應(yīng)用極端原理解決與圓有關(guān)的中考最值問(wèn)題

☉浙江省寧波市鄞州實(shí)驗(yàn)中學(xué)　蔡衛(wèi)兵

應(yīng)用極端原理解決與圓有關(guān)的中考最值問(wèn)題

☉浙江省寧波市鄞州實(shí)驗(yàn)中學(xué)蔡衛(wèi)兵

中考?jí)狠S題中頻繁出現(xiàn)有關(guān)最值問(wèn)題，常讓很多同學(xué)束手無(wú)策，望而生畏.其實(shí)與圓有關(guān)的中考最值問(wèn)題大多由動(dòng)點(diǎn)而產(chǎn)生，找出動(dòng)點(diǎn)（相應(yīng)動(dòng)線）的極端位置，常常能確定最值.因?yàn)樵S多事物的性質(zhì)和矛盾，最容易在其臨界情況和極端狀態(tài)下體現(xiàn)和暴露出來(lái)，所以在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，常常利用極端、臨界的元素為“突破口”，進(jìn)行探索、推理論證，使“變動(dòng)”轉(zhuǎn)化為“確定”，從而分散問(wèn)題的難點(diǎn)使問(wèn)題得到解決.2014年各地的中考試題有許多圓的知識(shí)與最值問(wèn)題綜合起來(lái)考查，我們可以采取“謀定而后動(dòng)”的策略，先將問(wèn)題引向極端，考查“特殊位置”、“特殊圖形”，進(jìn)而簡(jiǎn)化解題，提高解題速度.本文試圖通過(guò)幾道中考?jí)狠S題介紹極端性原理在解與圓有關(guān)的中考最值問(wèn)題中的具體運(yùn)用，供參考.

一、“連心線與圓的交點(diǎn)”為“到圓上動(dòng)點(diǎn)距離之最值”的極端位置

例1如圖1，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，N是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則A′C長(zhǎng)度的最小值是________.

圖1

圖2

解析：因?yàn)镸是AD邊的中點(diǎn)，A′M=AM=1，所以點(diǎn)A′在以M為圓心，1為半徑的圓上，因此連接CM，當(dāng)點(diǎn)A′落在CM上時(shí)A′C的長(zhǎng)度最小.如圖2，過(guò)M點(diǎn)作MH⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，則由已知可得，在Rt△DHM中，DM= 1，∠HDM=60°，所以HD=

例2如圖3，在正方形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E、F分別從D、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，以相同的速度在邊DC、CB上移動(dòng).連接AE和DF交于點(diǎn)P，由于點(diǎn)E、F的移動(dòng)，使得點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，若AD=2，試求出線段CP的最小值.

解析：由于點(diǎn)E、F的移動(dòng)速度相同，可得△EAD≌△FDC，所以∠EAD=∠FDC；因?yàn)椤螰DC+∠FDA= 90°，所以∠EAD+∠PDA=90°，因此點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)中保持∠APD=90°，所以點(diǎn)P的路徑是一段以AD為直徑的弧，設(shè)AD的中點(diǎn)為O，連接OC交弧于點(diǎn)P，如圖4，此時(shí)CP的長(zhǎng)度最小，再由勾股定理可得OC=

圖3

圖4

例3如圖5，∠BAC=60°，半徑為1的⊙O與∠BAC的兩邊相切，P為⊙O上一動(dòng)點(diǎn)，以P為圓心，PA長(zhǎng)為半徑的⊙P交射線AB、AC于D、E兩點(diǎn)，連接DE，則線段DE長(zhǎng)度的最大值為_(kāi)_________.

圖5

圖6

二、“弧的中點(diǎn)”為“圓上動(dòng)點(diǎn)到定線距離之最值”的極端位置

例4如圖7，⊙O的半徑是2，直線l與⊙O相交于A、B兩點(diǎn)，M、N是⊙O上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線l的異側(cè)，若∠AMB=45°，則四邊形MANB面積的最大值是_________.

圖7

圖8

解析：過(guò)點(diǎn)O作OC⊥AB于點(diǎn)C，交⊙O于D、E兩點(diǎn)，連接OA、OB、DA、DB、EA、EB，如圖8，因?yàn)椤螦MB=45°，所以∠AOB=2∠AMB=90°，所以△OAB為等腰直角三角形，所以AB=

因?yàn)镾四邊形MANB=S△MAB+S△NAB，所以當(dāng)M點(diǎn)到AB的距離最大時(shí)，△MAB的面積最大；當(dāng)N點(diǎn)到AB的距離最大時(shí)，△NAB的面積最大，即M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，此時(shí)四邊形MANB面積的最大值=S四邊形DAEB=S△DAB+S△EAB=

例5如圖9，已知在邊長(zhǎng)為8的正方形ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，P在過(guò)A、E、D三點(diǎn)的圓上，則△APE面積的最大值是_________.

圖9

圖10

解析：設(shè)圓心為O，由垂徑定理得，點(diǎn)P在AE的垂直平分線上時(shí)，點(diǎn)P到AE的距離最大，△APE面積的最大，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AD于點(diǎn)F，連接AO，如圖10，設(shè)圓的半徑為r.因?yàn)辄c(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，所以BE=4.在Rt△AOF中，AO2= AF2+OF2，即r2=42+（8-r）2，解得r=5.在Rt△ABE中，AE=，設(shè)PO與AE的交點(diǎn)為G，則.在Rt△AOG中，OG=，所以PG=5+.所以△APE的最大面積

三、“切線切點(diǎn)”為“有關(guān)角度之最值”的極端位置

例6在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（2，0），以A為圓心，1為半徑作⊙A，若P（x，y）是⊙A上任意一點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)________.

圖11

例7我們規(guī)定：線段外一點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)連線所構(gòu)成的角叫做這個(gè)點(diǎn)對(duì)這條線段的視角.如圖12，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)D（0，4），E（0，1）.點(diǎn)G為x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)G對(duì)線段DE的視角∠DGE最大時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo).

解析：經(jīng)過(guò)點(diǎn)D、E的⊙P，根據(jù)圓內(nèi)角、圓周角、圓外角三者的關(guān)系，當(dāng)⊙P與x軸相切于點(diǎn)G時(shí)，視角∠DGE最大.由垂徑定理得，點(diǎn)P在DE的垂直平分線上；由切線性質(zhì)得，點(diǎn)P在過(guò)點(diǎn)G且與x軸垂直的直線上，所以PE=PG=

圖12