例談初中幾何探究教學(xué)的設(shè)計(jì)、實(shí)踐與反思

張愛平

1問題提出

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）（下稱“課標(biāo)”）倡導(dǎo)積極思考、動手實(shí)踐、自主探索的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要鼓勵學(xué)生自主探究，引導(dǎo)學(xué)生主動地從事觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測、推理等數(shù)學(xué)活動[1]，探究性教學(xué)活動就成了數(shù)學(xué)教學(xué)中不可或缺的重要形式.如何進(jìn)行初中幾何探究教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)踐？本文利用兩個案例的分析，對這個問題進(jìn)行探討.

2幾何探究教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)踐

課標(biāo)指出：在教學(xué)中要處理好過程與結(jié)果、直觀與抽象、直接經(jīng)驗(yàn)與間接經(jīng)驗(yàn)的關(guān)系.數(shù)學(xué)教學(xué)活動要激發(fā)學(xué)生的興趣和學(xué)習(xí)積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維[1]，探究性教學(xué)成為實(shí)現(xiàn)上述目標(biāo)的一種教學(xué)方式.下面以兩個幾何探究教學(xué)活動的設(shè)計(jì)與實(shí)踐為例，從幾何圖形性質(zhì)和關(guān)系兩個角度說明如何進(jìn)行探究教與學(xué)，以幫助學(xué)生積累幾何探究的活動經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展學(xué)生幾何探究能力.

2.1在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中探究，理解幾何圖形性質(zhì)的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)教育家波利亞指出：“數(shù)學(xué)具有兩個面，以歐幾里得方式表現(xiàn)出來的數(shù)學(xué)看上去是一種系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但在形成過程中的數(shù)學(xué)看上去卻是一種實(shí)驗(yàn)性的歸納科學(xué)”，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是學(xué)生通過觀察、操作、試驗(yàn)等實(shí)踐活動來進(jìn)行數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的一種形式.學(xué)生在動手操作、測量等數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動中獲得對幾何圖形性質(zhì)的初步認(rèn)識，在推理中加深理解，深刻理解幾何圖形性質(zhì)的內(nèi)涵.

“垂線段最短”是認(rèn)識直線“垂直”的過程中得到的一個重要性質(zhì)，為了幫助學(xué)生獲得這一結(jié)論，并較好理解其內(nèi)涵，可以嘗試在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動中探究得到結(jié)論，并自然過渡到簡單說理.

案例1“垂線段最短”的探究

（1）設(shè)置實(shí)際問題情境，引發(fā)探究幾何圖形性質(zhì)的興趣

問題1如圖1，怎樣測量跳遠(yuǎn)成績？為什么這樣測量？

問題2如圖2，點(diǎn)P是直線l外一點(diǎn)，點(diǎn)P與直線l上的各點(diǎn)所連的線段中，沒有最長的，但好像有最短的，哪一條線段的長最短？

圖1圖2設(shè)計(jì)意圖與效果分析創(chuàng)設(shè)問題情境，使探究活動意義明確，主題清楚，其中問題1從學(xué)生體育活動中的跳遠(yuǎn)成績的測量引發(fā)學(xué)生的思考，為點(diǎn)到直線的距離的定義做好鋪墊；問題2直接給出學(xué)生下面探究的主題，明確探究的起點(diǎn)，激發(fā)探究的好奇心和興趣.

（2）在實(shí)驗(yàn)過程中操作、思考，經(jīng)歷幾何圖形性質(zhì)的獲得過程

活動1利用直尺度量線段的長度，感受“垂線段最短”.

圖3如圖3，通過直尺度量，發(fā)現(xiàn)PO1>PO2>PO3>…>PO，PO5>PO4>…>PO，其中PO⊥l，垂足為O.從上面的測量可以感受并猜想“點(diǎn)P與l上的點(diǎn)所連線中，垂線段最短”.

設(shè)計(jì)意圖與效果分析這里要求學(xué)生利用直尺度量的方法，在操作過程中猜想直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)所連的線段中垂線段可能最短，這種操作活動只能做有限次，學(xué)生只能從有限次測量中進(jìn)行比較，是一種不完全歸納的過程.

活動2利用幾何畫板軟件測量，體會“垂線段最短”.

通過幾何畫板課件，學(xué)生在直線l外取一點(diǎn)P，設(shè)Q為直線l上動點(diǎn)，度量PQ的長度，在直線l上拖動點(diǎn)Q，觀察并記錄PQ的長度及變化情況，發(fā)現(xiàn)當(dāng)PQ⊥l時(shí)，PQ的長度最小，并通過點(diǎn)Q的運(yùn)動，體會變化的全過程，進(jìn)一步體會到“點(diǎn)P與l上的點(diǎn)所連線中，垂線段最短”.

設(shè)計(jì)意圖與效果分析這里要求學(xué)生在幾何畫板軟件中度量直線外一點(diǎn)與直線上一個動點(diǎn)之間的距離，當(dāng)拖動動點(diǎn)時(shí)，可以觀察到所測量的距離的連續(xù)變化過程，覆蓋了直線上所有點(diǎn)的情形，直觀體會“垂線段最短”，是一次完全歸納的過程.

活動3利用折紙?zhí)骄坎L試說理，說明“垂線段最短”.

（1）折紙：如圖4，將長方形紙片對折，再對折，展開得到兩個折痕PS、MN，并交于點(diǎn)O.

問題：兩個折痕PS、MN的關(guān)系如何？

分析：根據(jù)折疊，∠POM=PON=90°，OP⊥MN，OP=OS.

圖4圖5圖6（2）說理：如圖5，設(shè)點(diǎn)P為線段MN外的一點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段MN上的任意一點(diǎn)（與點(diǎn)O不重合），試比較PQ與PO的大小.

如圖6，連接QS.根據(jù)折疊，PQ=QS.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，得QS+QP>PS=PO+OS.即2PQ>2PO.所以PQ>PO.

（3）結(jié)論：點(diǎn)P與線段MN上的點(diǎn)所連的線段中，垂線段PO最短.

設(shè)計(jì)意圖與效果分析這里要求學(xué)生在折紙的過程中研究圖形的軸對稱性及相關(guān)結(jié)論，直接提出折痕外一點(diǎn)到折痕上任意一點(diǎn)（除垂足）之間的距離與該點(diǎn)到兩條折痕的交點(diǎn)的距離（垂線段的長度）的大小比較問題，并根據(jù)軸對稱性轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間連線的長度問題，再根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”說明“垂線段最短”，學(xué)生在折紙的過程中經(jīng)歷動手操作、數(shù)學(xué)思考的實(shí)驗(yàn)活動過程，初步感受說理，加深對“垂線段最短”的內(nèi)涵的理解.

學(xué)生從特殊到一般進(jìn)行歸納，并在折紙中滲透說理，體會從合情推理到演繹推理的數(shù)學(xué)思維過程，經(jīng)歷從“實(shí)驗(yàn)幾何”學(xué)習(xí)到“論證幾何”學(xué)習(xí)的過渡過程，為初中平面幾何學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)備，從而形成幾何探究的策略，既培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力，也發(fā)展學(xué)生的推理能力.

2.2在類比中探究，經(jīng)歷研究幾何圖形關(guān)系的過程

類比是根據(jù)兩個或兩類對象有部分屬性相同，從而推出它們的其它屬性也相同的推理，可以較好地發(fā)現(xiàn)知識、獲得方法，是一種合情推理方式；在類比過程中，需要結(jié)合必要的說理對所獲得的結(jié)論進(jìn)行證實(shí)或證偽，形成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)探究過程.

三角形全等和三角形相似都反映兩個三角形的關(guān)系，其中三角形全等是三角形相似的特殊情形，因此可以將特殊推廣到一般，將探索三角形全等條件的方法類比到探索三角形相似條件的過程中，使探究的“路”和“法”較為清晰，便于學(xué)生在探究過程中，積極思考，自主探究，積累探究活動經(jīng)驗(yàn).

案例2“三角形相似的條件”的探究.

（1）再現(xiàn)“三角形全等條件”的探索過程，讓“三角形相似的條件”的探索有“路”可比

問題1兩個三角形全等的條件有哪些？

生1：有四種方法，即兩邊及夾角分別相等、兩角及夾邊分別相等、兩角及其中一角的對邊分別相等、三邊分別相等的兩個三角形全等，用符號表示為SAS、ASA、AAS、SSS.

問題2探索兩個三角形全等的條件時(shí)的方法是什么？

生2：我們知道能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形，根據(jù)定義可以知道三個角分別相等和三邊分別相等的三角形是全等三角形.

生3：我們可以將這6個條件適當(dāng)減少，使判定時(shí)更加簡單易操作，最終得到除定義外的其它四種方法.

問題3除了將6個條件適當(dāng)減少，還有其它路徑嗎？

生4：我們可以將條件由少到多，即一邊分別相等、一角分別相等、兩邊分別相等、兩角分別相等、一邊和一角分別相等的兩個三角形全等嗎？若不全等，能否舉出反例.

設(shè)計(jì)意圖與效果分析通過三角形全等條件探索的再現(xiàn)，提出關(guān)于探索三角形全等條件的3個問題，明確三角形全等條件探索的路徑和方法，即將條件逐步減少和條件逐步增加的方法進(jìn)行探究，使學(xué)生在探索三角形相似時(shí)有“路”可類比.

（2）類比“三角形全等條件”的探索，讓“三角形相似的條件”的探索有“法”可探

問題4兩個三角形相似的定義是什么？

生5：形狀相同的三角形叫做相似三角形，即各角分別相等、各邊分別成比例的兩個三角形叫做相似三角形.即

問題5類比三角形全等條件的探索，可以怎樣探索三角形相似的條件？

生6：我們可以通過減少條件或增加條件的方法探究.

生7：通過增加條件的方法：

（1）一組條件：一組角分別相等或兩組對邊分別成比例的兩個三角形不一定相似，反例如下：

設(shè)計(jì)意圖與效果分析這里設(shè)置2個問題，問題4引導(dǎo)學(xué)生回憶三角形相似的定義，為三角形相似條件的增加和減少做好鋪墊，問題5提出”探索三角形相似的條件”的大問題，引導(dǎo)學(xué)生利用不斷增加條件的方法，從一組條件到兩組條件，并分類考慮各種情形：對不能判斷相似的條件通過舉反例的方式說理；對能說明相似的條件，首先利用“平行于三角形一邊的直線與其它兩邊相交，所截得的三角形與原三角形相似”來證明“兩個角分別相等的兩個三角形相似”，再以此為基礎(chǔ)通過說理的方式說明其它條件的正確性；對于三組條件成立可以轉(zhuǎn)化為兩組條件研究，滲透推理能力的培養(yǎng).

在探究過程中，也可以嘗試減少一組條件、二組條件、三組條件進(jìn)行探索，最終得到兩組條件的三種方法.需要根據(jù)學(xué)生的思維過程自然過渡，選擇符合學(xué)生思維方式的探究方式.

探究過程中依據(jù)全等三角形條件探索的經(jīng)驗(yàn)，類比獲得研究兩個三角形相似的經(jīng)驗(yàn)和方法，采用條件“由少增加”或“由多減少”的探究路徑，通過說理證實(shí)或舉反例證偽的方法說明各種條件的正確與否，最終獲得三角形相似的最簡條件，探究過程思路清晰，方法明晰，讓探究過程有“法”可探，幫助學(xué)生積累探索幾何圖形關(guān)系的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn).

3教學(xué)反思

3.1幾何探究活動要尊重學(xué)生認(rèn)知規(guī)律

幾何探究活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知水平和已有的知識經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，始終處于學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)是學(xué)生知識的生長點(diǎn)，也是教師開展教學(xué)活動的起點(diǎn)，既要依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)確定學(xué)生的學(xué)習(xí)目標(biāo)，更要著眼于問題解決，追求合理、有效的探究方式[3].根據(jù)這一原則，探究活動中設(shè)置的問題的思維容量應(yīng)有個“度”.如果探究問題過難，那么學(xué)生難以企及，會望而生畏；如果探究問題過易，那么不能引起學(xué)生的探究欲望，也沒有探究的價(jià)值.案例1和案例2中問題的設(shè)置根據(jù)這些要求設(shè)置，從學(xué)生已有的探索三角形全等條件的經(jīng)驗(yàn)和生活中已有的測量跳遠(yuǎn)的距離的經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，揭示探究的方向，明確探究的必要，整個探究活動是基于學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)的自然生長.

3.2幾何探究過程中要發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力

課標(biāo)指出：數(shù)學(xué)教學(xué)活動，特別是課堂教學(xué)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣，調(diào)動學(xué)生積極性，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考，鼓勵學(xué)生的創(chuàng)造性思維[1].幾何探究活動要注重培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力.

學(xué)生在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)過程中，利用一定的物質(zhì)手段（含物質(zhì)材料、計(jì)算機(jī)軟件等），通過動手、動腦，用觀察、實(shí)驗(yàn)、猜想等手段獲得結(jié)論，在活動中進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，在“做中學(xué)”，培養(yǎng)科學(xué)素養(yǎng)和探究精神[2].案例1中的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動為學(xué)生提供了“做中學(xué)”數(shù)學(xué)的過程，進(jìn)而為“悟中學(xué)”提供了可能.學(xué)生經(jīng)歷了三個不斷遞進(jìn)、思維過程由低到高的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動，完成了“垂線段最短”的深度探究，學(xué)生在從不完全歸納到完全歸納、從感性到理性的數(shù)學(xué)思維活動中，真實(shí)有效地實(shí)現(xiàn)探究目的，探究的三個活動之間聯(lián)系緊密，環(huán)環(huán)相扣，學(xué)生自主動手操作、獨(dú)立思考，在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動中完成一次真正的、有價(jià)值的探究活動.

案例2中，與三角形全等條件探索過程類比，提出三角形相似的條件，并通過說理證實(shí)和舉反例證偽，探究過程路徑清晰、方法簡便，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)地思考，發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力.

3.3幾何探究活動要滲透研究幾何問題的經(jīng)驗(yàn)

在初中幾何探究學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過觀察實(shí)物、測量、實(shí)驗(yàn)、歸納、類比等方法研究幾何圖形的關(guān)系，發(fā)現(xiàn)圖形性質(zhì)，通過演繹推理證明數(shù)學(xué)結(jié)論，培養(yǎng)學(xué)生言之有理和有條理地思考、表達(dá)的能力[4].在案例1中，經(jīng)過“測量—折紙—推理”的過程獲得“直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)所連的線段中，垂線段最短”的性質(zhì)；在案例2中，利用引理證明“兩角分別相等的三角形相似”，再類比說明其它條件成立，經(jīng)歷“推理（舉反例）—結(jié)論”的過程研究圖形之間的關(guān)系；這些探究思路和方法均是研究幾何圖形的重要方法和經(jīng)驗(yàn)，需要學(xué)生在學(xué)習(xí)中不斷積累和內(nèi)化，發(fā)展數(shù)學(xué)探究能力.

參考文獻(xiàn)

[1]中華人民共和國教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）[M].北京師范大學(xué)出版社2011.

[2]董林偉.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：促進(jìn)初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種有效方法[J].中國數(shù)學(xué)教育，20125：2-5

[3]陳鋒，薛鶯.從課堂“微探究”談初中數(shù)學(xué)有效教學(xué)[J].初中數(shù)學(xué)教與學(xué)20136：30-32.

[4]李海東.滲透幾何研究方法，做好實(shí)驗(yàn)幾何到論證幾何的過渡[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考20131-2：7-10.