一類具有飽和發(fā)生率的病毒感染模型的穩(wěn)定性分析?

吳朝彪,夏米西努爾阿布都熱合曼

(新疆大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，新疆烏魯木齊830046)

0 引言

1 基本性質(zhì)

本文在文獻(xiàn)[8]模型下做出一些改變,研究如下一般非線性病毒發(fā)病感染率的xyv模型,其中x(t),y(t),v(t)分別代表t時(shí)刻宿主體內(nèi)未感染細(xì)胞數(shù)量、感染細(xì)胞數(shù)量和游離病毒的數(shù)量,則可得到帶有飽合發(fā)生率的病毒感染數(shù)學(xué)模型

其中參數(shù)λ表示未感染細(xì)胞在人體組織中的常數(shù)產(chǎn)生率；d表示未感染細(xì)胞的死亡率,α表示感染細(xì)胞的死亡率,u表示游離病毒的死亡率表示游離病毒接觸并成功感染未感染細(xì)胞的速率;k是指感染細(xì)胞釋放游離病毒的速率.

模型(1)的初始條件為

系統(tǒng)(1)有一個(gè)無感染平衡點(diǎn)令基本再生數(shù)取為

引理1若R0≥1,即則系統(tǒng)(1)存在唯一的持續(xù)帶毒平衡點(diǎn)其中

而v?滿足下面的方程(4)

引理2設(shè)(x(t),y(t),v(t))是模型(1)滿足初始條件(2)的解,則對任意的t≥0,解(x(t),y(t),v(t))是正的.

證明假設(shè)x(t)在(0,)內(nèi)不恒大于0,則存在>0,使得(x(t)>0),t∈(0,)但是x()=0,對于t∈(0,),從而有令由于x(t)連續(xù),則

矛盾,所以x(t)>0,t>0,類似于x(t)正性的證明,可以得到y(tǒng)(t),v(t))的正性.

引理3對系統(tǒng)(1)滿足初始條件(2)的任意解(x(t),y(t),v(t))是有界的.

證明令N(t)=x(t)+y(t),m=min(d,α),則故,x(t),y(t)有界,由系統(tǒng)(1)的第三個(gè)方程知v(t)也有界,即存在M使得

是系統(tǒng)(1)的正向不變集:

2 無感染平衡點(diǎn)的全局動(dòng)力學(xué)

在本節(jié)中,假設(shè)R0≤1,并構(gòu)造Lyapunov函數(shù),得出模型(2)的無感染平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.

定理1當(dāng)R0<1時(shí),系統(tǒng)(1)的無病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明首先證明系統(tǒng)無病平衡點(diǎn)E0的局部穩(wěn)定性.系統(tǒng)(1)的Jacobian矩陣為

它有三個(gè)特征根分別為

故當(dāng)時(shí)無病平衡點(diǎn)是局部穩(wěn)定的,當(dāng)Ro>1時(shí),是不穩(wěn)定的.

下面證明當(dāng)R0<1時(shí),是全局吸引的.構(gòu)造Lyapunov函數(shù)如下

記：

容易看出,系統(tǒng)(1)在E中的最大不變集M只有唯一的點(diǎn)由LaSalle不變性原理及極限方程理論可知是全局吸引的,結(jié)合E0的局部穩(wěn)定性可知,當(dāng)R0<1時(shí),E0全局漸近穩(wěn)定.

3 持續(xù)帶毒平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性

本部分利用Bendixson判據(jù)方法[9]分析持續(xù)帶毒平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性.

設(shè)開集D?Rn,對x7→f(x)∈Rn是C1類函數(shù),考慮微分方程

設(shè)x(t,x0)是方程(8)滿足條件x(t,x0)=x0的解.集合K被稱為方程(8)在D內(nèi)的吸引集,若對每一個(gè)緊子集K1?D,當(dāng)t充分大時(shí),都有x(t,K1)?K.給出基本假設(shè)：

(H1)方程˙x=f(x)在D內(nèi)存在一個(gè)緊吸引子集K?D,

(H2)方程˙x=f(x)在D內(nèi)存在唯一平衡點(diǎn)ˉx?D.

有如下Bendixson判據(jù)定理,參看[9]的定理2.3.文獻(xiàn)[9]顯示,如果D是單連通的,條件q<0能排除系統(tǒng)出現(xiàn)任何閉軌道,包括周期軌道,同宿軌道和異宿軌道.

這里的Bendixson判據(jù)定義如下:設(shè)x→P(x)是一個(gè)矩陣函數(shù),且對x∈D它是C1的,假設(shè)P?1(x)存在且x∈K上是連續(xù)的,K∈D是一個(gè)緊的吸引集,定義

這里是把矩陣P的每一個(gè)元素Pij,用Pij沿f的方向?qū)?shù)取代得到的矩陣,μ(B)是矩陣Lozinshil測度

定理2[9]若D是單連通區(qū)域,且條件(H1)和(H2)成立,則當(dāng)q<0時(shí),系統(tǒng)x˙=f(x)的唯一平衡點(diǎn)x?在D內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的.

下面應(yīng)用定理2來討論系統(tǒng)(1)持續(xù)帶毒平衡點(diǎn)E?=(x?,y?,v?)的穩(wěn)定性.

定理3若R0>1則E?=(x?,y?,v?)在Γ內(nèi)是全局漸近穩(wěn)定的.

證明由定理1可得到R0<1時(shí),E0是全局漸近穩(wěn)定的,排除了持續(xù)性的任何可能性,由文獻(xiàn)[10]中定理4.3得到R0>1是一致待續(xù)的充分條件,當(dāng)R0>1時(shí),令x=R3且E=Γ,系統(tǒng)(1)滿足文獻(xiàn)[10]中定理4.3的所有條件,在邊界集?Γ上的最大不變集是點(diǎn)集{E0}且是孤立的,因此對系統(tǒng)(1)一致持續(xù)的充分條件等價(jià)于E0是不穩(wěn)定的,當(dāng)且僅當(dāng)R0>1時(shí),E0是不穩(wěn)定的,故系統(tǒng)(1)在?T內(nèi)是一致持續(xù)的,因此,在D內(nèi)存在一個(gè)緊吸引子集K,故定理2的假設(shè)(H1)與(H2)成立.

注系統(tǒng)(1)在有界集內(nèi)中的一致持續(xù)性等價(jià)于系統(tǒng)(1)在內(nèi)部中存在一個(gè)緊吸引子集K?Γ.

下面驗(yàn)證q<0.令,則p是C1且在內(nèi)是非奇異的,令f表示系統(tǒng)(1)的向量域,則

系統(tǒng)(1)一般解X(t)=(x(t),y(t),v(t))的第二加性復(fù)合矩陣為：

令矩陣

其中

令(x,y,v)是R3中的一個(gè)向量,定義在R3中的向量模為

令μ為這個(gè)模的Lozinski.令

其中為L1模下的Lozinski測量值,則由上可得

下面計(jì)算μ(B22),把B22的每一列的非對角矩陣取絕對值,然后加到相對應(yīng)列的對角元素上得

取的兩個(gè)對角元素的最大值即得μ(B22),則

m=min{d,α}因此,當(dāng)t>t?時(shí),

又因?yàn)?/p>

所以

由于

因此,g1

對t>t?從而

又因?yàn)?/p>

從而

因此定理2的全部條件滿足,故結(jié)論成立,可得到E?是全局穩(wěn)定的.即,若R0>1,則系統(tǒng)(1)的持續(xù)帶毒平衡點(diǎn)E?=(x?,y?,v?)是在?T內(nèi)全局漸近穩(wěn)定的.

4 數(shù)值模擬

這一部分,對系統(tǒng)的平衡點(diǎn)E?=(x?,y?,v?)在R0>1時(shí),取不同的p值進(jìn)行數(shù)值模擬,數(shù)值仿真采用Matlab軟件.通過一些數(shù)值實(shí)例來說明結(jié)論的正確性和方法的有效性.如圖1～圖4,這里模型中的參數(shù)分別取為λ=1.2,d=0.4,β=0.6,k=0.4,α=0.5,u=0.3,p=13,9,7,3,x(0)=2,y(0)=5,v(0)=1,此時(shí)R0=1.6>1.

5 討論

這篇文章主要研究了模型(1)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì),通過建立新的Lyapunov函數(shù)并且利用微分方程中相關(guān)的穩(wěn)定性理論,在基本假設(shè)(H1)和(H2)下,得到模型(1)的全局漸近穩(wěn)定性.即無病平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)基本再生數(shù)R0<1,持續(xù)帶毒平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)基本再生數(shù)R0>1,我們討論的是模型發(fā)生率是當(dāng)p≥2時(shí)的情形,可以看到應(yīng)用的發(fā)生率比文獻(xiàn)[8]中的更一般些,同樣得到了持續(xù)帶毒平衡點(diǎn)是全局漸近穩(wěn)定的當(dāng)且僅當(dāng)基本再生數(shù)R0>1的結(jié)論.

圖1 x(t),y(t),v(t)的立體圖像

圖2 v(t)與參數(shù)p的圖像

圖3 y(t)與參數(shù)p的圖像

圖4 x(t)與參數(shù)p的圖像

參考文獻(xiàn)：

[1]Nowak M A,May R M.Viral dynamics[M].Oxford:Oxford University Press,2000.

[2]Liu W M,Hethcote H W,Levin S A.Dynamical behavior of epidemiological models with nonlinear incidence rates[J].Math Biol,1987,25(4):359-380.

[3]Vargas De Leon C.Constructions of Lyapunov Functions for Classics SIS,SIR,and SIRS Epidemic model with Variable Population Size[J].Acta Mathematica Scientia,2001,10(5):75-83.

[4]Song X Y,Neumann A U.Global stability and periodia solution of the viral dynamics[J].Math Anal Appl,2007,329(1):281-297.

[5]Korobenikov A.A Lyapunov fuction and global properties for SIR and SEIR epidemicological models with nonlinear incidence[J],Math Biosci Eng,2004,1:57-60.

[6]Li J,Zhang J,Ma Z.Global analysis of some epidemic models with general contact rate and constant immigration[J],Appl Math Mech,2004,25(4):36-41.

[7]Li G,Jin Z.Global stability of a SEIR epidemic model with infectious force in latent,and immune period[J].Chaos,solitons and Fractals 2005,25:1177-1184.

[8]JI Yu,MIN Le-quan,SU Yong-mei.Global stability of a viral infection model with saturatinon incidence[J].Journal of Biomathematics,2010,25(2):267-272.

[9]M Y Li,J S Muldoweny.A geometric approach to the global-stability problems[J].Math Anal,1996,27:1070-1083.

[10]H R Freedman,S G Ruan and M X Tang.Uniform persistence and fl ows near a close positively invariant set[J].Dyn DiffEqus,1994,6(4):583-600.