零級(jí)隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)性

張海俠

(許昌學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南許昌461000)

零級(jí)隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)性

張海俠

(許昌學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,河南許昌461000)

研究了當(dāng)隨機(jī)變量滿(mǎn)足一定條件時(shí),全平面上零級(jí)隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)性,得到了關(guān)于它們?cè)鲩L(zhǎng)性的兩個(gè)定理.

Dirichlet級(jí)數(shù)；零級(jí)；增長(zhǎng)性

1 引言和引理

關(guān)于Dirichlet級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)性,已取得許多研究成果.對(duì)于零級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)和零級(jí)隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù),由于其自身的特殊性,仍有許多問(wèn)題沒(méi)有解決.本文在較弱條件下,得到了全平面上零級(jí)隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)性的兩個(gè)定理.考慮隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)

考慮相對(duì)應(yīng)的Dirichlet級(jí)數(shù)

若級(jí)數(shù)(3)滿(mǎn)足條件(2),則和函數(shù)f(s)表示一個(gè)正函數(shù).記M(σ,f),m(σ,f)分別為f(s)的最大模與最大項(xiàng).

如果,則稱(chēng)級(jí)數(shù)f(s)為零級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù).

引理1［2］設(shè)M(x)為正值連續(xù)函數(shù)且趨于∞,滿(mǎn)足

則存在連續(xù)可微函數(shù)U(―x),滿(mǎn)足如下條件：

(ii)U(―x)單調(diào)趨于∞,且log U(―x)/log(―x)趨于∞.

(iii)對(duì)任意的t＞0,U(―(t+1)x)≤((t+1)k+O(1))U(―x).

利用文獻(xiàn)［3］中的證明方法類(lèi)似可證如下引理.

引理2 若級(jí)數(shù)(3)滿(mǎn)足條件(2),(4)和

引理3 若級(jí)數(shù)(3)滿(mǎn)足引理2的條件,則

引理4［4］若概率空間(Ω,F,P)上的一列復(fù)隨機(jī)變量滿(mǎn)足條件：存在常數(shù)α＞0,β＞0,使得,那么對(duì)幾乎所有的ω∈Ω,存在N(ω),當(dāng)n＞N(ω)時(shí),有

2 定理及其證明

定理1若零級(jí)隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)(1)滿(mǎn)足條件(2),(5)和引理4的條件,并且

因此

其中C為正常數(shù).于是就有

于是定理得證.

定理2 若零級(jí)隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)(1)滿(mǎn)足定理1的條件,則

證明 首先證明若零級(jí)隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)(1)滿(mǎn)足條件(5)和引理4中的條件,則?ε＞0,幾乎必然對(duì)所有的,存在正常數(shù)),使得

于是

所以就有

由此可見(jiàn),定理2成立.

［1］劉薇.零級(jí)隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)增長(zhǎng)性［J］.紡織高?；A(chǔ)科學(xué)學(xué)報(bào),2006,19(2)：122-125

［2］高宗升.零級(jí)狹里克萊級(jí)數(shù)的增長(zhǎng)性［J］.武漢大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版,1994(2)：1-8.

［3］高宗升.Dirichlet級(jí)數(shù)表示的整函數(shù)的增長(zhǎng)性［J］.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào),1999.42(4)：741-748.

［4］余家榮,丁曉慶,田范基.Dirichlet級(jí)數(shù)與隨機(jī)Dirichlet級(jí)數(shù)的值分布［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社,2004.

［5］馬昌秀,楊錦華,田宏根.零級(jí)Dirichlet級(jí)數(shù)在全平面上的增長(zhǎng)性［J］.新疆師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2007,26(1)13-16.

(編輯:郝秀清)

The growth of random dirichlet series of zero order

ZHANG Hai-xia
(School of Mathematics and Statistics,Xuchang University,Xuchang 461000,China)

When random variables fitfor some conditions,two theorems which concern about the growth of this random Dirichlet series of zero order in the plane are obtained.

Dirichlet series；zero order；growth

1672―6197(2013)01―0013―04

O174.52

A

2012- 10- 15

河南省教育廳自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(2011A110020)；河南省骨干教師資助項(xiàng)目(2011GGJS-182)；河南省社科聯(lián)、河南省經(jīng)團(tuán)聯(lián)調(diào)研資助項(xiàng)目(SKL-2012-2334)；許昌學(xué)院校級(jí)科研資助項(xiàng)目(2013096)

張海俠,女,zhx_1010@126.com