基于非對(duì)稱漂移雙gamma跳擴(kuò)散過程的創(chuàng)新冪型期權(quán)定價(jià)模型

石澤龍　唐志毅

摘要 針對(duì)假設(shè)股價(jià)的對(duì)數(shù)收益率布朗運(yùn)動(dòng)在期權(quán)定價(jià)時(shí)產(chǎn)生的無法解釋股價(jià)對(duì)數(shù)收益率的尖峰厚尾和序列相關(guān)性的缺陷，采用了Zhang提出的非對(duì)稱漂移雙gamma跳擴(kuò)散過程來描述資產(chǎn)（股價(jià)）的對(duì)數(shù)收益率運(yùn)動(dòng)形態(tài)（該過程是kou提出的雙指數(shù)跳擴(kuò)散過程的推廣），并利用Esscher風(fēng)險(xiǎn)中性變換，研究了冪型期權(quán)的定價(jià)公式.還設(shè)計(jì)了兩種創(chuàng)新的冪型期權(quán)，在非對(duì)稱漂移雙gamma跳擴(kuò)散過程下給出了相應(yīng)的定價(jià)公式.

關(guān)鍵詞 非對(duì)稱漂移雙gamma跳擴(kuò)散過程；創(chuàng)新冪型期權(quán)；Esscher變換

中圖分類號(hào) F830.9 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼 A

AbstractSince the famous BS pricing model was made， Option Pricing's research has been the focus of attention. But the indepth study found that the stock's logarithmic returns of the BS pricing model， which follows the standard Brownian motion， can not explain the fat tail and serial correlation characteristics. So， this paper used the Asymmetrically Displaced Double Gamma JumpDiffusion Process proposed by Zhang to describe the logarithm yield of assets，（the process was put forward by the ms kou double exponential jump diffusion process promotion）， and used the risk neutral Esscher transformation to study the pricing formula of powertype options. Two kinds of innovation power options were designed， and the corresponding pricing formula was given based on Asymmetrically Displaced Double Gamma JumpDiffusion Process.

Key wordsAsymmetrically Displaced Double Gamma JumpDiffusion Process；innovation power options；Esscher transform

1引言

自從Black、Scholes[1]（1973） 在假設(shè)股票價(jià)格服從幾何布朗運(yùn)動(dòng)下得出經(jīng)典的歐式期權(quán)定價(jià)公式（簡稱BS模型）以來，期權(quán)定價(jià)問題逐漸成為人們關(guān)注的焦點(diǎn).但隨著眾學(xué)者對(duì)現(xiàn)實(shí)股票市場進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn)，BS模型至少存在兩方面的缺陷.

一方面，幾何布朗運(yùn)動(dòng)僅僅能夠解釋正態(tài)分布的股價(jià)對(duì)數(shù)收益率.而現(xiàn)實(shí)中，股價(jià)的對(duì)數(shù)收益率往往是尖峰厚尾的.因此近些年，許多學(xué)者提出了一些改進(jìn)的模型[2-5].其中，levy過程已經(jīng)被證實(shí)是一個(gè)有效地工具，它能夠刻畫任何想要的分布.然而，在研究期權(quán)定價(jià)問題時(shí)，這些模型很少具有解析表達(dá)式.但Kou[6]（2002）將幾何布朗運(yùn)動(dòng)與雙指數(shù)跳過程結(jié)合來，提出了雙指數(shù)跳擴(kuò)散過程，利用該模型得出了歐式期權(quán)定價(jià)的解析表達(dá)式，并通過相應(yīng)的數(shù)值計(jì)算驗(yàn)證了雙指數(shù)跳擴(kuò)散模型能夠解釋尖峰厚尾和波動(dòng)率微笑等現(xiàn)象.Ramezani等[7]比較了雙指數(shù)跳擴(kuò)散過程、正態(tài)分布跳擴(kuò)散過程及幾何布朗運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)雙指數(shù)跳擴(kuò)散過程能更好地刻畫股價(jià)的真實(shí)分布.為了更好地刻畫股價(jià)的真實(shí)分布，Detering（2013）[8]提出了對(duì)稱漂移雙指數(shù)跳擴(kuò)散過程（SDDE）來描述股價(jià)的運(yùn)動(dòng).Zhang（2013）[9]受Detering的啟發(fā)，將模型進(jìn)一步延伸，提出了非對(duì)稱漂移雙gamma跳擴(kuò)散過程來描述股價(jià)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，并利用Esscher變換得到了風(fēng)險(xiǎn)中性下的歐式期權(quán)解析定價(jià)式.

因?yàn)閮缧推跈?quán)設(shè)計(jì)簡單且權(quán)利金較低，所以近些年冪型期權(quán)逐漸成為投資者關(guān)注的熱點(diǎn).為了給出冪型期權(quán)的合理價(jià)格，許多研究者對(duì)冪型期權(quán)的定價(jià)進(jìn)行了研究.如趙巍[10]在假設(shè)股價(jià)服從分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)下研究了冪型期權(quán)的定價(jià)，并利用擬鞅方法得到了相應(yīng)的定價(jià)公式.劉敬偉[11]在假設(shè)利率服從vasick利率模型和股價(jià)服從OU過程下研究了冪型期權(quán)的定價(jià)問題，并利用鞅方法得到了相應(yīng)的定價(jià)公式.鄧小華等[12]在假設(shè)利率服從擴(kuò)展的Vasick模型和股價(jià)服從分?jǐn)?shù)OU過程下，利用鞅定價(jià)的方法得到了兩類冪型期權(quán)的定價(jià)公式并給出了平價(jià)關(guān)系.趙巍等[13]在風(fēng)險(xiǎn)中性下，將隨機(jī)利率看作為計(jì)價(jià)單位，利用測度變換的方法得到了創(chuàng)新冪式期權(quán)的定價(jià)公式等等.

本文擬在Zhang提出的分非對(duì)稱漂移雙gamma跳擴(kuò)散過程的基礎(chǔ)上，通過假設(shè)股價(jià)的對(duì)數(shù)收益率服從分非對(duì)稱漂移雙gamma跳擴(kuò)散過程，利用Esscher測度變換來研究冪型看漲期權(quán)的定價(jià)原理，并得出冪型期權(quán)的解析表達(dá)式.并為了更好地吸引投資者，本文擬設(shè)計(jì)兩種創(chuàng)新冪式期權(quán)，并得到相應(yīng)的解析表達(dá)式.

2非對(duì)稱漂移雙gamma跳擴(kuò)算過程

5結(jié)語

為了更好地刻畫股價(jià)的對(duì)數(shù)收益率，本文采用了Zhang提出的非對(duì)稱漂移雙gamma跳擴(kuò)散過程來描述資產(chǎn)（股價(jià)）的對(duì)數(shù)收益率運(yùn)動(dòng)形態(tài)（該過程是kou提出的雙指數(shù)跳擴(kuò)散過程的推廣），并利用Esscher風(fēng)險(xiǎn)中性變換，得到了冪型期權(quán)的解析定價(jià)公式.文章還設(shè)計(jì)了兩種創(chuàng)新的冪型期權(quán)，在非對(duì)稱漂移雙gamma跳擴(kuò)散過程下給出了相應(yīng)的定價(jià)公式.

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