表現(xiàn)為軸向規(guī)則波浪振型，端面上為規(guī)則多邊形振型，總體表現(xiàn)為結構扭曲型的對折振.9，10階表現(xiàn)為軸向基本無振動，各端面上表現(xiàn)為相對扭轉振動.11階表現(xiàn)為收縮成傘狀振型.12，13階表現(xiàn)為齒輪沿徑向伸縮，端面出現(xiàn)多邊形振型，軸向基本無振動.14，15階表現(xiàn)為圓周振動，軸向基本無振動，端面上為圓周方向的振動.

圖2 部分頻率振型圖Fig.2 Partial frequency vibration diagram

3 齒輪嚙合特性分析

由于雙圓弧齒輪的齒廓是凹凸嚙合，有較大的綜合曲率半徑，因此有很高的接觸強度.由于是一種點嚙合傳動，所以必須在滿負荷工作前經(jīng)過跑合磨損，使理論上的點接觸變形為局部的面接觸.由于制造和裝配誤差以及齒面的不平度各處不一致等因素，在傳動過程中齒面受到不均勻的載荷作用而引起接觸齒面不均勻的磨損.在雙圓弧齒輪的跑合過程中，隨著齒面的逐漸磨損，凸齒圓弧半徑逐漸增大，凹齒圓弧半徑逐漸減小，兩齒面逐漸貼合，形成較好的接觸區(qū).隨著載荷的增加，輪齒的彈性變形增大，齒面接觸區(qū)的形狀也隨著改變.如圖3所示.

圖3 雙圓弧齒輪的接觸跑合過程Fig.3 Process of double circular arc gear contact

圓弧齒輪嚙合的重要條件是必須保證重合度大于1.重合度公式為

式中：εβ為重合度；z1，z2分別為大小齒輪的齒數(shù)，φa為齒寬系數(shù).

根據(jù)式（4），得出εβ＝1.520 93，滿足嚙合條件.

雙圓弧齒輪在運轉中，總的接觸齒數(shù)在不斷變化，而接觸點對數(shù)也在不斷變化，因此雙圓弧齒輪的載荷分配比漸開線齒輪復雜得多.多點嚙合系數(shù)是確定雙圓弧齒輪接觸強度的重要依據(jù)，而多齒對嚙合系數(shù)又是彎曲強度計算的重要依據(jù)，所以考察雙圓弧齒輪的載荷分配必須首先考察它的多點嚙合特性.

同一個齒上兩個接觸點間的軸向距離qTa為

式中：mn為齒輪法向模數(shù)；la為凸齒齒輪廊x方向的圓心偏移量；xa為凸齒齒輪廊y方向的圓心偏移量；ρa為凸齒齒廊圓弧齒輪的傳動側隙.

剩余齒寬Δb為

式中：px為軸向齒距.

因為px－qTa＜Δb＜qTa，由此計算出圓弧齒輪嚙合過程中的接觸點數(shù)系數(shù)和嚙合齒對系數(shù)的百分比，如表1所示.

表1 齒輪嚙合過程接觸點數(shù)和嚙合對數(shù)的百分比Tab.1 Gear meshing contact points and the meshing pairs percentage

由表1分析可知，整個齒輪副在一個轉角的嚙合范圍內，有56.5%的時間為4點接觸，30.09%的時間為5點接觸，11.3%的時間為6點接觸，89.67%的時間為3對齒嚙合，10.4%的時間為4對齒嚙合，與圖3中的有限元分析過程基本一致.為了計算分析方便，取模型的一部分進行接觸分析，如圖4，5所示，分析其嚙合過程的接觸應力.

圖4 嚙合齒輪Fig.4 Meshing gear

從圖5可以看出，兩對齒嚙合時的接觸應力主要集中在凹齒的齒面上，為130.695MPa，比經(jīng)驗公式結果126.3MPa高了大約5MPa，結果非常接近.按照理論公式，這種齒寬參數(shù)的最大接觸應力發(fā)生在4對齒嚙合的范圍內，但是由于嚙合過程中接觸軌跡間的載荷分配不均，造成了各個接觸軌跡基本位于齒寬中部，只有兩個接觸點平均載荷最大，所以造成接觸應力最大.

圖5 齒輪嚙合接觸應力Fig.5 Contact stress of meshing gear

4 結語

通過上述研究可以得出如下結論：

（1）根據(jù)雙圓弧齒輪的齒面方程導出端面的齒廓方程，結合雙圓弧齒輪的特點，建立端面齒輪的齒形曲線，通過掃描混合建立了雙圓弧齒輪的三維模型，這種方法為參數(shù)化建立非漸開線齒輪提供了理論基礎.對齒輪進行了模態(tài)分析，從振型圖上可以看出，齒輪除了存在軸向的波浪振型外，還存在端面的多邊形振型和沿徑向的伸縮振動，以及圓周振動.

（2）建立了雙圓弧齒輪的接觸模型，并且分析了齒輪在嚙合過程中存在的3點接觸、4點接觸以及3對齒嚙合和4對齒嚙合的狀態(tài)，得出了齒輪在外載荷的作用下的最大接觸應力位置，并與理論值做了比較.研究表明，由于雙圓弧齒輪在嚙合過程中是點接觸，并且是變化的，加上在嚙合過程中載荷分配不均勻，造成某一時刻某一嚙合點的接觸應力最大.這種齒輪接觸能真實模擬齒輪嚙合情況，為齒輪的優(yōu)化設計提供基礎.

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