始于“數(shù)”“形”并舉探究解題方法

☉江蘇省石莊高級(jí)中學(xué) 祝林娟

始于“數(shù)”“形”并舉探究解題方法

☉江蘇省石莊高級(jí)中學(xué) 祝林娟

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)進(jìn)入到高中階段之后，對(duì)于學(xué)生的要求發(fā)生了質(zhì)的改變.在以往的學(xué)習(xí)過程當(dāng)中，學(xué)生的學(xué)習(xí)重心都放在對(duì)于具體數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的關(guān)注與把握之上，而在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)當(dāng)中，則要求學(xué)生在熟練掌握知識(shí)內(nèi)容的同時(shí)，從中提煉出解決相應(yīng)問題的思想方法，并將其應(yīng)用于整個(gè)類型的問題探究當(dāng)中.在眾多數(shù)學(xué)思想方法中，數(shù)形結(jié)合可謂是適用最為廣泛與靈活的.它主要是通過打通數(shù)字與圖形之間的聯(lián)系，使二者相互輔助、彼此依托，有效降低解題難度.本文將通過對(duì)高考試題的分析來闡述數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用.

一、數(shù)形結(jié)合在直線與圓中的運(yùn)用

解析幾何中，由于坐標(biāo)系的建立，使“形”和“數(shù)”互相聯(lián)系，互相轉(zhuǎn)化，在已知公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)求未知數(shù)的取值范圍時(shí)，則往往將曲線化為熟悉的形式，然后利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解.

例1（2014年全國卷Ⅱ理科第16題）（1）設(shè)點(diǎn)M（x0，1），若在圓O：x2+y2=1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN=45°，則x0的取值范圍是_________.

（2）若過點(diǎn)A（4，0）的直線l與曲線（x-2）2+y2=1有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是_________.

分析：（1）本題是與三角函數(shù)相結(jié)合的題型，同時(shí)再結(jié)合圖像分析解決.

（2）可結(jié)合圖像分析要求直線l的斜率，則臨界值是直線l和圓相切的位置.

解：（1）建立三角不等式，利用兩點(diǎn)間的距離公式找到x0的取值范圍.如圖1，過點(diǎn)M作圓O的切線，切點(diǎn)為N，連接ON，M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，MN與圓O相切于點(diǎn)N.設(shè)∠OMN=θ，則θ≥

圖1

又M（x0，1），則x0≤1，即x0的取值范圍是［-1，1］.

（2）由圖2可以看出，（x-2）2+y2= 1所表示的是一個(gè)圓，且該圓的圓心為B（2，0），半徑為1.想要讓直線l符合題目中的要求，可先將直線l的斜率的取值范圍設(shè)為［k1，k2］，將之表示為y=k（x-4）.又因d=r，則，故所求斜率的取值范圍應(yīng)該為

圖2

點(diǎn)評(píng)：解決上述問題都是結(jié)合圖像進(jìn)行分析的，能夠?qū)A的位置關(guān)系清晰地反映出來.

例2（2014年江西卷理科第9題）在平面直角坐標(biāo)系中，A、B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線2x+y-4=0相切，則圓C面積的最小值為（）.

分析：涉及直線與圓的位置關(guān)系時(shí)，應(yīng)多考慮圓的性質(zhì)，利用平面幾何知識(shí)直觀求解.

解：如圖3，以線段AB為直徑的圓C過原點(diǎn)O，要使圓C的面積最小，只需圓C的半徑或直徑最小，又圓C與直線2x+y-4=0相切，所以由平面幾何知識(shí)知圓C的直徑的最小值為點(diǎn)O到直線2x+y-4=0的距離，此時(shí)因此，圓C面積的最小值為

圖3

點(diǎn)評(píng)：本題考查考生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力；仔細(xì)琢磨、分析，動(dòng)圓C的圓心的軌跡是一條拋物線，其中O為頂點(diǎn)，直線2x+y-4=0為準(zhǔn)線；此時(shí)也就不難理解為什么原點(diǎn)O到直線2x+y-4=0的距離為直徑的最小值，設(shè)計(jì)獨(dú)特，用心良苦，試題具有很高的