一類由兩個同型部件與一個修理設(shè)備構(gòu)成的系統(tǒng)研究中出現(xiàn)的投影算子的表達式?

阿力木米吉提

(新疆廣播電視大學(xué)新疆烏魯木齊830049)

0 引言

可靠性是為適應(yīng)產(chǎn)品的高可靠要求而發(fā)展起來的新興學(xué)科,其中一個重要的研究內(nèi)容是系統(tǒng)的建模與分析.大量的可靠性問題通過建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型來研究.許多方法可以幫助我們建立可靠性模型，其中比較重要的一個就是補充變量方法.1955年 Cox[1]通過以服務(wù)時間作為補充變量建立了M/G/1排隊模型并且得到了該排隊模型的穩(wěn)態(tài)解的存在性.1963年Gaver[2]首次成功地應(yīng)用補充變量方法研究了一個可靠性問題.從此以后許多學(xué)者利用補充變量方法研究了很多可靠性問題.在文獻[3]中作者首先用補充變量方法建立了描述由兩個同型部件和一個修理設(shè)備構(gòu)成的系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型,然后對此模型進行了動態(tài)分析：運用泛函分析中的算子半群理論證明了此模型正時間依賴解的存在唯一性，其次當(dāng)修復(fù)率函數(shù)μ(x)滿足Lipschitz條件時證明了該模型的主算子生成的算子半群是擬緊算子，由此推出了此算子半群指數(shù)收斂于某個投影算子.本文在文獻[3]的基礎(chǔ)上,當(dāng)修復(fù)率為常數(shù)時,通過研究該模型研究中出現(xiàn)的的投影算子的表達式得到該模型的時間依賴解指數(shù)收斂于其穩(wěn)態(tài)解.

當(dāng)μ(x)=μ時,由兩個同型部件與一個修理設(shè)備構(gòu)成的系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型可寫為(見文獻[3])

其中(x,t)∈[0,∞)×[0,∞);p0(t)表示在時刻t兩個部件都完好的概率;p1(x,t)dx表示在時刻t系統(tǒng)中一個部件故障并且故障部件已消耗的修理時間在(x,x+dx]內(nèi)的概率;p2(x,t)dx表示在時刻t兩個部件都故障并且正在修理的部件已消耗的修理時間在(x,x+dx]內(nèi)的概率;λ0表示一個部件故障的概率;λ1表示兩個部件都故障的概率;μ表示修復(fù)率.本文沿用文獻[3]中的符號.取狀態(tài)空間為

顯然X是一個Banach空間.為方便起見,記

以下定義算子及其定義域

若對p∈D(A)定義

且對p∈X定義

則上面的方程組(1)—(6)可以改寫為Banach空間X中的抽象Cauchy問題：

在文獻[3]中作者得到了以下結(jié)果:

引理1A+U+E的共軛算子(A+U+E)?為

其中

這里

定理1A+U+E生成一個正壓縮C0-半群T(t).

定理20是A+U+E與(A+U+E)?的代數(shù)重數(shù)為1的特征值.

定理3T(t)是擬緊算子.存在一個正投影算子P和使得

本文研究定理3中P的表達式.首先研究A+U+E在左復(fù)平面中的譜,然后結(jié)合定理1,定理2,定理3與復(fù)變函數(shù)中的有關(guān)知識得到所要的結(jié)果.

1 主要結(jié)果

證明討論方程[γI?(A+U+E)]p=0,即

解(9)與(10)得到

由(12)與(14)知道

將(14)代入(11)式并用關(guān)系式a1=p1(0),a2=p2(0)=0和Fubini定理得到

合并(15)和(17)推出

其中γ=0是定理2中的結(jié)果,所以我們以下只討論(19)和(20).由條件μ>λ0知道

將(19)代入(15)算出

由(13),(14),(15),(16),(19),(21)與Fubini定理得到

由(13),(14),(15),(16),(20)并用Fubini定理推出

內(nèi)除0外沒有其他特征值.

證明討論方程[γI?(A+U+E)?]q?=0,根據(jù)引理1該方程等價于

解(22)-(24)得到(不妨設(shè)Reγ+μ>0)

(27) 式兩邊乘e?(γ+μ+λ1)x,(28) 式兩邊乘e?(γ+μ)x,令x→∞并用 (25) 算出

將(29)代到(27),(30)代到(28)推出

由(32)與(26)知道

將(33)代入(31)有

由(34)與(26)算出

其中γ=0是定理2中的結(jié)果,所以以下只討論(36)和(37).由條件μ>λ0知道

將(36)代入(26),(33)推出

(38)與(39)表示

由(26),(33)與(37)推出

內(nèi)除0外沒有其他特征值.

引理4當(dāng)z∈ρ(A+U+E)時,?y∈X有

這里

證明對?y∈X討論(zI?A?U?E)p=y,即

解(40)-(42)有

合并(45),(46),(47)并用關(guān)系式c1=p1(0),c2=p2(0)=0和Fubini定理計算出(不妨設(shè)Rez+μ>0)

下面求p1(0).將(48),(50)代入(43),并用Fubini定理得到(不妨設(shè)Rez+μ>0)

將(51)代入(48),(49),(50)得到此引理的結(jié)論.

引理5當(dāng)μ>λ0>0時,對?y∈X,定理3中的投影算子P的表達式為

其中

特別地對初值p(0)=(1,0,0)有

其中p(x)是系統(tǒng)(7)的穩(wěn)態(tài)解(見文獻[3]).

證明由定理2,定理3,引理2及引理3知道,在圓

內(nèi)除0外其它點都是A+U+E的正則點.由此推出z=0是(zI?A?U?E)?1的一級極點,從而由留數(shù)定理[4]與引理4知道對?y∈X有

由ψi的定義(見引理4)推出

特別地,對初值p(0)=(1,0,0)有

將(53)-(55)與(56)-(58)代到(52)得到此引理的結(jié)論.

結(jié)合定理1,定理3,引理5得到

定理4當(dāng)μ>λ0>0時,系統(tǒng)(7)的時間依賴解指數(shù)收斂于該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解,即存在正數(shù)δ>0,>0,使得

其中p(x,t)是系統(tǒng)的時間依賴解,p(x)是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解.

證明由定理1知道系統(tǒng)(7)存在唯一的正時間依賴解p(x,t),并把它可表示為

由引理5知道

從而由定理3,(59),(60)推出

參考文獻：

[1]Cox D R.The analysis of non-Markovian stochastic process by the inclusion of supplementary variables[J].Proceeding of Cambridge Philosophical Society,1955,51:433-441.

[2]Gaver D P.Time to failure and availibility of parallel redundant systems with repair[J].IEEE Transactions on Reliability,1963,R-12:30-38.

[3]艾尼·吾甫爾.可靠性理論中的數(shù)學(xué)方法[M].烏魯木齊:新疆大學(xué)出版社,2012.

[4]焦紅偉,尹景本等.復(fù)變函數(shù)與積分變換[M].北京:北京大學(xué)出版社,2007.

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