對(duì)一道“世界思維名題”題解的探索

殷永梅　侯承慧

在華文出版社出版的《思維風(fēng)暴》第282頁上有一道名為“勘測(cè)員”的世界思維名題.題目大意是：有一塊如圖1所示的土地，要用一條直線把它分割成面積相等的兩部分，應(yīng)如何確定出直線的位置？為解題方便，不妨設(shè)圖中小正方形邊長(zhǎng)為a.書上給出了一個(gè)簡(jiǎn)捷明了的答案，答案的正確性無可厚非.

仔細(xì)分析看到這一題目，我們認(rèn)為答案并非唯一，應(yīng)該還有其他答案.圍繞“分割成面積相等的兩部分”這一基本要求，對(duì)此題有多少題解進(jìn)行了探索，按照由特殊到一般的思路，發(fā)現(xiàn)此題的答案有無限多個(gè).

下面簡(jiǎn)述我們的解法和得到的結(jié)論：

1.頂點(diǎn)法

先確定圖形上某一個(gè)角的頂點(diǎn)為所求直線上的一點(diǎn)，再在這個(gè)角所對(duì)的邊上求出所求直線上的另一個(gè)點(diǎn)，過兩點(diǎn)作直線即為所求.

例如：先確定點(diǎn)A，再確定點(diǎn)G（見圖2），設(shè)AG分圖1為兩部分相等的直線，只要求出CG即可.

在梯形ABCG中，已知BC=AB=2a，由（AB+CG）BC2=52a2得（2a+CG）·2a2=52a2解之得CG=12a，這樣就確定出了點(diǎn)G的位置，直線AG即為所求.

又如：先確定點(diǎn)B，再求出點(diǎn)H.在直角三角形BCH中，由BC·CH2=52a2得出2a（3a-DH）2=52a2，解之得DH=12a，點(diǎn)H隨之定出，直線BH即為所求（圖2）.

同理，可以求得符合題意的直線CK、FR（圖3）、DM、EN（圖4）.

2.任點(diǎn)法

先在圖形的周邊上任選一點(diǎn)為所求直線上的點(diǎn)，然后再在圖形某邊上求出另一個(gè)點(diǎn)的位置，就可得到所求直線.

例如：如圖5，在BC邊上任取一點(diǎn)P（暫時(shí)使BP=29a）為所求直線上的一點(diǎn)，再在圖形的其他邊上求出所求直線的另一點(diǎn)L，直線PL即可求出.

在直角三角形CPL中，由CP·CL2=52a2得1692a（3a-DL）=52a2，解之得DL=316a，點(diǎn)L的位置得以確定，便可求出直線PL的位置.

又如，如圖5，在EF上取一點(diǎn)V為直線上的一點(diǎn)使EV=14a，再在其他邊上求得直線上另外一點(diǎn)Q，直線得以求出.（設(shè)點(diǎn)L為過點(diǎn)V與ED平行的直線與CD的交點(diǎn).）

由DE·EV+（VL+CQ）·CL2=52a2，得出14a·a+（a+CQ）·114a2=52a2，可求得CQ=711a，點(diǎn)Q的位置得以確定，直線VQ的位置得以求出.

3.中點(diǎn)法

把圖形看作左右兩個(gè)正方形，過它們的中心O7、O8的連線SW即為所求；也可把圖形看作上下兩個(gè)長(zhǎng)方形，它們的中心連線O9O10也為所求（見圖6，因矩形的重心在對(duì)角線的交點(diǎn)處，所以此法也可稱之為重心法）.

4.割補(bǔ)法

在CD上取DH=12a，連接BH即為所求（如圖7）.此種解法簡(jiǎn)捷明了.