基于算法思想的解析幾何運(yùn)算策略案例研究

☉江蘇省南京市大廠高級中學(xué)余建國

基于算法思想的解析幾何運(yùn)算策略案例研究

☉江蘇省南京市大廠高級中學(xué)余建國

一、提出問題

“提高空間想像、抽象概括、推理論證、運(yùn)算求解、數(shù)據(jù)處理等基本能力”是高中數(shù)學(xué)課程的重要目標(biāo)之一，也是高考試題的立意所在·在《考試說明》等指導(dǎo)性文件中，對這些基本能力描述得更加具體，如運(yùn)算求解能力的考查要求是：能夠根據(jù)法則、公式進(jìn)行運(yùn)算及變形；能夠根據(jù)問題的條件尋找設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑；能夠根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)或近似計(jì)算·

對照這個(gè)考查要求，高考試題中的解析幾何解答題顯然承載了這項(xiàng)職責(zé)·在大部分高考試卷中，解析幾何解答題處于中等或稍難的地位，因而是考生志在必得的“得分點(diǎn)”，如2014年高考江蘇卷中解析幾何題為解答題第3題（共6題），考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力·但得分并不理想，滿分14分，均分7·6，難度系數(shù)0·50·各段得分人數(shù)百分比見下表·

分0 2 4 6 8 10 12 14 % 12 2.1 15 26 9.3 6.9 1.7 27

閱卷反饋的答題狀況存在的主要問題是：方法選擇呆板、笨拙；運(yùn)算膚淺、耐力不足，淺嘗輒止、半途而廢；聯(lián)想、轉(zhuǎn)化意識欠缺，不能根據(jù)現(xiàn)有信息，處理數(shù)式·所以，要想在解析幾何題上有所突破，提高運(yùn)算求解能力是突破口·

運(yùn)算能力的展開基于以下幾個(gè)方面：算理、算法和數(shù)式處理·算理是指在把握問題結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，從格局上合理布置運(yùn)算的各個(gè)環(huán)節(jié)，使運(yùn)算承上啟下、有條不紊和結(jié)構(gòu)緊湊，便于運(yùn)算過程的自然展開；算法是一個(gè)將需要引入的運(yùn)算法則、定理、公式組織成一個(gè)緊湊的系統(tǒng)，形成運(yùn)算的一套程序；數(shù)式處理是指相關(guān)數(shù)（式）的混合運(yùn)算、變形等實(shí)際操作過程·算理、算法與數(shù)式處理組成了運(yùn)算結(jié)構(gòu)的等級層次性，如果將整個(gè)運(yùn)算過程比喻為建造一座大廈，那么其圖紙的設(shè)計(jì)制作猶如算理，采購材料有如算法，砌墻架梁就是數(shù)式處理，因此算理對算法與數(shù)式處理具有指導(dǎo)作用·我們把算理和算法稱為算法思想，在解析幾何綜合題的運(yùn)算求解中，缺乏算法思想指導(dǎo)的數(shù)式處理是盲目的，因此在復(fù)習(xí)指導(dǎo)中，應(yīng)力求在算法思想的層面上指導(dǎo)學(xué)生，形成解析幾何的運(yùn)算策略，提高學(xué)生的元認(rèn)知能力·

二、案例解析

圖1

（1）求橢圓的方程·

（2）若C、D分別是橢圓長軸的左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點(diǎn)P·證明：值·

（3）在（2）的條件下，試問x軸上是否存在異于點(diǎn)C的定點(diǎn)Q，使得以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點(diǎn)，若存在，請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由·

算法思想分析：“先動(dòng)后定”是證明“定值（點(diǎn)）”問題的基本策略，也就是選擇合適的自變量t，用t表定值，這其中就需要點(diǎn)P、M的坐標(biāo)，因此第（2）問的證明可以用流程圖（圖2）表達(dá)·

對于操作①，選擇誰為自變量呢？審題發(fā)現(xiàn)，動(dòng)點(diǎn)M在直線l：x=2上運(yùn)動(dòng)，因此自然地以動(dòng)點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為自變量·設(shè)動(dòng)點(diǎn)M（2，t），直線MC的方程為x0是這個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根，從

對于操作①，動(dòng)點(diǎn)M在直線l：x=2上運(yùn)動(dòng)，等價(jià)于“動(dòng)點(diǎn)P在橢圓上移動(dòng)，直線CP與l交于點(diǎn)M”，于是我們還可以選擇直線CP的斜率為自變量，或者干脆選擇點(diǎn)P的坐標(biāo)為自變量·比較發(fā)現(xiàn)，這里的自變量斜率k=因此從本質(zhì)上看，兩種選法核心相同·那么設(shè)點(diǎn)P（s，t）為自變量怎么樣呢？

算法思想再析：有些省份的高考題刻意回避了韋達(dá)定理的使用，這也是新課程的一個(gè)特色，盡管還是有很多份高考卷對韋達(dá)定理照考不誤·因此，對于操作②，如果不用韋達(dá)定理，怎么解交點(diǎn)呢？我們以解方程組

在進(jìn)行梁體澆筑施工時(shí)，以施工荷載為依據(jù)，結(jié)合理論計(jì)算撓度來設(shè)置合適的反拱，在施工中做好檢測工作。以施工方法為依據(jù)，對施工荷載及工期進(jìn)行調(diào)整，確定合適的立模高程，保證線形處在要求的范圍內(nèi)。以支架為基礎(chǔ)進(jìn)行施工時(shí)，梁體應(yīng)能產(chǎn)生滿足要求的撓度?；诖?，為確保支架卸除后可以達(dá)到理想的線形，應(yīng)在施工過程中設(shè)置預(yù)拱度[3]。

事實(shí)上，新課程江蘇卷的解析幾何解答題（參考答案）總是以這樣的方式處理一元二次方程來解交點(diǎn)問題，運(yùn)算顯得簡單明了·筆者認(rèn)為，這么做表面上是回避韋達(dá)定理，更重要的是體現(xiàn)了新課程的基本理念，即強(qiáng)調(diào)通過基本的數(shù)式運(yùn)算（如分解因式）解決解析幾何的運(yùn)算問題·其算法為：將橢圓方程移項(xiàng)?分解因式?代入直線方程?約分，得一次方程?交點(diǎn)的橫（縱）坐標(biāo)·

算法思想三析：再回到操作①的話題·設(shè)點(diǎn)P（s，t）為自變量，這就不需要解直線CP（CM）與橢圓的交點(diǎn)了，只需在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候，即計(jì)使用（s，t）滿足的條們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)程序仍然符合圖2所示的流程圖·簡解如下：

取曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)為自變量，有時(shí)兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)就有四個(gè)字母，看上去字母多了，但如果設(shè)計(jì)好算法程序，在這個(gè)程序的指引下，在數(shù)式處理過程中有條不紊地分解、變換、消去等，就能實(shí)現(xiàn)目標(biāo)，此時(shí)的算法思想更應(yīng)清晰、數(shù)式處理更應(yīng)精準(zhǔn)，如“點(diǎn)差法”·

有了上面的分析及算法思想示例，我們再來分析解決第（3）問的算法·

算法思想分析：首先，“以MP為直徑的圓恒過直線DP、MQ的交點(diǎn)”，解析法是如何對付它的？一種算法是“直譯”，將直線DP、MQ的交點(diǎn)坐標(biāo)代入以MP為直徑的圓的方程，通過“恒成立”來確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)（如果存在）；另一種算法是DP⊥MQ，通過斜率或向量建立恒成立的方程確定點(diǎn)Q的坐標(biāo)（如果存在）·比較而言，由于“轉(zhuǎn)譯”了平面幾何的相關(guān)知識，顯然后一種算法更優(yōu)化，也可用流程圖（圖3）表示·

圖3

算法思想再析：在解析幾何試題中，“運(yùn)動(dòng)型”題目既精彩紛呈，也撲朔迷離，但運(yùn)動(dòng)與靜止是對立統(tǒng)一的，靜止是運(yùn)動(dòng)的“定格”，運(yùn)動(dòng)是靜止的“連續(xù)”，故動(dòng)中取靜類問題，往往要從“定格”上入手，找出解題的方向·也就是說，先從特殊情形抽象，再一般論證·

三、案例反思

運(yùn)算求解能力體現(xiàn)在高考命題中具有相對隱蔽性，在命題者的立意中，往往體現(xiàn)得非常明確，但是在命題設(shè)計(jì)的情境、命題的設(shè)問中，都不會明確地提出來·教學(xué)過程中，由于一些教師對運(yùn)算能力的理解不太準(zhǔn)確，將其僅僅等同于運(yùn)算技能，往往將注意力集中在對運(yùn)算法則的記憶、運(yùn)算過程的技巧訓(xùn)練上，只追求學(xué)生算得又快又對而缺少對運(yùn)算意義的了解，以及對算理算法的理解和掌握·案例研究表明，清晰的算法思想和對運(yùn)算過程的預(yù)判、調(diào)整是提高解析幾何解答題運(yùn)算求解能力的根本·

1·選題要有針對性與研究性

提高解析幾何解答題的運(yùn)算求解能力，例題選擇要有一定的針對性、研究性與可拓展性，精心挑選一些具有良好典型性、代表性、遷移性的題目供學(xué)生探究，幫助學(xué)生從中找出規(guī)律與方法，提高運(yùn)算能力·教師可以從課本上選取或改編例習(xí)題，也可以從信度比較高的大市模擬卷中選取，高考題也是不錯(cuò)的選擇·筆者提倡從圓錐曲線繽紛多彩的幾何性質(zhì)中，通過特殊化、一般化、類比推廣等手段，編制定值（點(diǎn)、線等）類、定性類、最值類等試題，訓(xùn)練學(xué)生的解析法思想，提高運(yùn)算求解能力，這也是圓錐曲線始終作為高考必考內(nèi)容之一的原因·

2·分析要突出算法思想、畫流程圖

數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要關(guān)注學(xué)生能否根據(jù)法則、公式等正確地進(jìn)行計(jì)算，更要幫助學(xué)生理解運(yùn)算的算理，將教學(xué)重心前移，在審題階段與學(xué)生一起分析題目的條件，尋找合理的、快捷的運(yùn)算途徑，就好比埋頭走路前必須抬頭看天，先看清楚解題的方向，并且將解題的算法思想用流程圖的形式畫出來·經(jīng)過一定量的訓(xùn)練，該類問題的算法思想將內(nèi)化為學(xué)生知識結(jié)構(gòu)中的認(rèn)知策略，形成認(rèn)知模式，達(dá)到解一題、通一類、帶一串的效果·

3·經(jīng)歷運(yùn)算過程才能培養(yǎng)元認(rèn)知能力

顯然，僅靠一張流程圖并不能解決解析幾何運(yùn)算問題·案例表明，自變量的選擇、運(yùn)算路徑的設(shè)計(jì)、遇到困難時(shí)算法的調(diào)整遠(yuǎn)比具體的運(yùn)算技巧，如二元二次方程的變形和分解因式、一元二次方程的韋達(dá)定理的應(yīng)用等更難于被理解和掌握·一個(gè)很好的做法是，讓學(xué)生自己去設(shè)計(jì)解析幾何題的算法思想，當(dāng)他們碰到困難時(shí)給予必要的指導(dǎo)；課堂中展示不同的算法思想指導(dǎo)下的解法，對照比較，取長補(bǔ)短，優(yōu)化算法·只有經(jīng)歷過程，學(xué)生才能真正理解運(yùn)算的意義和作用，學(xué)會從意義的角度預(yù)判、調(diào)整算法·

例如，2010年江蘇高考卷第18題第（3）問：設(shè)t=9，求證：直線MN必過x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無關(guān)）·當(dāng)計(jì)學(xué)生的做法是先求直線MN的方程，再從方程中找定點(diǎn)·當(dāng)他們感受過復(fù)雜的運(yùn)算后教師再啟發(fā)簡潔的“先定后動(dòng)”的算法思想，才能讓學(xué)生深刻地認(rèn)識到優(yōu)化算法思想的重要性，實(shí)現(xiàn)比“理解、掌握”更高層次的“評價(jià)、創(chuàng)新”的認(rèn)知要求，發(fā)展學(xué)生的元認(rèn)知能力·

當(dāng)然，運(yùn)算求解能力與數(shù)學(xué)的其他能力，如閱讀理解、抽象概括、推理論證等緊密聯(lián)系，也與學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的情感、態(tài)度和價(jià)值觀有關(guān)，所有這方面的能力或?qū)嵺`都得到相應(yīng)的強(qiáng)化，才能真正破解提高解析幾何乃至數(shù)學(xué)運(yùn)算求解能力的難題，但毋庸置疑，在運(yùn)算求解中滲透算法思想不僅是有效的，而且也是新課程的特色和亮點(diǎn)·

1·張昆，許曉天·基于能力立意的高考命題研究——數(shù)學(xué)高考復(fù)習(xí)教學(xué)設(shè)計(jì)的視角［J］·中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2015（2）·

2·董林偉·傾聽學(xué)生的思考：例談運(yùn)算能力及其培養(yǎng)途徑［J］·數(shù)學(xué)通報(bào)，2009（9）·F