提高高中數(shù)學(xué)解題練習(xí)有效性的幾種方法

陳曉娟

摘 要：習(xí)題不僅是教材的有機(jī)組成部分，而且對(duì)檢驗(yàn)教師的教學(xué)效果與學(xué)生的學(xué)習(xí)成果具有非常重要的意義與作用。教師要提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，可以從提高學(xué)生解題練習(xí)的有效性入手，根據(jù)不同的題目難度與題目類(lèi)型選用不同的方法。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué) 解題練習(xí) 有效性 方法

習(xí)題不僅是教材的有機(jī)組成部分，而且對(duì)檢驗(yàn)教師的教學(xué)效果與學(xué)生的學(xué)習(xí)成果具有非常重要的意義與作用。特別是教材里每個(gè)章節(jié)所配套的練習(xí)，基本上涵蓋了該章節(jié)的知識(shí)要點(diǎn)，而且也體現(xiàn)出該章節(jié)的能力要求。與此同時(shí)，它也是許多習(xí)題冊(cè)進(jìn)行習(xí)題難度升級(jí)、題型轉(zhuǎn)化的藍(lán)本。因此，教師要想提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力，可以從提高學(xué)生解題練習(xí)的有效性入手，根據(jù)不同的題目難度與題目類(lèi)型選用不同的方法。

一、以題目難度為劃分標(biāo)準(zhǔn)

根據(jù)題目難度由淺至深、由簡(jiǎn)入繁、由表及里的疊加原則，可以將題目難度劃分為以下三類(lèi)。

1.基礎(chǔ)型——原理定律法

基礎(chǔ)型題目指的是淺顯易懂的、無(wú)須花費(fèi)過(guò)多時(shí)間思考即可求解的題目，它往往是某一個(gè)定律或者原理的直接體現(xiàn)。對(duì)于這類(lèi)基礎(chǔ)型題目，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生利用原理定律法來(lái)完成。以“集合與函數(shù)”這一知識(shí)點(diǎn)為例，題目“求解由方程x2-9=0的實(shí)數(shù)根組成的集合”即為基礎(chǔ)型題目。該題目的求解關(guān)鍵在于實(shí)數(shù)開(kāi)方的運(yùn)算方式，學(xué)生可以通過(guò)心算得出答案為“A={3，-3}”。對(duì)于這一類(lèi)基礎(chǔ)型題目，提高學(xué)生解題有效性的關(guān)鍵在于督促學(xué)生提高對(duì)原理、定律的熟悉程度。譬如一定要熟練掌握該章節(jié)中集合的運(yùn)算法則A∪（B∪C）=（A∪B）∪C，A∩（B∩C）=（A∩B）∩C，A∩（B∪C）=（A∩B）∪（A∩C）等。只要學(xué)生能夠熟記固定的公式，就可以在短時(shí)間內(nèi)順利解答基礎(chǔ)型題目。

2.綜合型——條分縷析法

綜合型題目指的是題目包含的知識(shí)要點(diǎn)多且雜，同一道題目可能涉及多個(gè)板塊的知識(shí)要點(diǎn)。對(duì)于此類(lèi)題目，教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生利用條分縷析法來(lái)完成。以“函數(shù)的奇偶性與周期性”這一知識(shí)點(diǎn)為例，題目“判斷f（x）=x2+x，x<0，-x2+x，x>0？搖的奇偶性”即為綜合型題目，該題目本身就分成了兩種情況，明確指出需要學(xué)生進(jìn)行區(qū)分。因此，學(xué)生在解題時(shí)，首先要遵循題目要求進(jìn)行分情況求解，然后在分情況的基礎(chǔ)上在最后進(jìn)行結(jié)論的融入。以該題目的求解為例，當(dāng)x<0時(shí)，-x>0，則f（-x）=-（-x）2-x=-（x2+x）=-f（x）；當(dāng)x>0時(shí)，-x<0，則f（-x）=（-x）2-x=x2-x=-（-x2+x）=-f（x）。

因此，對(duì)于任意x∈（-∞，0）∪（0，+∞），都有f（-x）=-f（x），所以f（x）為奇函數(shù)。

在運(yùn)用條分縷析法解答綜合型題目時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意兩個(gè)核心：其一是題目的識(shí)別。一方面是要正確審題，避免遺漏題目中隱含的信息。另一方面是要明確題目的考查要點(diǎn)，避免在解題過(guò)程中出現(xiàn)遺漏要點(diǎn)的情況致使答案有所欠缺。其二是步驟的安排。綜合型題目一般都內(nèi)含幾個(gè)小問(wèn)題，這些問(wèn)題或是以平行的方式出現(xiàn)，或是以遞進(jìn)的方式出現(xiàn)，對(duì)此，學(xué)生應(yīng)當(dāng)根據(jù)小問(wèn)題間的關(guān)系來(lái)安排解題的先后順序，避免出現(xiàn)思路的紊亂。

3.開(kāi)放型——?jiǎng)?chuàng)新思維法

開(kāi)放型題目主要指的是題目沒(méi)有明確規(guī)定答題的方向，甚至沒(méi)有標(biāo)準(zhǔn)答案，其難度系數(shù)最高，對(duì)學(xué)生的挑戰(zhàn)也最大。對(duì)于此類(lèi)題目，學(xué)生應(yīng)當(dāng)運(yùn)用創(chuàng)新思維法來(lái)提高解題的有效性。以“數(shù)列”這一知識(shí)點(diǎn)為例，題目“假如有兩張長(zhǎng)x米，寬y米的長(zhǎng)方形桌子，要將它們拼組成一張長(zhǎng)方形的桌子，可以有幾種拼法，每一種拼法拼成的桌子的座位安排如何”即為開(kāi)放型題目。從這一題目來(lái)看，學(xué)生一方面要考慮人員座次的安排，另一方面要考慮拼組的實(shí)際可能性。這一看似簡(jiǎn)單的題目實(shí)則既考查了學(xué)生數(shù)列方面的相關(guān)知識(shí)，同時(shí)也考查了學(xué)生對(duì)實(shí)際生活的觀察能力。面對(duì)這類(lèi)開(kāi)放型題目，很多學(xué)生都會(huì)因方向不明或?qū)忣}不準(zhǔn)而出現(xiàn)無(wú)從下手甚至主觀放棄的念頭。因此，教師在指導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用創(chuàng)新思維法解答該類(lèi)開(kāi)放型題目時(shí)，一方面要讓學(xué)生盡可能將已知的、掌握的知識(shí)要點(diǎn)往題目上靠，以盡快尋找到解題思路，另一方面要鼓勵(lì)學(xué)生采用學(xué)科融合的方式來(lái)思考，以尋求解題的關(guān)鍵所在。總的來(lái)講，提高該類(lèi)題目練習(xí)有效性的方式應(yīng)當(dāng)從培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維入手，避免學(xué)生在彷徨中陷入僵化固有的思維模式之中而無(wú)法破解題目。

二、以題目類(lèi)型為劃分標(biāo)準(zhǔn)

從視覺(jué)感官及邏輯思維的角度看，數(shù)學(xué)題目大致上可分為以下三類(lèi)。

1.數(shù)值求解類(lèi)——反復(fù)強(qiáng)化法

數(shù)值求解是數(shù)學(xué)題目中最常見(jiàn)最大眾的類(lèi)型，從題目結(jié)構(gòu)及因素的角度來(lái)說(shuō)，這類(lèi)題目是純數(shù)字的運(yùn)算。以“等差數(shù)列”這一知識(shí)點(diǎn)為例，題目“一個(gè)等差數(shù)列的前12項(xiàng)和為354，前12項(xiàng)中，偶數(shù)項(xiàng)和與奇數(shù)項(xiàng)和之比為32∶34，求公差d”“等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a10=30，S10=50，求通項(xiàng)an及當(dāng)Sn=242時(shí)，n的數(shù)值”即為數(shù)值求解類(lèi)題目。通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)值求解類(lèi)題目的本質(zhì)在于數(shù)值之間的多重運(yùn)算，其關(guān)鍵在于對(duì)運(yùn)算法則的熟悉程度、對(duì)數(shù)值的敏感程度以及解題時(shí)對(duì)細(xì)節(jié)的把握程度，而這些技能和素質(zhì)均可以通過(guò)系統(tǒng)的訓(xùn)練來(lái)培養(yǎng)。因此，提高該類(lèi)題目練習(xí)有效性的方式是通過(guò)訓(xùn)練反復(fù)強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)基本技能和基本素質(zhì)。需要注意的是，該類(lèi)題目具有的另一個(gè)特征就是形式的變化，從正向向逆向轉(zhuǎn)變，從分組向合并轉(zhuǎn)變等。教師在指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行該類(lèi)題目的求解練習(xí)時(shí)，還應(yīng)當(dāng)重視對(duì)題目進(jìn)行單元?dú)w并及舉一反三，幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)時(shí)短的解題效果。

2.圖形演練類(lèi)——模擬假借法

圖形隸屬于幾何的范疇，在高中數(shù)學(xué)里，包括直線、平面、棱柱、棱錐、圓、球等。在圖形演練類(lèi)題目中，一般包括推論證明與數(shù)值求解這兩大類(lèi)，而且它們均是以考查學(xué)生的空間想象能力為基礎(chǔ)與前提。對(duì)于此類(lèi)抽象型題目，教師應(yīng)當(dāng)指導(dǎo)學(xué)生采用模擬假借法來(lái)進(jìn)行練習(xí)。具體來(lái)講，一方面，在解題教學(xué)中，教師可以變抽象為具象，如將平面圖紙上的球比喻成地球儀、足球、籃球等常見(jiàn)之物，這既有利于教師因地制宜地借用現(xiàn)有教學(xué)資源，同時(shí)也有利于提高教師講解過(guò)程的生動(dòng)性與形象性，幫助學(xué)生更好地理解題目并解答題目。另一方面，鼓勵(lì)學(xué)生在自行解題的過(guò)程中也可以巧借外來(lái)之物進(jìn)行模擬想象，比如利用七巧板、積木等搭建起與題目圖形類(lèi)似的形狀，幫助學(xué)生更好地進(jìn)行觀察與分析。總的來(lái)講，對(duì)比單純的數(shù)值求解類(lèi)題目，圖形演練類(lèi)題目的抽象性更高，難度也更大，其解題練習(xí)有效性的關(guān)鍵在于變抽象為具象，變立體為平面，以實(shí)現(xiàn)空間的轉(zhuǎn)化與思維的演練。

3.生活應(yīng)用類(lèi)——聯(lián)系實(shí)際法

生活應(yīng)用類(lèi)題目指的是題目以生活場(chǎng)景為背景，以生活例子為實(shí)例。以“導(dǎo)數(shù)”這一知識(shí)點(diǎn)為例，題目“已知火車(chē)最高速度為每小時(shí)120千米，且其鍋爐每小時(shí)消耗煤的費(fèi)用與火車(chē)行駛的速度的立方成正比，已知當(dāng)火車(chē)速度為每小時(shí)20千米時(shí)，每小時(shí)消耗的煤價(jià)值40元，其他費(fèi)用每小時(shí)需200元，問(wèn)如何才能使火車(chē)從甲城開(kāi)往乙城的總費(fèi)用最省”即為生活應(yīng)用類(lèi)題目，此類(lèi)題目的最大特點(diǎn)是生活氣息強(qiáng)，題目?jī)?nèi)容往往是學(xué)生可接觸到的或是容易耳聞所知的生活實(shí)例，因此，教師在指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行該類(lèi)題目的練習(xí)時(shí)，應(yīng)當(dāng)采用聯(lián)系實(shí)際的方法來(lái)提高解題的有效性。一方面，可鼓勵(lì)學(xué)生多從生活可能性的角度來(lái)思考問(wèn)題，避免求解結(jié)果偏離實(shí)際。另一方面，可鼓勵(lì)學(xué)生在日常生活中多思考、多觀察，潛移默化地培養(yǎng)自己的邏輯思維能力。

題目的解答不僅可以實(shí)現(xiàn)由理論到實(shí)踐的轉(zhuǎn)化，而且也有助于學(xué)生順利完成知識(shí)的吸收與運(yùn)用。有鑒于此，為了提高學(xué)科能力，不少學(xué)生都熱衷于“題海戰(zhàn)術(shù)”，寄希望于通過(guò)量的疊加來(lái)實(shí)現(xiàn)質(zhì)的轉(zhuǎn)變。但根據(jù)辯證唯物主義的理論，由量變到質(zhì)變需要某種特殊的條件，而對(duì)于解題來(lái)講，這種特殊條件就是解題練習(xí)的有效性。因此，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)解題練習(xí)的講解時(shí)，應(yīng)當(dāng)根據(jù)不同的題目難度、不同的題目類(lèi)型介紹不同的解題方法，以幫助學(xué)生選擇適合自己的、科學(xué)合理的解題思路與答題方式，這樣才能取得“四兩撥千斤”的理想效果。