鏈條下落運動問題淺析

于同旭，張文彬，許 騰，曹則賢

中國科學(xué)院物理研究所，北京 100190

鏈條下落運動問題淺析

于同旭?，張文彬，許 騰，曹則賢

中國科學(xué)院物理研究所，北京 100190

鏈條的力學(xué)問題在物理學(xué)的發(fā)展過程中一直備受人們的關(guān)注，并與重大的工程實踐有著密切聯(lián)系。下落鏈條作為典型的變質(zhì)量體系，經(jīng)常被引為力學(xué)教科書上的范例。然而，對于鏈條下落運動的認(rèn)識依然存在著諸多分歧有待澄清。鏈條的下落運動行為依賴于其初始構(gòu)型，本文選取4種設(shè)定情形進行介紹，并簡要分析不同運動行為的特征。

下落鏈條；變質(zhì)量體系；加速度；堆積構(gòu)型；幾何輪廓

對物理學(xué)的發(fā)展稍有了解的人會注意到這樣一個事實：對于下落問題的思索似乎是一直貫穿著該學(xué)科從古到今的發(fā)展。試舉幾例：據(jù)傳伽利略(1564—1642)由在比薩斜塔做的兩個不同質(zhì)量的同種物體同步下落的演示實驗而推翻了在中世紀(jì)自然哲學(xué)中占統(tǒng)治地位的亞里士多德(公元前384—公元前322)的觀點——同一高度同時釋放的兩個物體重物先落至地面[1]；牛頓(1642—1727)由蘋果落地的聯(lián)想，得出天體的運動與地面附近物體的下落運動同為有心力所導(dǎo)致的結(jié)論，從而發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律[2]；(需要說明的是，這兩則傳聞并沒有翔實可靠的歷史記錄，更可能的事實是兩人在頭腦中開展了相應(yīng)的類似的思想實驗(Gedankenexperiment)，通過歸謬和演繹得到了上述的結(jié)果。)而愛因斯坦(1879—1955)則通過構(gòu)建自由下落的升降機的思想實驗，得出了廣義相對論的等效性原理，即一個相對于慣性系做勻加速運動的非慣性系與存在引力場等效[3]。從上面這3個廣為人知的例子可見，對于下落運動問題的每一步深刻認(rèn)識都帶來了物理學(xué)的重要發(fā)展。

在上述3例思想實驗中，為了抽離出現(xiàn)象背后的基本物理原理，忽略下落物的本征屬性是必要的。不過當(dāng)基本原理的框架建立以后，一個學(xué)科(尤其物理學(xué))的發(fā)展總是朝著認(rèn)識具體的事物和現(xiàn)象而行，此時體系內(nèi)稟的特征將必須納入考慮。對于下落的連續(xù)體(可作剛性近似)，當(dāng)其處于地面附近(不計重力變化)，速率較小(不計阻力影響)時，其運動形式為豎直向下的勻加速運動(加速度為g)。這里要求的剛性近似、接近地面、較小速率即構(gòu)成體系作自由落體運動的必要前提條件。本文旨在探討鏈條這一體系的下落運動所具有的一些有別于自由落體運動的特征。

鏈條、繩索、鞭子這些準(zhǔn)一維柔性物體的靜力學(xué)和動力學(xué)行為研究在物理學(xué)中也有著悠久的歷史，并與一些顯赫的名字相關(guān)。據(jù)記載，最早依然是由伽利略指出兩端固定的松弛的鏈條的輪廓近似為拋物線狀[4]。當(dāng)然這一結(jié)論并不準(zhǔn)確，后來是由Christiaan Huygens (1629—1695)、Gottfried Leibniz (1646—1716)、John Bernoulli (1667—1748)獨立地發(fā)現(xiàn)其輪廓應(yīng)為懸鏈線(catenary)[5]，由其間的張力來承受鏈條的重量；而在1675年Robert Hooke (1635—1703)發(fā)現(xiàn)由壓應(yīng)力來承重的薄拱壩(thin arch)，其拱形應(yīng)為倒懸線狀(inverted catenary)[6]。此后建筑師便將反垂曲線形拱(catenary arch)融入到建筑設(shè)計中，他們當(dāng)中最為典型的當(dāng)屬西班牙建筑師Antoni Gaudí (1852—1926)，他不但將這一拱形大量地用到建筑作品中，還利用懸線來構(gòu)建倒置的建筑模型。圖1(a)、1(b)展示的分別是Gaudí的建筑杰作Casa Milà中包含的反垂曲線形拱元素和在設(shè)計Colònia Güell時用到的懸線模型[7]。

圖1 Antoni Gaudí建筑設(shè)計中的反垂曲線形拱元素：(a) Gaudí的建筑杰作Casa Milà中包含的反垂曲線形拱元素；(b)在設(shè)計Colònia Güell時用到的懸線模型

鏈條(繩索)的力學(xué)行為除對建筑(美)學(xué)的發(fā)展造成影響之外，還與19世紀(jì)下半葉一項舉世矚目的重大工程項目密切相關(guān)，那就是大西洋海底電纜的鋪設(shè)(熱力學(xué)的奠基人之一著名的Lord Kelvin (1824—1907)即參與其中，并因這項工程貢獻而被授予勛爵爵位[8])。首次鋪設(shè)海底電纜的努力以失敗告終，這促使當(dāng)時人們對于其所涉及的動力學(xué)問題進行研究。Sir George Biddell Airy (1801—1892)在1858年指出，被以恒定速率牽引的繩索其穩(wěn)定形狀同樣為懸鏈線形，從靜止平衡狀態(tài)向穩(wěn)定運動的過渡其效果只是造成繩索的張力中包含正比于速度平方的一項[9](這一速度平方項將會出現(xiàn)在后面各部分的討論中)。

通過上述的歷史回顧大家可能形成這樣一種印象，即鏈條(繩索)的力學(xué)問題業(yè)已得到了詳盡的研究，不大可能孕育新的研究亮點。但事實并非如此。想必大家對于神舟七號宇航員出艙的畫面還記憶猶新，一定留意到了連接飛船和宇航員的纜索，它是宇航員太空行走的生命維系。存在梯度變化的空間引力場環(huán)境以及飛船這一非慣性系給纜索的運動描述帶來了新的復(fù)雜性，這構(gòu)成了繩索動力學(xué)研究中的一個重要方向[10]。另舉一例，長久以來多重因素一直制約著中國自建航母的發(fā)展，其中一個主要的技術(shù)障礙即為航母阻攔索的設(shè)計。阻攔索用于將艦載機高速攔停，是艦載機名副其實的“生命線”，如何在大沖力條件下保證其安全可靠且具有較長的使用壽命一直是研究的焦點[11]。

本文不打算討論鏈條所涉及的這諸多工程力學(xué)問題，而是擷取幾個方面考察鏈條下落運動這一物理過程。我們將會看到，即便是鏈條下落運動這樣習(xí)以為常的現(xiàn)象，也會表現(xiàn)出許多意料之外的行為特征，從而考驗直觀的物理思維。首先需要提請注意這樣一個特點：宏觀物體的力學(xué)描述通常采取連續(xù)性假設(shè)，這便于給出相對簡單的數(shù)學(xué)解析表達(通常為微分形式)，但是對于復(fù)雜的力學(xué)體系，解析求解即使不是不可能的，在時效上也是不經(jīng)濟的。不過計算技術(shù)的發(fā)展提供了實現(xiàn)高效求解的可能。我們知道，計算機數(shù)值方法要求對體系進行離散化處理，需要將連續(xù)體進行單元剖分，把描述連續(xù)體的微分方程寫成差分方程組的形式，從而利用有限元或差分方法等離散化的數(shù)學(xué)工具來進行近似求解。然而鏈條本身是由多個鏈節(jié)聯(lián)結(jié)而成，其自身已構(gòu)成離散體的集合，因此可以直接用差分方程來給出鏈條運動的精確描述。對于繩索和鞭子，宏觀來看它們本身即為連續(xù)體，其運動方程可能存在著精確的微分形式，但是當(dāng)進行數(shù)值求解時，實際上還是將兩者近似看作由多個小段相互連接構(gòu)成，這一點類似于鏈條，利用處理鏈條的計算方法即可對其運動方程進行求解。當(dāng)然數(shù)學(xué)處理方法上的等效性，是基于鏈條、繩索具有相似的力學(xué)行為。我們知道，物體對外界的不同激勵產(chǎn)生的特征力學(xué)響應(yīng)是反映物體狀態(tài)的一個重要指標(biāo)，例如抗剪切性質(zhì)的有無可以作為區(qū)分固液體狀態(tài)的標(biāo)志。鏈條、繩索這些準(zhǔn)一維柔性體在其長度方向上可以承受一定的張應(yīng)力，而無法承受壓應(yīng)力，它們表現(xiàn)出來的一些動力學(xué)行為，往往與其間的張應(yīng)力有關(guān)。考慮到這些相似性，并由于篇幅的限制，本文只對鏈條的下落運動問題進行描述，相當(dāng)一部分結(jié)果同樣地適用于繩索的情形。

另外需要注意的一點是，雖然運動本身的存在已決定了描述其行為的方程解的存在性，但是要限制解的唯一性，則取決于體系設(shè)定的初始條件和邊界條件。本文選取了下落鏈條的4種構(gòu)型，我們將會看到，對于這些不同的設(shè)定條件，鏈條的運動都表現(xiàn)出了形式上的差異。

1 一端固定，一端釋放之鏈條的下落運動

前已提到，兩端固定的松弛鏈條的平滑輪廓(也即不考慮鏈節(jié)的固有長度和剛性)為懸鏈線，當(dāng)固定點很靠近時，我們將這一輪廓稱為窄懸鏈線(narrow catenary)，如圖2(a)所示。當(dāng)鏈條一端解除固定時，大家可能直觀地認(rèn)為該自由端將在重力作用下以加速度 g下落，許多教科書上也是給出這樣的解答。然而事實并非如此，M. G. Calkin和R. H. March[12]首先指出這一錯誤觀點，他們發(fā)現(xiàn)自由端落至最低點所經(jīng)歷的時間小于自由下落所需時間，這說明鏈條下落端的加速度大于重力加速度，下落鏈段除了受到重力之外鏈節(jié)之間還存在著張力作用。這一結(jié)果也為M. Schagerl等[13]所證實，他們發(fā)現(xiàn)初始位于同一高度的鏈端和小鋼環(huán)在自由下落過程中，鋼環(huán)逐漸落后于鏈端，這一實驗直接證明了鏈條下落的加速度大于重力加速度 g。

基于鏈條的離散特性，我們可以對其下落運動進行解析描述。設(shè)定鏈條一端的固定點為坐標(biāo)原點和勢能零點，選擇鏈節(jié)軸向與豎直方向的夾角θi為廣義坐標(biāo)，如此就可以建立每個鏈節(jié)質(zhì)心的直角坐標(biāo)(χi, yi)：

從而寫出其動能Ti、勢能Vi以及整個體系的拉格朗日量L：

進而寫出描述鏈條運動的Euler-Lagrange方程組：

然而，即便能夠?qū)懗雒枋鲦湕l運動的微分方程，要實現(xiàn)其解析求解依然十分困難，因此就需要借助于計算機數(shù)值模擬。結(jié)果表明[13-14]數(shù)值模擬確實能與實驗結(jié)果進行很好的比較。

另外存在這樣一種情況，即初始兩固定點間距約為單個鏈節(jié)長度，此時可近似認(rèn)為鏈條的左右兩段平行沿豎直方向懸垂，如圖2(b)。對于折疊鏈條(folded chain)這一情形[15]，在假定下落過程機械能守恒(系統(tǒng)重力勢能的變化完全轉(zhuǎn)變?yōu)橄侣滏湺蔚膭幽?，而不考慮其他形式的轉(zhuǎn)化)的前提下，體系是可以利用連續(xù)性描述進行解析求解的?？紤]當(dāng)鏈條右端釋放時，其重力勢能將向動能轉(zhuǎn)化，與此同時，右端鏈條底部的鏈節(jié)往左端補充，右端鏈節(jié)逐漸減少，這是典型的變質(zhì)量問題(variable-mass problem)。一般我們將牛頓第二定律寫作F=Mv.，不過這是針對質(zhì)量不變的體系，而更普適的寫法應(yīng)為

其可以用于描述質(zhì)量變化體系的運動。當(dāng)系統(tǒng)的外力只是由重力來提供(即F=Mg)時，由上述公式可以知道，質(zhì)量變化部分的加速度將有別于重力加速度g。對于在此討論的單端釋放鏈條來說，其運動端質(zhì)量減小，這意味著M.<0，由此明顯知其下落的加速度將大于重力加速度g。

圖2 兩端固定的懸垂鏈條：(a) 窄懸鏈線形；(b) U形折疊

當(dāng)然針對折疊鏈條的這一討論是較為粗糙的，它忽略了單個鏈節(jié)的運動細(xì)節(jié)以及鏈條兩端的質(zhì)量交換過程，假定在下落過程中系統(tǒng)重力勢能的變化全部轉(zhuǎn)化為運動端的豎直平動動能這一點也值得商榷。由于承載動能部分的鏈節(jié)數(shù)目在不斷減小，因此其速度不斷增加，當(dāng)最后一個鏈節(jié)補充到左端底部時，鏈條右端的質(zhì)量減為零，則其速度將為無窮大。但是這是不符合物理真實的，原因在于：首先我們忽視了一點，即鏈條兩端的質(zhì)量交換是以單個鏈節(jié)的質(zhì)量m為單元的，在底部的鏈節(jié)從右端向左端補充時，相應(yīng)的鏈節(jié)還伴隨著以左端底部末端節(jié)點為軸的轉(zhuǎn)動，這一轉(zhuǎn)動在鏈中產(chǎn)生了額外的張力才使得右端鏈條的加速度大于重力加速度g；其次這一轉(zhuǎn)動過程的能量是由鏈節(jié)原先豎直方向的平動動能轉(zhuǎn)化而來，也即由重力勢能轉(zhuǎn)化而來，這說明只考慮鏈段整體的豎直運動的話，機械能存在一定的耗散。在右端鏈節(jié)向左端底部補充的轉(zhuǎn)動過程中，根據(jù)動量定理，臨近鏈節(jié)也將發(fā)生橫向的擺動，擺動會沿鏈條軸向傳播，甚至造成左右兩端鏈條的碰撞，數(shù)值模擬已證實了這一點[13-14]。鏈條中的這一橫向波動過程造成了鏈條豎直下落過程中的機械能損失。另外，由于鏈條的不可延展性，鏈條的橫向擺動也會造成鏈條縱向的聯(lián)動伸縮，如此復(fù)雜的運動勢必使得簡單的連續(xù)性描述捉襟見肘。

2 平面堆積之鏈條的下落運動

上一部分討論了下落鏈段的質(zhì)量逐漸減小的變質(zhì)量問題，得出其鏈端的加速度大于重力加速度g的結(jié)論。由此可以聯(lián)想到這樣的鏈條體系，其下落部分的質(zhì)量逐漸增加，那么鏈條運動的加速度可能將小于重力加速度g。初始堆積在一個平面上，其一端懸垂于平面邊緣豎直下落(不計摩擦)的鏈條(圖3)即符合這一情形。這一問題由來已久，可以回溯到19世紀(jì)中葉，并與著名的劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)Tripos考試(Tripos一詞源于拉丁語，意指三腳凳，過去劍橋大學(xué)的本科生要坐在這種凳子上通過各種考試才能獲準(zhǔn)畢業(yè)，贏得該考試頭名的學(xué)生被稱為Senior Wrangler)有莫大淵源。早在1857年Arthur Cayley (1821—1895)就給出了該問題的一個解答[16]，他認(rèn)為鏈條在下落過程中機械能不守恒，得出其運動的加速度為g。不過Wong等在文章[17]中提到，在Routh的專著《A Treatise on Dynamics of a Particle》中有這樣一條腳注，言及此類變質(zhì)量問題早在1850年就出現(xiàn)在劍橋有名的私人教師、被譽為Senior-Wrangler Maker的William Hopkins (1793—1866)的訓(xùn)練中；腳注還提到這一問題的一個解答也出現(xiàn)在了由Tait和Steele撰寫、出版于1856年的一本關(guān)于動力學(xué)的著作《A Treatise on Dynamics of a Particle》中。(Cayley、Tait和Routh都曾接受過Hopkins的指導(dǎo)并且分別于1842、1852、1854年贏得了Senior Wrangler稱號。)由此這一初始堆積于平面的鏈條下落問題應(yīng)稱之為Hopkins-Tait-Steele-Cayley(HTSC)問題。Wong還指出，HTSC問題的能量非守恒解在其后一些參加過Tripos考試的人——J. Wolstenholme，H. Lamb，J. M. Jeans——的著作當(dāng)中也均有出現(xiàn)。

圖3 堆積于平面上的鏈條下落示意圖

下面從兩個角度來討論該問題。其一，假定鏈條在下落過程中只受到重力這一外力作用，那么根據(jù)動量定理：=ρgχ（其中ρ為單位長度的鏈條質(zhì)量），以及初始條件χ0=0, n0=0，很容易得到n2=gχ，并由n2=2aχ可得鏈條下落的加速度為a=g。這與Cayley給出的能量非守恒解相一致。另一方面，如果假設(shè)鏈條下落過程機械能守恒，即ρχn2= ρgχ，則將很容易得到·n2=gχ, a=。這樣第一種方法將給出ρgχ2的能量損失，它是由平面上靜止鏈條受到下落鏈條的牽引而造成的。在Arnold Sommerfeld(1868—1951)的《Mechanics》[18]中，其將該能量損失項的引入歸于Lazare Carnot(1753—1823)(其子可能更為人所熟知——提出了熱力學(xué)中著名的卡諾循環(huán)的Sadi Carnot(1796—1832)。Lazare Carnot除了是一位工程師和數(shù)學(xué)家以外，還是法國革命時期拿破侖(1769—1821)的忠實將領(lǐng)之一，其名字被鐫刻在埃菲爾鐵塔之上)。

上述兩種假定給出了不同的運動加速度，那么究竟哪一種描述更貼近物理真實呢？我們知道，下落鏈條在運動過程中，會帶動原本在臺面上處于靜止的鏈條，也即會給靜止鏈條一個沖量，使得其以下落鏈條的速度開始運動，這部分鏈段構(gòu)成了運動鏈條的質(zhì)量變化項m.=ρn。要施加這一沖量，鏈條中必須有張力T存在，因此在運用動量定理時只考慮重力的作用是不確切的，= ρgχ+T準(zhǔn)確的寫法應(yīng)為(規(guī)定向下的方向為正，則T<0)。進而若依Wong的能量守恒的思路，可以利用Euler-Lagrange方程求出T的表達式：以平面邊沿為參考點，下落鏈條的拉格朗日量寫為L=ρχn2+ρgχ·，根據(jù)Euler-Lagrange得到對比可知T=ρn2，其方向朝下。這與我們的直覺即T<0是相矛盾的：若張力朝下，則鏈條下落的加速度勢必大于重力加速度g。并且Anoop Grewal小組也指出[19]，Wong在論證鏈條下落過程中機械能守恒這一點時存在著循環(huán)論證：假定Euler-Lagrange方程可用已然默認(rèn)了能量守恒。由此可見上述兩種思路似乎都未給出確切的結(jié)果。

3 落于平面之鏈條的下落運動

鏈條下落端與某一平面接觸并在其上堆積是一種常見的現(xiàn)象，這一部分將對此進行討論。我們會看到，這一下落運動也表現(xiàn)出與自由落體運動不同的特征?？紤]豎直鏈條自由伸展而其底端剛好與平面接觸，那么在鏈條下落過程中其底部鏈節(jié)將逐漸在平面上堆積，平面給予接觸鏈節(jié)以沖量使其速度減為零。如果在dt時間內(nèi)鏈節(jié)的速度由v變?yōu)?，則這一過程中動量的變化為dp=-ρvdt·v，根據(jù)動量定理，臺面施于鏈節(jié)使其靜止的力為 f==ρv2。與此同時平臺上部的鏈條其鏈節(jié)數(shù)減少，相應(yīng)地質(zhì)量減小，這一變質(zhì)量問題預(yù)示著鏈條下落的加速度將大于重力加速度g。實驗結(jié)果也顯示，鏈條和與其頂端平齊的小球在同時釋放后，頂端鏈節(jié)高度始終低于自由下落的小球的高度(圖4)。這是由于鏈節(jié)具有一定的長度以及剛性，鏈條在臺面的堆積并非是集中于一點和僅僅為平動，這一過程中還伴隨著鏈節(jié)的轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動在鏈條中產(chǎn)生的張力以及鏈條自身的重力使得鏈條下落的加速度大于重力加速度g。

圖4 同時下落的鏈條與小球[20](初始狀態(tài)，鏈條頂端與小球平齊；其后，頂端鏈節(jié)的高度低于小球的高度)

可以使鏈條落于稱重裝置來定量地考察其與臺面之間的相互作用[20]，當(dāng)鏈條下落χ高度時，其施于稱重臺面的力將為已堆積鏈條的重力ρgχ與-f 的合力，即F= ρgχ+ρv2。如果基于鏈條自由下落的假定，則v2=2gχ，F(xiàn)=3ρgχ，即理論上稱重裝置的瞬時讀數(shù)將是堆積于其上的鏈段重量的三倍。又由χ=gt2，這一讀數(shù)將隨時間呈拋物線型增加，當(dāng)鏈條全部堆積于裝置上時，讀數(shù)顯示為整個鏈條重量的三倍并很快降為鏈條的重量本身。但實驗已經(jīng)證實鏈條下落的加速度大于重力加速度g，因此，鏈條施于臺面的力將大于三倍的已堆積鏈條的重量。不過這是基于連續(xù)性假設(shè)，而實際上由于鏈節(jié)的離散特性，以及落于臺面上的鏈節(jié)由臺面提供沖量使其速度減為零需要一定的時間(即便時間很短)，在這一時間段內(nèi)裝置讀數(shù)會有跳動，構(gòu)成了測量的噪聲。經(jīng)過平滑濾波可以消除實驗噪聲，結(jié)果顯示鏈條全部落于測量臺面的瞬時讀數(shù)確實大于三倍的鏈條重量，其后減為鏈條的重量，并且時間記錄顯示鏈條下落所經(jīng)歷的時間確實要短于自由下落所需要的時間。

4 高度差固定之鏈條的下落運動

進而考察在具有固定高度差(其小于鏈條總長度)的臺面之間的鏈條的下落運動。由于前面兩部分已做了討論，在此暫先不考慮下落鏈條初始尚未與下臺面接觸和最終脫離上臺面的情形。在中間情形，單位時間內(nèi)上臺面上被牽引而開始運動的鏈條的長度等于在下臺面上堆積靜止的鏈條的長度，此時鏈條的運動達到穩(wěn)恒狀態(tài)。這似乎是一個比較平庸的過程。不過可以稍作一些變化，考慮在兩個臺面之間的鏈條運動還存在一定的高度勢壘，簡單的情況即是鏈條置于位于上平臺邊沿的杯子中，鏈段之間未互相纏結(jié)，鏈條一端懸垂于杯子外，當(dāng)其底端低于杯底一定程度或者給其施加向下的拉力時，鏈段在重力的作用下持續(xù)下落。大家可能會直觀地認(rèn)為在此過程中鏈條將貼杯子邊沿往外補充，但通過簡易的實驗就會發(fā)現(xiàn)鏈條將跨過杯沿運動，鏈段在往外補充下落之前有一段懸空的部分，如圖5(a)所示[21-22]。這一與直覺相左的懸空現(xiàn)象恰是它的迷人之處，這也就是2013年S. Mould在互聯(lián)網(wǎng)上公布了該實驗視頻后點擊量很快地飆升至數(shù)百萬的原因(圖5)。

圖5 鏈條懸空現(xiàn)象[22]：(a)S. Mould演示鏈條“噴泉”現(xiàn)象(J. Sanderson拍攝)；(b)鏈條的倒懸線輪廓

不過需要指出的是，S. Mould并非發(fā)現(xiàn)珠鏈懸空現(xiàn)象的第一人，事實上類似的現(xiàn)象已由M. G. Calkin在其1989年的另一篇文章[23]中做了描述。他研究的是懸吊于釘樁上的一根鏈條(如圖6(a)所示)，當(dāng)其一端運動下落時，由于鏈條的不可延展性，另一端將向上運動。鏈條的重力勢能轉(zhuǎn)化為其動能，鏈條被不斷加速，在鏈條的彎折處由鏈條中的張力提供其向心力，當(dāng)?shù)竭_某一時刻時，向上運動的尾部鏈條的加速度和速度將大于向下運動的頭部鏈條的加速度和速度，此時鏈條就將脫離釘樁并處于懸空狀態(tài)(圖6(b))，這類似于S. Mould在互聯(lián)網(wǎng)上所展示的珠鏈“噴泉”(chain fountain)。

圖6 懸吊于釘樁上的鏈條的下落運動示意圖：(a)初始狀態(tài)；(b) 下落一段距離后鏈條的懸空狀態(tài)

在M. G. Calkin分析的這一物理過程中鏈條兩端并未與任何平面接觸。就我們所知，J. S. Biggins和M. Warner最先對位于兩個臺面之間的這一鏈條“噴泉”現(xiàn)象進行了分析和解釋[22,24]。他們認(rèn)為鏈條在運動過程中可以達到一個穩(wěn)態(tài)，假設(shè)處于穩(wěn)態(tài)時鏈條的運動速率為v，那么在dt時間內(nèi)，將有質(zhì)量為ρvdt的鏈段被拉起，其動量變化為dp=ρvdt·v，而根據(jù)動量定理，鏈段受力為f=v2。他們認(rèn)為這一受力不單由鏈條中的張力提供，還由于臺面上的靜止鏈條對被拉起鏈段有一推力作用，并且說這一推力是形成鏈條“噴泉”的必要條件。他們通過簡化的分析證明這一推力的存在是由于鏈條本身所具有的剛性導(dǎo)致鏈段被拉起時對剩余鏈條有一向下的作用力，因而其將受到向上的反作用力。J. S. Biggins指出當(dāng)盛裝鏈條的杯子傾斜使其底部與臺面成一夾角時，鏈條“噴泉”的穩(wěn)定輪廓為倒懸線型(圖5(b))；而當(dāng)杯子未傾斜時，鏈條“噴泉”是豎直的。當(dāng)然這是在假設(shè)鏈條以垂直于杯底的方式被拉起的前提下分析得到的結(jié)果，而未考慮鏈條的實際堆積方式可能已使得鏈段與臺面存在夾角，且在被拉起過程中鏈段并非是垂直于杯底。

由于在M. G. Calkin分析的系統(tǒng)中鏈條在其兩端并未與任何平面接觸的情況下依然能出現(xiàn)懸空現(xiàn)象，因此可以推斷J. S. Biggins和M. Warner給出的鏈條“噴泉”的產(chǎn)生必須由杯底部產(chǎn)生推舉鏈條向上的反常反作用而導(dǎo)致的解釋并不確切(在兩人的文章中還存在一些訛誤)。當(dāng)然這并非否認(rèn)該反作用力的存在，實際上E. G. Virga用耗散沖擊(dissipative shocks)來描述鏈條運動的文章[25]即假定杯底對珠鏈有沖擊作用，從而改變鏈段的瞬時運動速率和方向，同樣給出了J. S. Biggins和M. Warner業(yè)已給出的鏈條的倒懸線輪廓以及鏈條高于上平臺的高度與上下平臺之間的高度差成正比的結(jié)論。Virga在處理該問題過程中除了穩(wěn)態(tài)條件并未引入過多的假設(shè)，因而其分析方法更顯合理。

迄今為止僅有的關(guān)于鏈條“噴泉”的這三篇文獻其關(guān)注的焦點主要在鏈條穩(wěn)恒運動(在J. S. Biggins的文章[22]中稍涉鏈條“噴泉”形成與演化的分析)，在這一過程中沿鏈條的加速度為零。然而通過上兩個部分的討論我們知道，在初始階段鏈條下落端尚未著地前，其運動滿足初始堆積于平面上的鏈條下落的情況；而當(dāng)最后階段剩余鏈條長度基本與平臺高度差相當(dāng)時，其運動則類似于最終堆積于平面上的鏈條的下落(在鏈條轉(zhuǎn)移的最后階段，末端運動鏈節(jié)從杯中快速甩出，這一擺動可以看做是一個轉(zhuǎn)動運動)。初始位于平面上的鏈條下落的加速度小于重力加速度g，最終位于平面上的鏈條下落的加速度則大于重力加速度g；而這里討論的鏈條的下落包含了鏈條從較高的平面向較低臺面的轉(zhuǎn)移，實際上是上述兩種情況的綜合，對于在鏈條整個運動過程中其運動狀態(tài)的轉(zhuǎn)變(尤其是加速度的變化)的理解是認(rèn)識鏈條“噴泉”現(xiàn)象的關(guān)鍵。

5 結(jié)語

通過上述討論，我們不難發(fā)現(xiàn)，即使是對于下落鏈條這樣看似簡單的力學(xué)體系，確切的認(rèn)識也并非是一步到位的，以往的研究中不乏這樣那樣的錯誤。我們在向公眾演示鏈條“噴泉”現(xiàn)象并與之進行討論的過程中，發(fā)現(xiàn)在大家的認(rèn)識空間中存在著一些知識誤區(qū)或盲區(qū)；而此前在閱讀相關(guān)文獻的過程中，也發(fā)現(xiàn)一些文獻中的討論并不能讓人信服。我們在此不恤分享自己的一些淺陋認(rèn)識，以期提請大家注意鏈條下落運動的復(fù)雜性以及可能導(dǎo)致的一些認(rèn)識誤區(qū)。

對于下落運動這樣常見的體系，由于教科書中的簡化處理，往往造成我們在頭腦中形成錯誤的印象，而忽略了其背后的深刻內(nèi)涵(我們必須認(rèn)識到這一點：物理學(xué)的基本規(guī)律是可以進行簡單表述的，但是物理學(xué)的認(rèn)識對象卻是紛繁復(fù)雜的。否則會對物理學(xué)產(chǎn)生錯誤的印象，即認(rèn)為物理學(xué)關(guān)注的僅僅是從復(fù)雜到簡單的歸納過程。這代表了物理學(xué)的一部分，但并非全部)。在本文開篇已經(jīng)提到，物理學(xué)的幾個重大發(fā)展都離不開對下落運動的深刻理解。另外從現(xiàn)象學(xué)的角度來看，下落運動也包含了豐富有趣的內(nèi)容，例如下落體形狀對于運動的影響(譬如落葉的運動描述)，以及下落對于物體形狀的影響。從上文的討論也可以看到，對于同一運動物體，設(shè)定條件的差異會帶來截然不同的運動現(xiàn)象。不同下落體(固體球、液滴、鏈條、顆粒物)與接觸平面(液面、固體平面、顆粒堆積物表面)的相互作用會帶來許多復(fù)雜的(非線性)運動行為，對這些現(xiàn)象的理解可以大大地幫助我們認(rèn)識許多真實的自然現(xiàn)象(如星體表面撞擊坑的成因、降雨等)和生產(chǎn)生活現(xiàn)象(如噴灌)。本文介紹的鏈條下落運動只是冰山一角，然而已經(jīng)表現(xiàn)出如此多的出人意料，并且還有許多細(xì)節(jié)有待于深入探究，本文權(quán)作引玉之磚。

(2014年10月15日收稿)

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Motions of a falling chain: A brief analysis

YU Tong-xu, ZHANG Wen-bin, XU Teng, CAO Ze-xian
Institute of Physics, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100190, China

Mechanical analysis involving chains is a very interesting topic that has drawn much attentions in history. As a characteristic variable-mass system, a falling chain is often referred as an example in textbooks of mechanics. However, there are many inconsistencies in the treatment of falling motions of the flexible chain, which demand to be clarified. The falling motion behavior depends critically on the initial configurations of the chain. In the present article we are concerned with four distinct setups, of which the diverse motion behaviors will be briefly analyzed.

falling chain, variable-mass system, acceleration, piling configuration, geometrical profile

(編輯：段艷芳)

10.3969/j.issn.0253-9608.2015.01.008

?通信作者，E-mail：yutongxusf03@iphy.ac.cn