牽牛要牽牛鼻子

上海 常文武

大家平日里解函數(shù)方程的題，常感無從下手.要想撥開迷霧，必須認(rèn)清關(guān)鍵條件！那就是如標(biāo)題所言，“牽牛要牽牛鼻子”.

來看一道題目：

顯然第二個條件內(nèi)涵更豐富.它雖然只是一個等式，但是可以一當(dāng)十.因為只要取一些特殊的x，y 值代入它，就能得到函數(shù)在一些點上的特殊值.

可是取什么值呢？

一定要取到與第一個條件有關(guān)的值.讓我們試試x=-1，y=0.效果不錯啊，我們得到了

你會問，這一對特殊值怎么想到的?。?/p>

無非是聯(lián)系到第一個已知條件以及在第二個條件中，等式右邊取y=0時會歸于統(tǒng)一.

當(dāng)然也可取其他途徑.比如你也可能這么算：令x=y=0，得到4f（0）2=2f（0）.約去一個f（0）就得到同一個答案不過可得當(dāng)心，萬一約去的是個0呢？所以穩(wěn)妥起見還是采用前一個方法.

現(xiàn)在讓我們來擴(kuò)大戰(zhàn)果吧.

如果只令x=0，會怎樣呢？這次我們得到f（y）=f（-y）.哈哈，原來這是個偶函數(shù)啊！則有f（1）=f（-1）=

仍然會有人問，為何想到令x=0呢？

其實這個想法也是很自然的，因為f（0）經(jīng)過探索已知其值了嘛！

有了以上的摸索成果，我們可以向目標(biāo)發(fā)起猛攻了！

如何能找到f（-2019）的值呢？

首先利用奇偶性，f（-2019）=f（2019）.接下來大概遞推可以奏效吧？取y=-1，得到f（x）=f（x+1）+f（x-1）.這可以轉(zhuǎn)化為一個遞推式：f（x）-f（x-1）=f（x+1）.也就是說，前兩項的差等于第三項.這樣的話，我們總算看到了希望.滿足以上遞推式的f（x）在整格點上是個周期的數(shù)列：a，b，b-a，-a，-b，a-b，a，b，b-a，-a，-b，a-b，a，…，它的周期為6.所求的f（2019）=f（3）=-f（0）=

勤于思考的你又會問，怎么想到用遞推來解題呢？

其實第二個條件中x+y和x-y都是在x的基礎(chǔ)上平移了y.提示我們將y 取為-1來得出一個遞推式.

問題解完了，可是我們?nèi)匀徊恢篮瘮?shù)f（x）的真面目.好奇的你也許還會問，這個f（x）可有解析式？

我們想到了數(shù)值模擬.請看上圖，把一系列的f（n）在Excel中畫出直方圖，發(fā)現(xiàn)很像是余弦函數(shù)的圖象.于是令f（x）=Acosωx，將f（0）=，周期T=6代入得：f（x）=

驗證一下題設(shè)的兩個條件，第一個顯然對了.第二個條件：左邊=右邊.哈哈哈！我們貌似猜出了這個函數(shù)的廬山真面目！不過是否還有其他表現(xiàn)形式呢？我們還是不敢打包票，留給讀者繼續(xù)探索吧！

綜上所述，我們發(fā)現(xiàn)嘗試對問題進(jìn)行求解的過程充滿了艱辛.運氣好的時候，我們可以勢如破竹地前進(jìn).運氣不好的時候，也就只能屢敗屢試下去了.只有當(dāng)你順利牽到了題目的“牛鼻子”，題目才能迎刃而解.