半平面上解析的Laplace-Stieltjes變換的對數(shù)精確級

王金蓮，陸萬春

(1.江西師范大學(xué)學(xué)報雜志社，江西 南昌 330027；2.萍鄉(xiāng)學(xué)院數(shù)學(xué)系，江西 萍鄉(xiāng) 337055)

半平面上解析的Laplace-Stieltjes變換的對數(shù)精確級

王金蓮1，陸萬春2

(1.江西師范大學(xué)學(xué)報雜志社，江西 南昌 330027；2.萍鄉(xiāng)學(xué)院數(shù)學(xué)系，江西 萍鄉(xiāng) 337055)

利用對數(shù)精確級的定義，研究了右半平面上解析的Laplace-Stieltjes變換的對數(shù)精確級，得到對數(shù)精確級與最大模、最大項及中心指標的關(guān)系，推廣了Dirichlet級數(shù)的相關(guān)結(jié)果.

對數(shù)精確級；Laplace-Stieltjes變換；最大項；中心指標；增長性

1 預(yù)備知識

考慮Laplace-Stieltjes變換所定義的函數(shù)

(1)

其中α(x)是對于x≥0有定義的實數(shù)或復(fù)數(shù)值函數(shù)，而且它在任何閉區(qū)間[0，X](0

作序列{λn}：

0=λ0<λ1<λ2<…<λn↑+∞，

(2)

并且滿足

(3)

記：

(4)

時，其定義的函數(shù)F(s)在右半平面上解析，定義其增長級為[2]

當ρ=∞和ρ=0時，分別稱變換(1)為無窮級和零級Laplace-Stieltjes變換.文獻[3-5]利用型函數(shù)研究了無窮級Laplace-Stieltjes變換的增長性.文獻[6-8]研究了零級Laplace-Stieltjes變換的增長性.為了進一步研究零級Laplace-Stieltjes變換的增長性，文獻[2]定義了指數(shù)級Je(F)和下指數(shù)級Le(F)，其中

文獻[9]定義了對數(shù)級ρ*及下對數(shù)級λ*：對于F(s)∈D0，

(5)

對于F(s)∈D0，文獻[9]中還介紹了如下的對數(shù)型T*及對數(shù)下型t*：

定義1 稱定義在(0，∞)內(nèi)的實值函數(shù)ρ*(σ)為對數(shù)精確級，是指其滿足條件：

(ⅰ) 對所有滿足0<σ<σ0<∞的σ，ρ*(σ)非負、連續(xù)、分段可微；

對于具有對數(shù)精確級ρ*(σ)的函數(shù)F(s)∈D0，定義其關(guān)于ρ*(σ)的對數(shù)型T*及下對數(shù)型t*為：

定義2 若0

在文獻[10]中，作者把對數(shù)精確級和對數(shù)精確級的型推廣到更加一般的情況.本文利用文獻[11-12]的思想，通過對數(shù)精確級的定義，進一步得到對數(shù)精確級與最大項及中心指標的關(guān)系.設(shè)F(s)∈D0的對數(shù)精確級為ρ*(σ)，記：

(6)

(7)

(8)

2 主要結(jié)果及證明

引理1 設(shè)ρ*(σ)為對數(shù)精確級，則對于ξ<ρ*+1及0<σ<β<σ0，有

(9)

證明

由定義1，有

(10)

由(10)式，可得(9)式成立.

定理1 設(shè)F(s)∈D0具有對數(shù)級ρ*，下對數(shù)級λ*(1<λ*≤ρ*<+∞)及對數(shù)精確級ρ*(σ)→ρ*(σ→0)，則有

b≤λ*≤ρ*≤B，

(11)

(12)

證明 由(8)式，對于任意滿足0<ε

對上述不等式兩邊從σ0到σ積分，則有

(b-ε)loglog(1/σ)+O(1)

由(5)式，對充分小的σ，上述不等式兩邊同除以loglog(1/σ)，并令σ→0，則(11)式成立.

根據(jù)(6)式，對任意滿足0<ε

(13)

由引理2，有

再由引理1，令ξ=1，則

對所有滿足0<σ<σ0<∞的σ，

取極限得

(14)

利用(13)式右邊的不等式，類似于(14)式的證明，可得

(15)

由(14)及(15)式易得(12)式成立.

推論 若L=l，則B=b=ρ*=λ*，即F(s)具有正規(guī)對數(shù)增長級.

定理2.2 設(shè)F(s)∈D0具有對數(shù)級ρ*(1<ρ*<∞)、關(guān)于對數(shù)精確級ρ*(σ)的對數(shù)型T*及下對數(shù)型t*，則對1

證明 由(6)式，對任意滿足0<ε

(16)

而且對1

(17)

因此，根據(jù)引理2，(16)及(17)式，有

(18)

用類似的方法，利用L的定義，容易得到

(19)

由(18)及(19)式可得定理2結(jié)論.

特別地，由于(18) 及(19)式對于滿足1

定理3 設(shè)F(s)∈D0具有對數(shù)級ρ*(1<ρ*<∞)，對數(shù)型T*及對數(shù)下型t*，并且對數(shù)精確級ρ*(σ)→ρ*(σ→0)，則

l≤ρ*t*≤ρ*T*≤L.

(20)

推論 如果

則F(s)是完全正規(guī)增長的，并且ρ*(σ)與T*=L/ρ*.

證明 由上述已知條件與(6)式，l=L=ρ*T*.再由(20)式得T*=t*=L/ρ*，故F(s)是完全正規(guī)增長的.

[1] 余家榮.Laplace-Stieltjes變換所定義的整函數(shù)之Borel線[J].數(shù)學(xué)學(xué)報，1963，13(3)：471-484.

[2] KONG YINGYING，HONG YONG.On the growth of laplace-stieltjes transforms and the singular direction of complex analysis[M].Guangzhou： Press in Jinan University，2010.

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[4] 孔蔭瑩.平面解析的無窮級Laplace-Stieltjes變換[J].數(shù)學(xué)學(xué)報，2013，56(1)： 53-60.

[5] KONG YINGYING，SUN DAOCHUN.The analytic function in the right ha1f plane defined by Laplace-Stieltjes transforms[J].Journal of Mathematical Research & Exposition，2008，28(2)： 353-358.

[6] 陸萬春，易才鳳，賀妤函.關(guān)于全平面上解析的Laplace-Stieltjes變換的零級[J].數(shù)學(xué)的實踐與認識，2013，46(6)： 222-227.

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[9] 徐洪焱，易才鳳，胡偉.Laplace-Stieltjes變換所表示的解析函數(shù)的對數(shù)級與對數(shù)精確級[J].數(shù)學(xué)物理學(xué)報，2013，33A(2)： 366-376.

[10] LU WANCHUN.On the proximate type of an analytic function represented by Laplace-Stieltjes transformation[J].Journal of Mathematical Research with Applications，2015，35(1)： 97-102.

[11] 涂金，黃海霞，徐洪焱，等.單位圓內(nèi)亞純函數(shù)與解析函數(shù)的級與型[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2013，37(5)：449-452.

[12] 陸萬春，易才鳳.在矩控制下隨機Dirichlet級數(shù)的(p，q)(R)型[J].江西師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)，2012，36(5)：482-486.

(責任編輯：李亞軍)

On the logarithmic proximate order of analytic functions represented by Laplace-Stieltjes transformation

WANG Jin-lian1，LU Wan-chun2

(1.Journal of Jiangxi Normal University，Nanchang 330027，China； 2.Department of Mathematics，Pingxiang University，Pingxiang 337055，China)

By using the definition of logarithmic proximate order，the logarithmic proximate order of functions represented by Laplace-Stieltjes transformation，which are analytic in the half plane，is studied.And the relations which depict how the growth of maximum term is closely connected with that of central index and logarithmic proximate order are derived.Some results of Dirichlet series are improved.

logarithmic proximate order；Laplace-Stieltjes transformation；maximum term；central index；growth

1000-1832(2015)04-0007-04

10.16163/j.cnki.22-1123/n.2015.04.002

2015-04-22

國家自然科學(xué)基金資助項目(11171170)；江西省教育廳科技基金資助項目(GJJ13788).

王金蓮(1963—)，女，編審，主要從事復(fù)分析研究.

O 174.52 [學(xué)科代碼] 110·41

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