基于極大值原理的電動(dòng)車組節(jié)能操縱

梁志成，王青元，何 坤，馮曉云

(西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，四川 成都 610031)

列車節(jié)能操縱是在保證列車安全、準(zhǔn)點(diǎn)、舒適、精確停車的基礎(chǔ)上，通過(guò)優(yōu)化列車工況序列，使列車運(yùn)行能耗最小。列車時(shí)刻表規(guī)定的區(qū)間運(yùn)行時(shí)間通常大于最大能力運(yùn)行時(shí)間，因此可利用富余時(shí)間和線路縱斷面進(jìn)行節(jié)能優(yōu)化。國(guó)內(nèi)外學(xué)者已對(duì)此進(jìn)行了大量的研究[1-6]，得出列車最優(yōu)工況序列由全力牽引、恒速控制、惰行和全力制動(dòng)所構(gòu)成。文獻(xiàn)[4]用變分法證明了區(qū)間不存在大坡道時(shí)，相鄰恒速區(qū)段之間只存在單個(gè)大坡道時(shí)最優(yōu)工況切換的存在性和唯一性，但其分析未考慮線路限速的影響。文獻(xiàn)[6]應(yīng)用極大值原理，推導(dǎo)出考慮再生制動(dòng)能量利用時(shí)列車最優(yōu)工況的切換原則，并給出了求解算法，但對(duì)線路限速約束影響下工況切換的討論較為粗糙。文獻(xiàn)[7]為解決模型奇異性導(dǎo)致列車工況切換點(diǎn)無(wú)法完全確定的問(wèn)題，引入優(yōu)秀司機(jī)操縱經(jīng)驗(yàn)，用啟發(fā)式算法尋找工況切換點(diǎn)，取得了較好的節(jié)能效果，但該方法未對(duì)工況切換點(diǎn)的最優(yōu)性進(jìn)行驗(yàn)證，且耗時(shí)較長(zhǎng)，難以應(yīng)用于列車節(jié)能運(yùn)行模式曲線的在線計(jì)算。

本文以電動(dòng)車組列車(以下簡(jiǎn)稱列車)牽引能耗最小為優(yōu)化目標(biāo)，考慮線路限速，應(yīng)用極大值原理推導(dǎo)節(jié)能操縱的最優(yōu)運(yùn)行工況集，通過(guò)分析伴隨變量的變化規(guī)律，挖掘列車節(jié)能操縱的解析屬性，在此基礎(chǔ)上給出一種求解列車最優(yōu)工況序列的數(shù)值算法，為列車自動(dòng)駕駛或輔助駕駛系統(tǒng)在線生成節(jié)能最優(yōu)模式曲線提供幫助。

1 列車運(yùn)行控制的數(shù)學(xué)模型

1.1 模型假設(shè)

為便于對(duì)列車運(yùn)行過(guò)程進(jìn)行分析，對(duì)列車模型做如下假設(shè)：

(1)不考慮列車使用電制動(dòng)工況時(shí)的再生反饋能量利用。基于電動(dòng)車組按照減速度-速度特性施加制動(dòng)力的特點(diǎn)，將列車的電制動(dòng)和空氣制動(dòng)特性歸并到同一制動(dòng)特性曲線下，得到綜合制動(dòng)特性曲線，且不考慮空氣制動(dòng)的充風(fēng)時(shí)間和緩解時(shí)間。

(2)列車的牽引力和制動(dòng)力是連續(xù)的，可取特性包絡(luò)線下對(duì)應(yīng)車速的任意點(diǎn)力的值，即μt和μb在其取值范圍內(nèi)連續(xù)，列車可實(shí)現(xiàn)恒速運(yùn)行。

(3)由于列車正常運(yùn)行情況下一般不會(huì)使用緊急制動(dòng)工況，因此本文中的列車制動(dòng)工況只限于常用制動(dòng)工況。

(4)列車輔助系統(tǒng)，如照明、空調(diào)和風(fēng)機(jī)等產(chǎn)生的能耗只與運(yùn)行時(shí)間有關(guān)，與列車運(yùn)行工況無(wú)關(guān)。

1.2 模型描述

列車在具有坡道和曲線的軌道上行駛，計(jì)算其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)時(shí)需要考慮車長(zhǎng)的影響，因此單質(zhì)點(diǎn)模型不再適用。本文對(duì)單節(jié)列車采用“均質(zhì)棒”模型，認(rèn)為單節(jié)動(dòng)車和單節(jié)拖車均按其長(zhǎng)度均勻分配質(zhì)量。列車的加算坡道附加阻力根據(jù)列車在不同線路條件下的長(zhǎng)度分布進(jìn)行加權(quán)平均計(jì)算得到。

由牛頓第二定律，列車運(yùn)行的數(shù)學(xué)模型可描述為

( 1 )

( 2 )

式中：v為列車速度，m/s；x為列車在線路上所處的位置，m；t為時(shí)間變量，s；ft(v)、bb(v)、w0(v)分別為考慮回轉(zhuǎn)質(zhì)量后列車在車速v下的最大單位牽引力、最大單位綜合制動(dòng)力以及單位基本運(yùn)行阻力；控制量μt、μb由列車牽引級(jí)位、常用制動(dòng)級(jí)位折算得到；g(x)為考慮回轉(zhuǎn)質(zhì)量后列車在位置x的單位加算坡道附加阻力。

為便于分析，將列車速度v和運(yùn)行時(shí)間t表示為以列車位置x為自變量的函數(shù)，即v(x)和t(x)，由式( 1 )和式( 2 )，得到微分方程

( 3 )

( 4 )

由于列車施加的牽引力和綜合制動(dòng)力不能超過(guò)其最大值，因此控制變量應(yīng)滿足約束

0≤μt≤1

( 5 )

0≤μb≤1

( 6 )

假設(shè)列車運(yùn)行區(qū)間的長(zhǎng)度為S，時(shí)刻表給定的區(qū)間運(yùn)行時(shí)間為T，則列車從區(qū)間起點(diǎn)啟動(dòng)運(yùn)行，經(jīng)過(guò)T時(shí)間到達(dá)區(qū)間終點(diǎn)并停車，可以表示為

v(0)=0，v(S)=0

( 7 )

t(S)-t(0)=T

( 8 )

考慮到列車運(yùn)行的安全性，列車車速不能超過(guò)其所在位置的線路限速，且列車應(yīng)能在任意車速下制動(dòng)減速，因而滿足

v(x)≤V(x)

( 9 )

bb(v)+w0(v)+g(x)>0

(10)

優(yōu)化目標(biāo)是使列車區(qū)間運(yùn)行的牽引能耗最小，即

(11)

式中：ηt為列車牽引工況下傳動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)電效率。

2 節(jié)能最優(yōu)運(yùn)行工況及其切換

2.1 節(jié)能最優(yōu)運(yùn)行工況分析

根據(jù)龐特里亞金極大值原理，結(jié)合狀態(tài)方程( 3 )和方程( 4 )，構(gòu)造哈密頓函數(shù)[8]

(12)

式中伴隨變量λ1、λ2應(yīng)滿足

(13)

λ1(0)自由，λ1(S)自由。

(14)

λ2(0)自由，λ2(S)自由。M(x)為考慮約束條件( 9 )而引入的單調(diào)非減有界變差函數(shù)[9]，其滿足

(15)

dM(x)≥0

(16)

(17)

即在列車運(yùn)行全過(guò)程中，λ1恒為常數(shù)。

式(12)可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為

(18)

表1 伴隨變量不同取值對(duì)應(yīng)的列車最優(yōu)運(yùn)行工況

(19)

(20)

聯(lián)立式(19)和式(20)，可得

(21)

可簡(jiǎn)化為

(22)

下面分別對(duì)θ=1和θ=0兩種情形展開分析。

(1)當(dāng)θ=1且保持不變時(shí)，由表1可知μt∈[0，1]，μb=0，即列車保持部分牽引工況運(yùn)行，此時(shí)有

(23)

當(dāng)v(x)

(24)

(25)

當(dāng)v(x)=V(x)時(shí)，有dM(x)≥0，列車以線路限速恒速運(yùn)行。由ψ(v)的單調(diào)性可知，為使V(x)為方程(23)的解，需滿足vc≥V(x)。

因此，對(duì)于最優(yōu)運(yùn)行工況而言，列車部分牽引工況只有在速度保持階段才使用。當(dāng)vc≤V(x)時(shí)，列車使用部分牽引工況保持車速vc；當(dāng)vc>V(x)時(shí)，列車由于線路限速的限制無(wú)法達(dá)到速度vc，可使用部分牽引工況保持車速為V(x)。使用部分牽引工況的目的是實(shí)現(xiàn)列車恒速運(yùn)行，其與實(shí)際電動(dòng)車組的牽引恒速控制模式相對(duì)應(yīng)。此時(shí)列車牽引力視總的列車運(yùn)行阻力大小而定，因而控制量取值滿足μt∈[0，1]。

(2)當(dāng)θ=0且保持不變時(shí)，由表1可知μt=0，μb∈[0，1]，即列車保持部分制動(dòng)工況運(yùn)行，此時(shí)有

(26)

由λ1<0得

dM(x)>0

(27)

v(x)=V(x)

(28)

因此，對(duì)于最優(yōu)運(yùn)行工況而言，列車使用部分制動(dòng)工況只適用于為避免下坡道運(yùn)行時(shí)車速超過(guò)線路限速，通過(guò)施加一定的制動(dòng)力將車速保持在線路限速V(x)的情形，與實(shí)際電動(dòng)車組的制動(dòng)恒速控制模式相對(duì)應(yīng)。此時(shí)列車制動(dòng)力視實(shí)際受力情況而定，因而控制量取值滿足μb∈[0，1]。

2.2 節(jié)能最優(yōu)運(yùn)行工況的切換原則

在分析伴隨變量θ位于不同取值區(qū)間對(duì)應(yīng)的最優(yōu)運(yùn)行工況的基礎(chǔ)上，對(duì)θ的動(dòng)態(tài)特性展開分析，得到最優(yōu)運(yùn)行工況的切換原則。

(1)當(dāng)θ>1且vc

(29)

(2)當(dāng)0<θ<1，v(x)

(30)

3 節(jié)能最優(yōu)工況序列求解算法

列車的節(jié)能最優(yōu)工況序列由最優(yōu)運(yùn)行工況集合(即全力牽引、部分牽引/牽引恒速、惰行、部分制動(dòng)/制動(dòng)恒速、全力制動(dòng))中的工況組合連接而成。在列車運(yùn)行全過(guò)程中，λ1恒為常數(shù)，由式(25)的分析可知，vc一旦給定，即可求出λ1并將其代入微分方程(22)以求解伴隨變量隨列車運(yùn)行的數(shù)值變化，再根據(jù)表1確定列車的最優(yōu)控制工況及其切換時(shí)機(jī)。下面給出一種給定vc條件下節(jié)能最優(yōu)工況序列的求解過(guò)程。

3.1 劃分坡道區(qū)段

為保證整列車均不超過(guò)線路限速，即列車通過(guò)低限速區(qū)段以其尾部也通過(guò)該區(qū)段為標(biāo)志，考慮列車車長(zhǎng)的影響，將原線路限速轉(zhuǎn)換成列車車頭位于線路不同位置時(shí)對(duì)應(yīng)的線路限速V(x)。

由前述的“均質(zhì)棒”模型，計(jì)算列車在整個(gè)運(yùn)行區(qū)間的單位加算坡道附加阻力變化曲線g(x)，其中x為列車車頭位置。

列車在線路上行駛時(shí)，縱斷面和線路限速的組合構(gòu)成了復(fù)雜多變的運(yùn)行條件。但從列車節(jié)能操縱的角度，線路可看成是由若干個(gè)有著各自目標(biāo)運(yùn)行速度的坡道區(qū)段所組成。其中坡道區(qū)段的目標(biāo)運(yùn)行速度取值為vc與當(dāng)前坡道區(qū)段線路限速V(x)的較小值。當(dāng)列車在線路的某個(gè)坡道區(qū)段運(yùn)行時(shí)，根據(jù)其在目標(biāo)運(yùn)行速度的恒速保持能力，可將該坡道區(qū)段分為一般坡道區(qū)段、大上坡道區(qū)段和大下坡道區(qū)段三種坡道類型。設(shè)列車在該坡道區(qū)段的目標(biāo)運(yùn)行速度為vtarget，結(jié)合式( 1 )，上述三種坡道類型的具體定義為

(1)一般坡道區(qū)段是指列車使用牽引或惰行工況可以保持目標(biāo)運(yùn)行速度的坡道區(qū)段，滿足

μtft(vtarget)-w0(vtarget)-g(x)=0

μt∈[0，1]

(31)

(2)大上坡道區(qū)段是指列車在目標(biāo)運(yùn)行速度下使用全力牽引工況車速仍然降低的坡道區(qū)段，滿足

ft(vtarget)-w0(vtarget)-g(x)<0

(32)

(3)大下坡道區(qū)段是指列車在目標(biāo)運(yùn)行速度下使用惰行工況車速仍然上升的坡道區(qū)段，滿足

-w0(vtarget)-g(x)>0

(33)

根據(jù)此定義，將給定列車運(yùn)行區(qū)間劃分為若干個(gè)坡道區(qū)段，劃分時(shí)遵循每個(gè)坡道區(qū)段內(nèi)坡道類型唯一且只有一個(gè)線路限速值的原則，如圖1所示。

圖1 坡道區(qū)段的劃分

3.2 恒速段的定義

本文將恒速段定義為列車在應(yīng)用最優(yōu)控制工況條件下保持恒定車速的運(yùn)行區(qū)域。列車保持恒定車速的情形有兩種：

(1)列車使用牽引恒速控制工況保持車速為vc或線路限速V(x)，滿足θ=1；

(2)列車使用制動(dòng)恒速控制工況保持車速為線路限速V(x)，滿足θ=0。

因此，將恒速段分為牽引恒速段和制動(dòng)恒速段兩種。牽引恒速段是含單一目標(biāo)運(yùn)行速度的一般坡道；制動(dòng)恒速段是受到線路限速影響的大下坡道，其目標(biāo)運(yùn)行速度只有一個(gè)。當(dāng)vc的值改變時(shí)，線路上坡道的類型可能發(fā)生改變，進(jìn)而影響恒速段的劃分。列車運(yùn)行區(qū)間的起點(diǎn)和終點(diǎn)都定義為限速為0的單點(diǎn)恒速段。

3.3 恒速段連接

計(jì)算列車節(jié)能最優(yōu)速度模式曲線時(shí)，以恒速段為基準(zhǔn)，將非恒速段看作是恒速段的過(guò)渡連接，最終將包括區(qū)間起點(diǎn)與終點(diǎn)在內(nèi)的若干個(gè)恒速段連接起來(lái)，并達(dá)到準(zhǔn)點(diǎn)運(yùn)行的要求。對(duì)于存在最優(yōu)連接曲線的兩個(gè)恒速段而言，沿列車運(yùn)行方向，把與最優(yōu)連接曲線起點(diǎn)相連的恒速段稱為前恒速段，該點(diǎn)為恒速段的離開點(diǎn)，把與最優(yōu)連接曲線終點(diǎn)相連的恒速段稱為后恒速段，該點(diǎn)為恒速段的進(jìn)入點(diǎn)。顯然，恒速段的離開點(diǎn)應(yīng)在進(jìn)入點(diǎn)之后，或者與進(jìn)入點(diǎn)重合，否則視為無(wú)效連接，特別地，區(qū)間起點(diǎn)只有離開點(diǎn)，區(qū)間終點(diǎn)只有進(jìn)入點(diǎn)。

由極大值原理可知，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)不受約束時(shí)，伴隨變量連續(xù)。因此，當(dāng)最優(yōu)連接曲線未觸及線路限速時(shí)，恒速段的進(jìn)入點(diǎn)和離開點(diǎn)處都要滿足伴隨變量θ連續(xù)，用θleave表示前恒速段離開點(diǎn)處θ的取值，用θenter表示后恒速段進(jìn)入點(diǎn)處θ的取值。

(1)θ連續(xù)變化情況下的連接方法

假設(shè)待連接的兩恒速段均為牽引恒速段，由于列車在牽引恒速段的必要條件是θ=1，因此應(yīng)滿足θleave=1和θenter=1。

若兩恒速段之間僅存在單個(gè)大上坡道區(qū)段，根據(jù)最優(yōu)工況集和θ的變化規(guī)律，列車應(yīng)在大上坡道區(qū)段前的某一位置切換到全力牽引工況，使車速v上升，θ增大，進(jìn)入大上坡道區(qū)段后，車速v下降，此時(shí)要想θ再次減小到1，車速v必須下降到vc以下，離開大上坡道區(qū)段后，車速v重新上升，θ繼續(xù)減小，當(dāng)車速v上升至vc時(shí)，恰好滿足θ=1，列車切換到部分牽引工況保持恒速，如圖2所示。

圖2 內(nèi)含單個(gè)大上坡道區(qū)段的兩恒速段最優(yōu)連接示意圖

若兩恒速段之間僅存在單個(gè)大下坡道區(qū)段，列車應(yīng)在大下坡道區(qū)段前某一位置切換到惰行工況，使車速v下降，θ減小，進(jìn)入大下坡道區(qū)段后，車速v上升，此時(shí)要想θ再次增大到1，車速v必須上升到vc以上。離開大下坡道區(qū)段后，車速v重新下降，θ繼續(xù)增大，當(dāng)車速v下降至vc時(shí)，恰好有θ=1，列車切換到部分牽引工況保持恒速，如圖3所示。

圖3 內(nèi)含單個(gè)大下坡道區(qū)段的兩恒速段最優(yōu)連接示意圖

若兩恒速段之間存在由大上坡和大下坡組成的組合大坡道區(qū)段，應(yīng)根據(jù)第一個(gè)大坡道的類型判斷列車應(yīng)使用的工況。若為大上坡，則列車應(yīng)在大坡道區(qū)段之前切換到全力牽引工況；若為大下坡，則列車應(yīng)在大坡道區(qū)段之前切換到惰行工況。其后列車工況根據(jù)θ取值變化在表1選取。當(dāng)列車離開大坡道區(qū)段且車速與后恒速段的速度相等時(shí)，應(yīng)恰好有θ=1，列車切換到牽引恒速工況，如圖4所示。

圖4 內(nèi)含大上坡和大下坡的兩恒速段最優(yōu)連接示意圖

(2)θ發(fā)生跳變情況下的連接方法

由式(15)和式(16)可知，當(dāng)列車車速等于其所在位置的線路限速即v(x)=V(x)時(shí)，dM(x)≥0，且在列車車速進(jìn)入或離開線路限速約束時(shí)，伴隨變量θ可能發(fā)生由dM(x)引起的正跳變[9]。由于θ跳變只能在線路約束處發(fā)生，為便于計(jì)算，可結(jié)合坡道區(qū)段的劃分結(jié)果，預(yù)先確定θ可能發(fā)生跳變的位置，將其定義為若干個(gè)θ跳變點(diǎn)，從而將最優(yōu)速度曲線的連接分解為恒速段之間的連接、恒速段與θ跳變點(diǎn)的連接以及θ跳變點(diǎn)之間的連接3個(gè)子任務(wù)。一般來(lái)說(shuō)，θ跳變點(diǎn)出現(xiàn)在大上坡的起點(diǎn)限速處、大下坡的終點(diǎn)限速處、低速恒速段的起點(diǎn)和終點(diǎn)以及區(qū)間的起點(diǎn)和終點(diǎn)。對(duì)于區(qū)間起點(diǎn)和終點(diǎn)而言，對(duì)應(yīng)的邊界條件( 7 )等同于線路限速為0，因此將區(qū)間起點(diǎn)和終點(diǎn)視為θ跳變點(diǎn)，以納入到統(tǒng)一的連接理論框架進(jìn)行分析。

由于θ的跳變量必須為正，若θ跳變前的取值已知，即可確定θ跳變后可能的取值范圍，從而為搜索最優(yōu)工況切換點(diǎn)提供依據(jù)。設(shè)θ跳變前的值為θ-，跳變后的值為θ+，下面對(duì)θ發(fā)生跳變的不同情況分別進(jìn)行分析。

①θ-=1，θ+>1

當(dāng)列車從目標(biāo)運(yùn)行速度較低的恒速段使用全力牽引工況向目標(biāo)運(yùn)行速度較高的恒速段過(guò)渡時(shí)，θ跳變點(diǎn)為低速恒速段的末端，如圖5中①所示。

圖5 全力牽引連接示意圖

當(dāng)列車在目標(biāo)運(yùn)行速度與線路限速相等的恒速段運(yùn)行但前方出現(xiàn)大上坡，需要使用全力牽引工況過(guò)渡時(shí)，為保證不超限速，全力牽引工況應(yīng)在此大上坡的起點(diǎn)施加，該點(diǎn)為θ跳變點(diǎn)，如圖5中②所示。

②θ->1，θ+>θ->1

連接兩個(gè)恒速段時(shí)，當(dāng)在假設(shè)θ連續(xù)變化條件下得到的最優(yōu)連接曲線存在因使用全力牽引工況通過(guò)大上坡而導(dǎo)致列車速度超過(guò)線路限速的情況時(shí)，應(yīng)重新調(diào)整工況切換點(diǎn)位置，使列車車速在大上坡的起點(diǎn)處恰好等于線路限速，以免超速，此時(shí)θ跳變點(diǎn)為該大上坡的起點(diǎn)限速處，如圖6所示。

圖6 全力牽引連接示意圖

③θ-<1，θ+=1

制動(dòng)恒速段位于線路限速影響的大下坡道區(qū)段，存在使用部分制動(dòng)工況以防超速的可能性。部分制動(dòng)工況可從惰行工況切換得到，必要條件為θ連續(xù)下降到0，如圖7中①所示。若列車惰行運(yùn)行至制動(dòng)恒速段的終點(diǎn)時(shí)仍有θ>0，即未滿足使用部分制動(dòng)工況的條件，為避免列車超速行駛，求解工況切換點(diǎn)時(shí)應(yīng)使列車在大下坡道區(qū)段終點(diǎn)處的車速恰好等于線路限速，θ在該點(diǎn)發(fā)生正跳變，列車切換至其他工況(如部分牽引)運(yùn)行，如圖7中②所示。

圖7 大下坡道區(qū)段的惰行連接示意圖

④θ-<0，θ+=0

部分制動(dòng)工況可從全力制動(dòng)工況切換得到。當(dāng)列車使用全力制動(dòng)工況運(yùn)行至制動(dòng)恒速段的起點(diǎn)時(shí)，車速恰好等于該恒速段的目標(biāo)運(yùn)行速度，則θ在該點(diǎn)發(fā)生跳變，列車切換至部分制動(dòng)工況運(yùn)行，如圖8所示。

圖8 全力制動(dòng)連接示意圖

3.4 局部最優(yōu)連接搜索算法

求解最優(yōu)連接時(shí)，通過(guò)四階Runge-Kutta法聯(lián)合求解式( 3 )和式(22)，根據(jù)θ的取值切換列車工況，從而得到列車速度v和θ隨列車位置的變化。

對(duì)于恒速段之間的連接，由于θ是連續(xù)的，將列車工況切換點(diǎn)位置作為迭代變量，采用二分法搜索在一定誤差限下滿足恒速段進(jìn)入點(diǎn)和離開點(diǎn)最優(yōu)化條件的工況切換點(diǎn)。若能找到，則檢查連接曲線是否超過(guò)線路限速。如果沒(méi)有超過(guò)限速，則將其視為兩恒速段的最優(yōu)連接，反之應(yīng)插入θ跳變點(diǎn)，重新搜索最優(yōu)工況切換點(diǎn)。

對(duì)于涉及θ跳變點(diǎn)的連接，雖然θ的跳變量大小一般不能預(yù)先確定，但可將θ的跳變量為正作為驗(yàn)證連接曲線正確性的判斷標(biāo)準(zhǔn)。例如，連接恒速段與θ跳變點(diǎn)時(shí)，連接曲線與恒速段相交處θ的取值應(yīng)滿足相應(yīng)的最優(yōu)化條件，且θ在跳變點(diǎn)的跳變量為正值；連接兩個(gè)θ跳變點(diǎn)時(shí)，應(yīng)滿足θ在這兩個(gè)跳變點(diǎn)的跳變量均為正值，鑒于跳變點(diǎn)的速度和位置已經(jīng)確定，可將后一跳變點(diǎn)θ跳變前的取值作為迭代變量，以“反算”的方式計(jì)算連接曲線，采用二分法搜索最優(yōu)連接。若無(wú)法找到滿足θ跳變條件的解，則說(shuō)明給定的兩個(gè)連接對(duì)象之間不存在最優(yōu)連接。

3.5 準(zhǔn)點(diǎn)調(diào)整

由前述分析可知，vc的取值決定了坡道區(qū)段的劃分及其相互連接關(guān)系，從而決定列車的區(qū)間運(yùn)行時(shí)間。本文的列車節(jié)能操縱優(yōu)化模型中，vc是用來(lái)控制區(qū)間運(yùn)行時(shí)間的參數(shù)，而不是表征區(qū)間平均運(yùn)行速度的量。對(duì)于同一運(yùn)行區(qū)間而言，vc的值越大，計(jì)算所得的節(jié)能速度模式曲線對(duì)應(yīng)的區(qū)間運(yùn)行時(shí)間越短。隨著vc的不斷增大，區(qū)間運(yùn)行時(shí)間逐漸向最大能力運(yùn)行時(shí)間逼近，vc的取值可以超過(guò)區(qū)間最高線路限速甚至列車本身的構(gòu)造速度；通過(guò)合理調(diào)整vc的取值，可以實(shí)現(xiàn)區(qū)間準(zhǔn)點(diǎn)運(yùn)行。因此，在最終生成的速度模式曲線中，車速有可能無(wú)法達(dá)到vc對(duì)應(yīng)的速度。

3.6 區(qū)間最優(yōu)連接搜索算法

節(jié)能準(zhǔn)點(diǎn)尋優(yōu)算法的目標(biāo)是確定一條可將區(qū)間起點(diǎn)和終點(diǎn)有效連接起來(lái)的最優(yōu)運(yùn)行曲線，并滿足準(zhǔn)點(diǎn)性要求。具體步驟如下：

步驟1：計(jì)算列車在給定優(yōu)化區(qū)間最大能力運(yùn)行時(shí)的速度曲線及其對(duì)應(yīng)的最短運(yùn)行時(shí)間Tmin。若給定區(qū)間運(yùn)行時(shí)間Ttarget大于Tmin，則執(zhí)行步驟2，否則返回最大能力運(yùn)行工況序列，優(yōu)化終止。

步驟2：設(shè)定vc的值，并計(jì)算λ1的值，然后根據(jù)vc劃分坡道區(qū)段，定義恒速段和θ跳變點(diǎn)，為避免不必要的連接計(jì)算量，首先移除最大能力運(yùn)行速度曲線無(wú)法到達(dá)的恒速段和θ跳變點(diǎn)，然后按照位置排序得到由恒速段和θ跳變點(diǎn)構(gòu)成的有序集合U={Ci}，i=1，…，n，其中Ci表示第i個(gè)待連接元素，C1為區(qū)間起點(diǎn)，Cn為區(qū)間終點(diǎn)。為提高尋優(yōu)效率和便于編程實(shí)現(xiàn)，采用遞歸搜索算法。

步驟3：連接集合U的元素，并在連接成功后保存最優(yōu)工況序列。連接兩個(gè)元素時(shí)，用p表示前元素的序號(hào)，用q表示后元素的序號(hào)。

步驟3.1：若i

步驟3.3：若q=n，則找出在Cp之前且與Cp直接相連的元素Cm(1≤m

步驟4：根據(jù)步驟3中所生成的列車工況序列，對(duì)列車區(qū)間運(yùn)行進(jìn)行仿真，計(jì)算區(qū)間運(yùn)行時(shí)間T。

步驟5：若|T-Ttarget|<3 s，則認(rèn)為列車已滿足準(zhǔn)點(diǎn)性要求，優(yōu)化結(jié)束。否則，若T>Ttarget，則提高vc，重復(fù)步驟2；若T

4 仿真驗(yàn)證

以CRH2型4M4T動(dòng)車組為原型，建立仿真列車模型，相關(guān)參數(shù)見(jiàn)表2。為充分驗(yàn)證本文提出的列車節(jié)能速度曲線求解算法的正確性和有效性，并體現(xiàn)多種線路坡道和限速組合下的最優(yōu)工況切換原則，仿真運(yùn)行線路的縱斷面和限速數(shù)據(jù)是在符合動(dòng)車組運(yùn)用條件的前提下通過(guò)合理假設(shè)而得到的。對(duì)于坡道較平緩的實(shí)際線路，本文的尋優(yōu)算法同樣適用。仿真線路全長(zhǎng)60 km，限速數(shù)據(jù)見(jiàn)表3，縱斷面數(shù)據(jù)見(jiàn)表4。

表2 仿真用列車參數(shù)

表3 線路限速

表4 線路縱斷面

經(jīng)仿真，列車在給定區(qū)間的最大能力運(yùn)行時(shí)間為Tmin=21 min 20 s。當(dāng)給定大于該時(shí)間的區(qū)間運(yùn)行時(shí)間時(shí)，應(yīng)用所提出的區(qū)間最優(yōu)連接搜索算法，通過(guò)調(diào)整vc以達(dá)到準(zhǔn)點(diǎn)運(yùn)行要求。為對(duì)比不同區(qū)間運(yùn)行時(shí)間下(對(duì)應(yīng)不同的vc)的節(jié)能最優(yōu)運(yùn)行曲線，給定兩個(gè)區(qū)間運(yùn)行時(shí)間T1=23 min 53 s和T2=22 min 4 s分別進(jìn)行仿真，得到對(duì)應(yīng)的節(jié)能最優(yōu)運(yùn)行模式曲線如圖9和圖10所示，兩種情況下的vc取值和能耗數(shù)據(jù)見(jiàn)表5。

圖9 區(qū)間運(yùn)行時(shí)間為23 min 53 s對(duì)應(yīng)的節(jié)能速度模式曲線

圖10 區(qū)間運(yùn)行時(shí)間為22 min 4 s對(duì)應(yīng)的節(jié)能速度模式曲線

運(yùn)行方式運(yùn)行時(shí)間vc/(km·h-1)牽引能耗/(kW·h)時(shí)間裕量/%較最大能力運(yùn)行節(jié)能百分比/%最大能力運(yùn)行21min20s—882 30—節(jié)能運(yùn)行23min53s200481 811 9545 4節(jié)能運(yùn)行22min4s300627 53 4428 9

圖9中，滿足準(zhǔn)點(diǎn)要求時(shí)vc=200 km/h。列車使用全力牽引從目標(biāo)運(yùn)行速度較低的恒速段向目標(biāo)運(yùn)行速度較高的恒速段運(yùn)行(包括起動(dòng)階段)，如a～b段、d～e段、k～l段；列車使用部分牽引以vc或小于vc的線路限速值為目標(biāo)速度恒速運(yùn)行，如c～d段、f～g段、j～k段、l～m段、p～q段、r～s段；列車在恒速運(yùn)行過(guò)程中前方遇到單個(gè)大坡道或由大上坡和大下坡構(gòu)成的組合坡道時(shí)，使用全力牽引和惰行進(jìn)行恒速段連接，當(dāng)連接受到線路限速影響時(shí)，使用全力牽引g～h段和i～j段，以及惰行h～i段；當(dāng)連接不受線路限速影響時(shí)，使用全力牽引m～n段和o～p段，以及惰行n～o段；當(dāng)列車調(diào)速過(guò)程中遇到大下坡時(shí)，為避免超速，若尚未達(dá)到使用部分制動(dòng)的條件，列車將使用惰行直至大下坡的終點(diǎn)，如b～c段、e～f段、h～i段、q～r段；當(dāng)列車從目標(biāo)運(yùn)行速度較高的恒速段向目標(biāo)運(yùn)行速度較低的恒速段運(yùn)行(包括進(jìn)站停車)時(shí)，若尚未達(dá)到使用全力制動(dòng)的條件，則使用惰行進(jìn)行連接，如q～r段，若達(dá)到使用全力制動(dòng)的條件，則使用惰行(如s～t段)和全力制動(dòng)(如t～u段)進(jìn)行連接。

圖10中，由于設(shè)定區(qū)間運(yùn)行時(shí)間的縮短，滿足準(zhǔn)點(diǎn)要求時(shí)vc=300 km/h，vc大于區(qū)間所有線路限速，此時(shí)列車牽引恒速運(yùn)行均以其所處位置的線路限速為目標(biāo)速度，如d～e段、g～h段、k～l段、o～p段、s～t段；當(dāng)列車從目標(biāo)運(yùn)行速度較低的恒速段向目標(biāo)運(yùn)行速度較高的恒速段運(yùn)行且遇到大下坡時(shí)，與圖9相比，vc的提高使全力牽引工況(如a～b段、e～f段)增加，惰行工況(如b～c段、f～g段)減少，在大下坡道區(qū)段出現(xiàn)了部分制動(dòng)工況(c～d段)；由于vc的提高，圖9中恒速段l～m段消失，又由于受到線路限速的影響，使用全力牽引l～m段和n～o段，以及使用惰行m～n段；當(dāng)列車從目標(biāo)運(yùn)行速度為220 km/h的恒速段向目標(biāo)運(yùn)行速度為150 km/h的恒速段調(diào)速時(shí)，因vc的提高而達(dá)到了使用全力制動(dòng)的條件，出現(xiàn)了全力制動(dòng)工況(q～r段)和在整個(gè)大下坡道區(qū)段使用的部分制動(dòng)工況(r～s段)；在列車進(jìn)站停車的過(guò)程中，vc的提高使惰行工況減少(圖9的s～t段)，全力制動(dòng)工況增加(圖9的t～u段)，并且出現(xiàn)了全力牽引工況(圖10的t～u段)。

列車最大能力運(yùn)行時(shí)的工況序列可通過(guò)不斷提高vc的取值來(lái)逼近得到，本例中當(dāng)vc>1 000 km/h時(shí)，區(qū)間運(yùn)行時(shí)間與最大能力運(yùn)行時(shí)間相差小于1 s，可近似為最大能力運(yùn)行。從表5的仿真結(jié)果數(shù)據(jù)來(lái)看，與列車最大能力運(yùn)行相比較，在滿足準(zhǔn)點(diǎn)的前提下，當(dāng)設(shè)定11.95%的運(yùn)行時(shí)間裕量時(shí)，最多可節(jié)省45.4%的牽引能耗；當(dāng)設(shè)定3.44%的時(shí)間裕量時(shí)，最多可節(jié)省28.9%的牽引能耗。因此，通過(guò)合理設(shè)置列車區(qū)間時(shí)分裕量，可以取得可觀的節(jié)能效益。

仿真在主頻為1.9 GHz、內(nèi)存為2 G的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行。當(dāng)給定區(qū)間運(yùn)行時(shí)間后，求解滿足準(zhǔn)點(diǎn)要求的節(jié)能速度模式曲線耗時(shí)約5 s，說(shuō)明所提出的算法能滿足電動(dòng)車組在線計(jì)算節(jié)能最優(yōu)模式曲線的要求。

5 結(jié)束語(yǔ)

(1)以列車牽引能耗最小為優(yōu)化目標(biāo)，考慮線路限速，基于極大值原理的最優(yōu)化條件，得到最優(yōu)運(yùn)行工況集，以及伴隨變量連續(xù)和發(fā)生跳變條件下最優(yōu)運(yùn)行工況的切換原則，并對(duì)多種限速和坡道組合下的節(jié)能優(yōu)化操縱進(jìn)行了分析。

(2)在理論分析的基礎(chǔ)上，提出一種求解列車最優(yōu)工況序列的數(shù)值算法，并通過(guò)仿真驗(yàn)證了該算法的正確性和有效性。從仿真運(yùn)行結(jié)果來(lái)看，該算法耗時(shí)較短，克服了以往尋優(yōu)算法因耗時(shí)較長(zhǎng)只能進(jìn)行離線優(yōu)化的缺點(diǎn)。同時(shí)，最大能力運(yùn)行方式可看作是定時(shí)節(jié)能優(yōu)化操縱的一種特殊情況，可通過(guò)提高vc的取值來(lái)逼近。

(3)本文探討了區(qū)間運(yùn)行定時(shí)約束下列車節(jié)能最優(yōu)模式曲線的求解方法，對(duì)列車自動(dòng)駕駛或輔助駕駛系統(tǒng)的模式曲線優(yōu)化和在線調(diào)整具有一定的借鑒意義。列車在實(shí)際運(yùn)行過(guò)程中會(huì)受到過(guò)電分相、信號(hào)變化等因素的影響，對(duì)于如何求解此類因素約束下的節(jié)能優(yōu)化操縱問(wèn)題，需要進(jìn)一步的研究。

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