從舊題看新題

☉廣東省深圳市南頭中學(xué)方亞斌

從舊題看新題

☉廣東省深圳市南頭中學(xué)方亞斌

高考試題，是高考命題組成員集體智慧的結(jié)晶·一些經(jīng)典的數(shù)學(xué)高考題因魅力無窮而備受歷年各地高考題命題者的青睞，他們以這些熠熠生輝的高考題為原型，經(jīng)過加工改造，演繹拓展，移植深化，又衍生出背景深刻，內(nèi)涵豐富，風(fēng)格獨(dú)特的新高考題，這些淵源深刻的命題同時(shí)載入數(shù)學(xué)高考題史冊，將高考題庫點(diǎn)綴得璀璨無比·研究這些有著千絲萬縷的關(guān)系的高考題的發(fā)展和變化軌跡，對我們以后的高考命題和備考具有雙重意義·筆者跟蹤了近30年的高考數(shù)學(xué)試題，通過探“源”覓“流”，從老題的角度品味新題，現(xiàn)將自己的一些理解與感悟綜述如下·

一、同題借用

不知是偶然的巧合，還是命題者有意借用，相隔較長的年份，偶爾也會(huì)出現(xiàn)完全一樣的高考題·

例1（2004年安徽春季卷第3題）已知F1、F2為橢圓焦點(diǎn)，M為橢圓上一點(diǎn)，MF1垂直于x軸，∠F1MF2=60°，則橢圓的離心率為（）·

改變一下四個(gè)選項(xiàng)的位置，可編擬：

此外，2013年遼寧卷理第22題是借用1978年全國卷第3題，2013年遼寧卷理第18題第一問是借用1986年全國卷第3題·

二、模仿改造

將試題中的數(shù)量關(guān)系或結(jié)構(gòu)形式進(jìn)行一些簡單的模仿與改造生成新題·

1·改變數(shù)量

例2（1990年全國卷理（文）第25（26）題）設(shè)橢圓的中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，長軸在x軸上，離心橢圓的方程，并求橢圓上到點(diǎn)P的距離等這個(gè)橢圓上的點(diǎn)的最遠(yuǎn)距離

且橢圓C上的點(diǎn)到Q（0，2）的距離的最大值為3，求橢圓C的方程·

2·遷移結(jié)論

將某些高考題中具有不變性（定線、定長、定點(diǎn)、定值）的結(jié)論遷移到另外的情境中產(chǎn)生新題·

例3（2010年全國I卷理第21題）已知拋物線C：y2= 4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)K（-1，0）的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D，證明：點(diǎn)F在直線BD上·

本題的一般情形是：已知拋物線y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過定點(diǎn)K（m，0）（m＜0）的直線l與C相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D，則直線BD過定點(diǎn)（-m，0）［1］·

將此結(jié)論遷移到另外的背景中，可編擬：

（2013年陜西卷理第20題）已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)A（4，0），且在y軸上截得的弦MN的長為8·

（Ⅰ）求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；

（Ⅱ）已知點(diǎn)B（-1，0），設(shè)不垂直于x軸的直線l與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P、Q，若x軸是∠PBQ的角平分線，證明直線l過定點(diǎn)·

說明：由本題（Ⅰ）得所求拋物線的方程為y2=8x，若坐標(biāo)·

將本題中的“離心率”、“點(diǎn)的坐標(biāo)”和“最遠(yuǎn)距離”這三個(gè)量分別稍作改變，可以編擬：

（2012年廣東卷理第20題（1））在平面直角坐標(biāo)系連接BQ，則BQ與拋物線y2=8x必有第二個(gè)交點(diǎn)（否則，若只有一個(gè)交點(diǎn)，則BP、BQ都是拋物線的切線，P、Q就關(guān)于x軸對稱，PQ垂直于x軸，與題設(shè)矛盾），不妨設(shè)此交點(diǎn)為R，因?yàn)閤軸是∠PBQ的角平分線，拋物線也是關(guān)于x軸對稱的，所以點(diǎn)R、P關(guān)于x軸對稱，這與例題中的“點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D”含義完全相同·

3·轉(zhuǎn)換結(jié)構(gòu)

例4（2009年上海卷理第12題）已知函數(shù)f（x）= sinx+tanx·項(xiàng)數(shù)為27的等差數(shù)列｛an｝滿且公差d≠0·若f（a1）+f（a2）+…+f（a27）=0，則當(dāng)k= _________時(shí)，（fak）=0·

本題將等差數(shù)列鑲嵌在函數(shù)之中，富有新意·我們可以證明：若函數(shù)（fx）是定義在D（0∈D）上且單調(diào)的奇函數(shù)，等差數(shù)列｛an｝滿足an∈D，且（fa1）+（fa2）+…+（fa2k+1）=0，那么ak+1=

據(jù)此，構(gòu)造R上單調(diào)的奇函數(shù)g（x）=x3+x和等差數(shù)列｛bn｝，且令g（b1）+g（b2）+…+g（b7）=0（1）·

由此可得b4=0·如作替換g（x）=（fx+3）-2，an=bn+3，則f（x）=（x-3）3+x-1，（1）式變?yōu)椋╢a1）+（fa2）+…+（fa7）=14，由b4=0可得a4=3，進(jìn)一步求得a1+a2+…+a7=7a4=21，可編擬：

題1：（2012年四川卷文第12題）設(shè)函數(shù)（fx）=（x-3）3+ x-1，｛an｝是公差不為0的等差數(shù)列，（fa1）+f（a2）+…+（fa7）=14，則a1+a2+···+a7=（）·

A.0B.7C.14D.21

題2：（2012年四川卷理第12題）設(shè)函數(shù)f（x）=2xcosx，｛an｝是公差為的等差數(shù)列，（fa1）+（fa2）+…+（fa5）= 5π，則［（fa3）］2-a1a5=（）·

4·仿造圖形

例5（1999年全國卷理第10題）如圖1，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為3的正方形，EF//AB，，EF與面ABCD的距離為2，則該多面體的體積為（）·

圖1

圖2

模仿本題的“楔形”特征，保留問題情境，可編擬：

（2005年全國Ⅰ卷理第5題）如圖2，在多面體ABCDEF中，已知四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE、△BCF均為正三角形，EF//AB，EF=2，則該多面體的體積為（）·

三、特例再生

將一般問題特殊化，再生題·

例6（2004年北京卷理第17題（2））如圖3，過拋物線y2=2px（p＞0）上一定點(diǎn)P（x0，y0）（y0＞0），作兩條直線分別交拋物線于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)·當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求的值，并證明直線AB的斜率是非零常數(shù)·

圖4

圖3

本題中，當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，用“點(diǎn)差法”可以得到y(tǒng)1+y2=-2y0，進(jìn)一步求

（2005年江西卷文第21題（1））如圖4，M是拋物線y2= x上的一點(diǎn)，動(dòng)弦ME、MF分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，且|MA|= |MB|·若M為定點(diǎn)，證明：直線EF的斜率為定值·

四、逆向轉(zhuǎn)換

將命題中的已知事項(xiàng)和結(jié)論中的事項(xiàng)作相等個(gè)數(shù)的變換，得到新命題·

將“由焦點(diǎn)弦所在直線的斜率求曲線的離心率”改為“由曲線的離心率求焦點(diǎn)弦所在直線的斜率”，可編擬：

題2：（2009年全國Ⅱ卷理（文）第9（11）題）已知直線y=k（x+2）（k＞0）與拋物線C：y2=8x相交于A、B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|=2|FB|，則k=（）·

五、類比移植

通過對原題表面內(nèi)容、內(nèi)在關(guān)系結(jié)構(gòu)及解題思想方法進(jìn)行聯(lián)想比較、類比遷移，得出具有新質(zhì)的試題·

1·條件類比

根據(jù)兩類對象之間在某些方面的相似或相同，推出其他方面的相似或相同·如解析幾何中，命題者經(jīng)常通過置換圓錐曲線的類型，把圓、橢圓、雙曲線、拋物線互相交換，編擬新題·

例8（1993年全國卷理第18題）已知異面直線a、b所成的角為50°，過空間一定點(diǎn)P作與直線a、b所成的角都是30°的直線有且只有（）·

A.1條B.2條C.3條D.4條

將直線與平面進(jìn)行類比，可編擬：

題1：（2004年湖北卷理第11題）已知平面α與β所成的二面角為80°，P為α、β外一定點(diǎn)，過點(diǎn)P的一條直線與α、β所成的角都是30°，則這樣的直線有且僅有（）·

A.1條B.2條C.3條D.4條

題2：（2009年重慶卷理第9題）已知二面角α-l-β的大小為50°，P為空間中任意一點(diǎn)，則過點(diǎn)P且與平面α和平面β所成的角都是25°的直線的條數(shù)為（）·

A.2B.3C.4D.5

2·方法類推

通過類比解題方法產(chǎn)生新的問題·

（2003年上海春季卷第12題）設(shè)

六、拓展演繹

通過由此及彼，由表及里，觀察、比較與分析，產(chǎn)生認(rèn)知遷移·

1·拓展背景

從不同角度拓展問題背景，導(dǎo)出有價(jià)值的新的結(jié)論·

例10（1992年全國卷文第24題）求sin220°+cos280°+

本題的結(jié)構(gòu)與余弦定理類似，我們可以尋求其幾何意義·一般地，我們有：將正弦定理：a=2RsinA、b=2RsinB、c=2RsinC代入余弦定理a2+b2-2ab·cosC=c2，化簡得sin2A+ sin2B-2sinAsinB·cosC=sin2C①·

①式中角A、B、C為三角形的三內(nèi)角，只要滿足0＜A、B、C＜π，且A+B+C=π即可·

以①為結(jié)論，可以編擬許多問題·如令A(yù)=20°，B= 40°，C=120°，即得：

題1：（1995年全國卷理第22題）求sin220°+cos250°+ sin20°cos50°的值·

在①中令C=60°，可以得到sin2A+sin2B-sinAsinB=

因C=60°，則A+B=120°，即α+90°+β=120°，則α+β= 30°·

在②中，對α、β賦值，如13°+17°=15°+15°=18°+12°=-18°+48°=-25°+55°=30°，可編擬：

題2：（2012年普福建卷理（文）第20（17）題）某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)·

（1）sin213°+cos217°-sin13°cos17°；

（2）sin215°+cos215°-sin15°cos15°；

（3）sin218°+cos212°-sin18°cos12°；

（4）sin2（-18°）+cos248°-sin（-18°）cos48°；

（5）sin2（-25°）+cos255°-sin（-25°）cos55°·

（Ⅰ）試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；

（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論·

2·演繹結(jié)論

從命題條件出發(fā)，通過演繹推理，產(chǎn)生新結(jié)論·

例11（2004年全國Ⅲ卷第22題（1））已知函數(shù)f（x）= ln（1+x）-x，求函數(shù)f（x）的最大值·

本題中，f（x）=ln（1+x）-x的最大值為0，即ln（1+x）≤x對x＞-1恒成立，如做替換x→x+1，則有l(wèi)nx≤x-1對x＞0恒成立，據(jù)此，可編擬：

題1：（2011年湖北卷理（文）第20（21）題（Ⅰ））已知函數(shù)f（x）=lnx-x+1，x∈（0，+∞），求函數(shù)f（x）的最大值·

另一方面，ln（1+x）≤x（x＞-1）等價(jià)于：

ex≥1+x（x＞-1）（1）·

當(dāng)x＞-1時(shí)，由（1）式知ex≥1+x＞0，從

題2：（2010全國大綱Ⅱ卷理第22題（Ⅰ））設(shè)函數(shù)f（x）=1-e-x，證明：當(dāng)x＞-1時(shí)，f（x）≥x

另外，（1）式可加強(qiáng)為ex≥1+x（x∈R），從而ex-x≥1，

據(jù)此，可編擬：

題3：（2007年遼寧卷第22題）已知函數(shù)f（x）=e2x-

以不等式ln（1+x）≤x（x＞-1）為源頭，還可以衍生出一大批高考題，限于篇幅，在此不再展開，讀者可以參見文3·

3·推廣命題

通過由特殊到一般、由具體到抽象的邏輯推理，概括歸納出新問題·

例12（2009年遼寧卷理第6題）設(shè)等比數(shù)列｛an｝的

從一般性考慮，可編擬：

（2010年安徽卷理第10題）設(shè)｛an｝是任意等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和、前2n項(xiàng)和與前3n項(xiàng)和分別為X、Y、Z，則下列等式中恒成立的是（）·

A·X+Z=2YB.Y（Y-X）=Z（Z-X）

C.Y2=XZD·Y（Y-X）=X（Z-X）

七、組合演變

根據(jù)所考查知識(shí)和方法的需要，將一些較為簡單又具有內(nèi)在聯(lián)系的命題進(jìn)行有機(jī)的結(jié)合，通過相互滲透，重新組合，編擬新題·

例13（1）（2011年陜西卷理第17題（Ⅰ））如圖5，設(shè)P是圓x2+y2=25上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D是P在x軸上的投影，M為PD在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程·

（2）（2011年江蘇卷第18題（Ⅲ））如圖6，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，M、N分別是頂點(diǎn)，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線交橢圓于P、A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過P作x軸的垂線，垂足為C，連接AC，并延長交橢圓于點(diǎn)B，設(shè)直線PA的斜率為k·對任意k＞0，求證：PA⊥PB·

圖5

圖6

本例（1）的實(shí)質(zhì)背景從映射（變換）的角度看，就是在映射f：（x，y）→（x，my）（m＞0且m≠1）下，知原像（x2+y2=下，圓可以拉伸或壓縮為橢圓，圓與橢圓可以互變共生）·

本例（2）的結(jié)論中蘊(yùn)含了橢圓的一個(gè)重要性質(zhì)：

將上述兩題重新組合，并把（1）中的“過P作x軸的垂線”改為“過P作y軸的垂線”，可導(dǎo)出新題：

（2012年湖北卷理第21題）設(shè)A是單位圓x2+y2=1上的任意一點(diǎn)，l是過點(diǎn)A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線l上，且滿足|DM|=m|DA|（m＞0，且m≠1）·當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C·

（Ⅰ）求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)·

（Ⅱ）過原點(diǎn)且斜率為k的直線交曲線C于P、Q兩點(diǎn)，其中P在第一象限，它在y軸上的射影為點(diǎn)N，直線QN交曲線C于另一點(diǎn)H·是否存在m，使得對任意的k＞0，都有PQ⊥PH？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由·

由此可見，往屆高考數(shù)學(xué)試題是一座值得深入挖掘的數(shù)學(xué)金礦，其中蘊(yùn)含的極具教育價(jià)值的數(shù)學(xué)問題，是多年來人類智慧的結(jié)晶，成為以后高考命題選材的源泉，這些具有指導(dǎo)性和權(quán)威性的高考題，是值得我們數(shù)學(xué)教育工作者深入研究的·

1·胡成躲，姜官揚(yáng)·對一道高考試題的拓展性探究［J］·上海中學(xué)數(shù)學(xué)，2011（1-2）·

2·朱賢良·莫讓浮云遮望眼，除盡繁華識(shí)真顏——對一類高考試題本質(zhì)的追溯［J］·中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2013（6）·

3·方亞斌·ex的冪級(jí)數(shù)展開式演繹高考題［J］·數(shù)學(xué)通訊，2012（2）·

4·劉友明·淺談一類高考解析幾何試題的命題途徑［J］·中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2013（2）·

5·方亞斌·怎樣用課本例題和習(xí)題編擬初中競賽題［J］·數(shù)學(xué)教學(xué)，1991（4）·A