在思考中學(xué)會(huì)思考

江蘇 南二七

我們經(jīng)常會(huì)困惑，為什么老師在解決問題時(shí)往往如行云流水一樣自然，到了自己就變得磕磕絆絆、步履維艱；為什么身邊的同學(xué)在解題時(shí)總會(huì)有一些奇思妙想、有如神助，而我們卻總感力不從心.要說(shuō)我們不會(huì)思考吧，數(shù)學(xué)中常用的思考方法我們也能頭頭是道說(shuō)上若干，比如觀察法、歸納法、逆向法、演繹法等等，可是一旦用它們“上陣殺敵”，卻又覺得“無(wú)用武之地”.

實(shí)際上這是一種假象，一種心理作用.數(shù)學(xué)的思考確實(shí)有很多規(guī)律可循，基本方法也有很多，但是我們?cè)撛鯓幼霾拍軤孔?shù)學(xué)思考的“鼻子”，讓這些規(guī)律、方法為己所用呢？今天就讓我們一起在問題的思考中學(xué)習(xí)如何思考吧.

一、打鐵先要自身硬

其實(shí)如何解題，如何思考，這項(xiàng)研究由來(lái)已久.目前最受推崇的做法是來(lái)自美國(guó)的數(shù)學(xué)家波利亞，其經(jīng)典的做法是當(dāng)我們拿到一個(gè)問題，常問自己以下幾個(gè)問題：

“已知是什么？”

“要證（求）什么？”

“見過(guò)類似的問題嗎？”

“可否將問題換一種說(shuō)法？”

……

我們通常使用這些問題來(lái)啟發(fā)自己尋找到解題的思路.可能有些同學(xué)也曾做過(guò)類似的嘗試，不過(guò)效果卻因人而異，因時(shí)而異.有時(shí)這樣做成功了，有時(shí)卻一籌莫展，有時(shí)別人成功了，能看到我們看不到的條件，想到我們想不到的方法.這時(shí)好時(shí)壞的，問題的關(guān)鍵在哪里呢？

實(shí)際上，要想取得好的效果，我們就必須在平時(shí)的練習(xí)中做好積累工作，盡可能地將問題歸類，并將解決問題的方法用圖式進(jìn)行整理記憶，形成固定的基本模式.這就是我所指的“硬功夫”.當(dāng)我們遇到一個(gè)問題時(shí)，如果我們已經(jīng)有了解決問題的這個(gè)圖式，就會(huì)有很大的成功率，那么這是一個(gè)怎樣的圖式？又怎樣才能形成這樣的圖式？我們來(lái)看以下做法.

例1求函數(shù)f（x）=x2-2ax-1在區(qū)間[1，3]上的最小值.

此題對(duì)同學(xué)們來(lái)說(shuō)不算太難，這是因?yàn)槲覀円呀?jīng)在頭腦中形成了一個(gè)圖式，即依據(jù)對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，可分三種情況進(jìn)行討論求解.

解二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸x=a.

（1）當(dāng)a ≤1時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以f（x）min=f（1）=-2a；

（2）當(dāng)a ≥3時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上為單調(diào)遞減函數(shù)，所以f（x）min=f（3）=8-6a；

（3）當(dāng)1＜a＜3時(shí)，函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上先減再增，所以f（x）min=f（a）=-1-a2.

變式1求函數(shù)f（x）=x2-2x-1在區(qū)間[a，3a-2]上的最大值.

如果再用上述方法解決這一問題就會(huì)遇到大麻煩了.事實(shí)上，畫出圖形，發(fā)現(xiàn)圖象開口向上，則區(qū)間端點(diǎn)誰(shuí)離對(duì)稱軸遠(yuǎn)誰(shuí)的函數(shù)值就大，因此要根據(jù)區(qū)間的中點(diǎn)分為兩種情況討論.

解二次函數(shù)開口向上，對(duì)稱軸x=1.

可見我們一開始認(rèn)識(shí)的圖式并不是計(jì)算二次函數(shù)最值的圖式，而只是計(jì)算開口向上的二次函數(shù)的最小值的一個(gè)圖式.而且，上述問題還只是開口向上的一類，開口向下的二次函數(shù)又怎么辦？這就需要我們將此問題歸類，通過(guò)練習(xí)不斷積累，最后形成如下的圖式，從而利用這一圖式來(lái)解決二次函數(shù)的最值問題.

變式2已知函數(shù)f（x）=ax2+（2a-1）x+1在區(qū)間上的最大值為1，求實(shí)數(shù)a的值.

若按常規(guī)想法進(jìn)行分類討論，太麻煩了，比如.

①a=0嗎？

②a≠0時(shí)函數(shù)圖象的開口方向呢？

③對(duì)稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系如何？

④當(dāng)對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)時(shí)，對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的距離不明，如此就要分很多種情況進(jìn)行討論.

實(shí)際上，按照我們形成的圖式所指，其最值只會(huì)在端點(diǎn)和對(duì)稱軸處取得，因此有如下解法.

解當(dāng)a≠0時(shí)，因?yàn)楹瘮?shù)的最大值只會(huì)在處取得，則

a=0時(shí)，顯然不符合題意.

有了這種圖式在解題思考中作為思考的平臺(tái)，就好像站在巨人的肩膀上，自然比別人看得遠(yuǎn)，想得深.如果我們平時(shí)的學(xué)習(xí)中能夠形成若干個(gè)這樣的圖式，相信一定會(huì)對(duì)解題起到巨大的作用，而這一工作從高一就開始做最好，長(zhǎng)此以往，到高三之后，同學(xué)們一定會(huì)成為解題的高手.

二、廣交朋友千里行

俗話說(shuō)，“一個(gè)籬笆三個(gè)樁，一個(gè)好漢三個(gè)幫”.同學(xué)們，不要以為我們?cè)诮忸}時(shí)一直是孤軍奮戰(zhàn)的，實(shí)際上我們有很多好朋友在等待著提供幫助.在此我要給大家隆重介紹兩個(gè)重要的幫助思考的朋友，它們是“圖象”和“特殊化”.當(dāng)我們?cè)诮忸}遇到困難時(shí)，一定不要忘記呼喚它們來(lái)協(xié)助我們戰(zhàn)勝困難.除了自身強(qiáng)大，一身“硬功夫”，再有個(gè)好人緣，解題想不順利都難.

變式3若不等式x2-2ax+1≤0在區(qū)間[1，3]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

一般的，可以設(shè)函數(shù)f（x）=x2-2ax+1，所以不等式x2-2ax+1≤0在區(qū)間[1，3]上恒成立即函數(shù)f（x）在此區(qū)間的最大值f（x）max≤0，從而問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）的最大值.

但是，更為簡(jiǎn)單的做法是通過(guò)分離變量再利用圖象求解.

解不等式x2-2ax+1≤0等價(jià)于x2+1≤2ax，即又可以作出函數(shù)在區(qū)間[1，3]上的圖象，可知g（x）max=g（3）=即

變式4若不等式x2-2ax+2＞a在區(qū)間[-1，+∞）上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解法1即x2-2ax+2-a＞0，考查函數(shù)f（x）=x2-2ax+2-a的圖象，如圖1、圖2兩種情況，

圖1

圖2

不等式成立的條件是：

①Δ＜0時(shí)滿足，解得a∈（-2，1）；

綜上，a∈（-3，1）.

解法2由x2-2ax+2-a＞0可得x2+2＞2ax+a=a（2x+1），在坐標(biāo)系內(nèi)分別作出兩個(gè)函數(shù)y1=x2+2與y2=a（2x+1）的圖象，而滿足題意的直線l位于直線l1，l2之間，而直線l1，l2對(duì)應(yīng)的a值分別為1，-3，如圖3.可得a∈（-3，1）.

圖3

可見利用數(shù)形結(jié)合可以讓解題變得直觀形象，多了幾分“靈氣”.因?yàn)檫\(yùn)用數(shù)形結(jié)合解題往往能直接揭示問題的本質(zhì)，正如我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生所說(shuō)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微.”

相比數(shù)形結(jié)合，特殊化也是我們解題時(shí)的一盞阿拉丁神燈，有著巨大的作用.數(shù)學(xué)大師希爾伯特曾說(shuō)過(guò)，“在討論數(shù)學(xué)問題時(shí)，我相信特殊化比一般化起著更為重要的作用，這種方法是克服數(shù)學(xué)困難的最重要的杠桿之一.”

例2若函數(shù)f（x）的圖象可由函數(shù)y=lg（x+1）的圖象繞著原點(diǎn)O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則函數(shù)f（x）的解析式為 （ ）

A.10-x-1 B.10x-1

解從函數(shù)y=lg（x+1）的圖象上任取一點(diǎn)A 如（9，1），將OA 繞著原點(diǎn)O 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到點(diǎn)B（-1，9），分別代入各解析式，可得僅A合適，故選A.

同學(xué)們，通過(guò)以上的學(xué)習(xí)和思考，相信你對(duì)數(shù)學(xué)有了更為透徹的認(rèn)識(shí)，也有了更系統(tǒng)、科學(xué)的方法，那么讓我們從現(xiàn)在開始，不斷嘗試、不斷積累，爭(zhēng)做一個(gè)敢思考、會(huì)思考、樂思考的達(dá)人吧！