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    輕沙走馬路無(wú)塵
    ——談數(shù)學(xué)解題的三重境界

    2015-05-05 09:21:22江蘇省海安縣曲塘中學(xué)徐成武
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年7期
    關(guān)鍵詞:軸式中學(xué)數(shù)學(xué)境界

    ☉江蘇省海安縣曲塘中學(xué) 徐成武

    輕沙走馬路無(wú)塵
    ——談數(shù)學(xué)解題的三重境界

    ☉江蘇省海安縣曲塘中學(xué) 徐成武

    高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的初級(jí)目的是為了提高學(xué)生應(yīng)試的水平,提高其在高考中的應(yīng)試分?jǐn)?shù),這是絕大部分學(xué)生在中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)中比較切合實(shí)際的目標(biāo).另一方面,課程改革在穩(wěn)步前行,課程改革的目標(biāo)非常清晰:要致力于學(xué)生對(duì)形式化數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解,加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)應(yīng)用的實(shí)踐,逐步滲透數(shù)學(xué)思想方法于數(shù)學(xué)教學(xué)之中,不斷培養(yǎng)學(xué)生在數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程中的創(chuàng)新意識(shí)和思維導(dǎo)向的指導(dǎo),既形成扎實(shí)的基本功,也形成一定的運(yùn)用、創(chuàng)新能力.

    陜西師大羅增儒教授在談到如何解題時(shí),曾經(jīng)這樣談及:對(duì)教師而言,首先要會(huì)做題,這是起碼的基本能力,其次是會(huì)變題,能通過(guò)一個(gè)問(wèn)題變換到一類問(wèn)題,進(jìn)而解決是更高思維邏輯的體現(xiàn),最后是用思想方法歸類解題,這是最高境界的體現(xiàn),當(dāng)學(xué)會(huì)了從思想方法的高度來(lái)看如何解數(shù)學(xué)問(wèn)題,那么中學(xué)數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的方法永遠(yuǎn)是那么幾類.筆者思索羅教授在《解題學(xué)導(dǎo)論》中的一席話,將其落地生根、更接中學(xué)數(shù)學(xué)解題而言,應(yīng)該恰好可以理解為中學(xué)數(shù)學(xué)解題教學(xué)的三種境界:其一,如何解一般問(wèn)題,這里不外乎數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的基本手段(包括熟練化、系統(tǒng)化、反思等),筆者稱之為一維數(shù)軸式的解題;其二,如何解一類問(wèn)題,稍難的數(shù)學(xué)問(wèn)題都可以深化、研究,將其歸納小結(jié),通過(guò)一個(gè)問(wèn)題可以引導(dǎo)學(xué)生解決一類問(wèn)題,筆者稱之為二維坐標(biāo)式的解題;最后,針對(duì)一系列問(wèn)題,總結(jié)其問(wèn)題解決的思想方法,站在更高的位置來(lái)看待問(wèn)題的解決,這是數(shù)學(xué)解題的更高境界,筆者稱之為三維空間式的解題.將解題教學(xué)用三種螺旋式上升關(guān)系進(jìn)行合理銜接,正是解題教學(xué)的三重境界.本文從案例結(jié)合的角度,探討解題教學(xué)如何層層遞進(jìn),讓師生在不知不覺(jué)中感受數(shù)學(xué)解題的魅力.

    境界一:一維數(shù)軸式解題

    單一的解題,是指僅僅孤立地解決問(wèn)題.在新知學(xué)習(xí)階段,學(xué)生往往處于一維數(shù)軸式的處理模式.為何如此比喻呢?數(shù)學(xué)家王元說(shuō)過(guò):數(shù)學(xué)知識(shí)像分布在數(shù)軸上的數(shù),比方說(shuō)數(shù)字0猶如集合,隨著認(rèn)識(shí)的增加,我們認(rèn)識(shí)了數(shù)字1,這就是集合之后的函數(shù)內(nèi)容,只有一個(gè)個(gè)數(shù)字的學(xué)習(xí)、認(rèn)知才能將數(shù)軸上的數(shù)字逐一認(rèn)識(shí),這里的過(guò)程正是單一模式的解決問(wèn)題.筆者認(rèn)為,教師解題教學(xué)的首要問(wèn)題是如何學(xué)會(huì)一維數(shù)軸式解題,這需要學(xué)生三個(gè)方面的提升:首先是數(shù)學(xué)概念的認(rèn)知和內(nèi)化,用王元教授的話說(shuō)即是基本保障;其次是典型問(wèn)題的感知、感悟,這是將概念落到實(shí)處的體現(xiàn);最后是一定的鞏固訓(xùn)練,對(duì)于單一數(shù)軸式解題的提高和培養(yǎng),不必要以題海訓(xùn)練模式進(jìn)行低效反復(fù)操作從而使學(xué)生喪失學(xué)習(xí)積極性.因此,將上述環(huán)節(jié)有條不紊、循序漸進(jìn)地展開(kāi),是做好解題教學(xué)第一重境界的基本.

    案例1:判斷△ABC解的個(gè)數(shù)(必修5第一章正弦定理習(xí)題).

    問(wèn)題:在△ABC中,由下列各組條件求解三角形,其中有兩個(gè)解的是_________________.

    ①b=20,A=45°,C=80°;②a=30,c=28,B=60°;

    ③a=14,b=16,A=45°;④a=12,c=15,A=120°;

    利用正弦定理判斷△ABC解的個(gè)數(shù)的可能性,從實(shí)際教學(xué)效果來(lái)看,學(xué)生掌握的程度離教師的期望是比較遠(yuǎn)的.筆者認(rèn)為學(xué)生并沒(méi)有認(rèn)識(shí)到該知識(shí)的一維數(shù)軸式上的重點(diǎn):(1)何種三角形才會(huì)有兩解?(2)有多解的三角形如何判斷?因此筆者認(rèn)為,解決問(wèn)題之前,先解決該知識(shí)的基本環(huán)節(jié)(如表1和表2).

    表1

    表2

    在學(xué)生掌握上述基礎(chǔ)知識(shí)后,繼續(xù)解決給出的相關(guān)問(wèn)題.

    分析:對(duì)于①,AAS,必定一解;

    對(duì)于②,SAS,必定一解;

    對(duì)于③,SSA,sinA<1且a<b,兩解;

    對(duì)于④,SSA,且C>A=120°,無(wú)解;

    對(duì)于⑤,SSS,必定一解;

    對(duì)于⑥,SSA,sinB=1,一解.

    說(shuō)明:從本題的教學(xué)可以看出,筆者引導(dǎo)學(xué)生解決問(wèn)題的步驟是按照學(xué)生認(rèn)知的三個(gè)步驟進(jìn)行的,既有數(shù)學(xué)概念、性質(zhì)的回顧,也有對(duì)其問(wèn)題解決過(guò)程的啟發(fā)和引導(dǎo),并在問(wèn)題解決最后以同一知識(shí)類型問(wèn)題給予鞏固,這樣的解決方式對(duì)于單一知識(shí)的問(wèn)題解決是比較完備的,在一維數(shù)軸式上的知識(shí)點(diǎn)解決也是線性的、系統(tǒng)化的,讓學(xué)生在解題第一重境界的領(lǐng)悟上做到扎實(shí)有序、循序漸進(jìn).

    境界二:二維坐標(biāo)式解題

    如果說(shuō)一維數(shù)軸式解題教學(xué)是橫向的一種實(shí)施,那么教師完善解題教學(xué)的第二境界需要對(duì)解題教學(xué)進(jìn)行縱向的嘗試.一維數(shù)軸式解題是對(duì)單一知識(shí)的解決,但是單一知識(shí)存在著知識(shí)點(diǎn)運(yùn)用的簡(jiǎn)單性、直接性,使得學(xué)生無(wú)法將復(fù)雜問(wèn)題通過(guò)純粹單一解題進(jìn)行鞏固訓(xùn)練提升,必須依賴對(duì)知識(shí)更深程度的分析,通過(guò)縱向的一種變化來(lái)加強(qiáng).筆者認(rèn)為這種方式加強(qiáng)的數(shù)學(xué)解題教學(xué),是對(duì)知識(shí)間聯(lián)系的一種整合,它有利于知識(shí)之間交叉混合解決問(wèn)題,是對(duì)前一種境界的提升.華師大張奠宙教授專門就新課程下與時(shí)俱進(jìn)的“雙基”提出了獨(dú)到的見(jiàn)解:傳統(tǒng)的“雙基”是指加強(qiáng)學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,但是這遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠,而今數(shù)學(xué)教學(xué)還需要將這些基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行合理整合的使用,我認(rèn)為方式可以是一題多解加深知識(shí)間的銜接,或者是一題多變的探索,通過(guò)一個(gè)問(wèn)題加深一類問(wèn)題的解決,這種方式才是與時(shí)俱進(jìn)的“雙基”.筆者認(rèn)為,二維坐標(biāo)式的數(shù)學(xué)解題教學(xué)正是符合了這一精神的教學(xué)所在.

    案例2:在△ABC中,M是BC的中點(diǎn),AM=3,BC=10,則___________.

    分析:學(xué)生思考后提出兩種解法,一是根據(jù)問(wèn)題結(jié)論的普適性,通過(guò)特例“正三角形”得出答案;二是利用平面向量基本定理將未知向量用已知向量進(jìn)行分解的一般化處理方法.教師在對(duì)這兩種方法做出評(píng)價(jià),肯定了學(xué)生的思考后,提問(wèn)有沒(méi)有更好的方法.在學(xué)生思考不得其所時(shí),給出“平行四邊形兩條對(duì)角線的平方和等于四條邊的平方和”的證明過(guò)程,啟發(fā)學(xué)生通過(guò)自主閱讀,從該命題證明|a+b|2+|a-b|2的過(guò)程中來(lái)尋找啟動(dòng)問(wèn)題的原型a·b的處理方式,由學(xué)生來(lái)推導(dǎo)得到最終將其應(yīng)用于啟動(dòng)問(wèn)題,起到了最大程度簡(jiǎn)化的作用,使學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到了該恒等式的價(jià)值所在.

    變式1:在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=2,D、E是線段BC上兩點(diǎn),且的取值范圍是________.(在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)進(jìn)行鞏固,即學(xué)即用,使學(xué)生進(jìn)一步看到“極化恒等式”的應(yīng)用價(jià)值,從而引出學(xué)生繼續(xù)深入學(xué)習(xí)的熱情)

    變式2:在半徑為1的扇形AOB中,∠AOB=60°,C為弧上的動(dòng)點(diǎn),AB與OC交于點(diǎn)P,則的最小值是_______.

    變式3:已知a·b=0,向量c滿足(c-a)·(c-b)=0,|ab|=5,|a-c|=3,則a·c的最大值為_(kāi)_______.(難度逐次遞進(jìn),但與啟動(dòng)問(wèn)題同根同源.通過(guò)習(xí)題的巧妙編排,使學(xué)生不斷地思考,在思考中鞏固、深化、提高)

    歸納:上述“向量恒等式”使用的適用條件:共起點(diǎn)的向量求數(shù)量積的值或范圍,在已知三角形中有一邊確定或其范圍一定.

    說(shuō)明:從本題的變換可以看出,一個(gè)問(wèn)題涉及數(shù)個(gè)一維數(shù)軸式的知識(shí)點(diǎn),將一個(gè)問(wèn)題進(jìn)行變化探究和多角度分析,可以較為高效地提高從一個(gè)典型問(wèn)題輻射一類問(wèn)題,即在用數(shù)量積求取值范圍相關(guān)問(wèn)題時(shí)如何利用向量恒等式這是新課程教學(xué)在指導(dǎo)我們解題教學(xué)時(shí)需要注意的.

    境界三:三維空間式解題

    如果說(shuō)將高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的基本功和常規(guī)問(wèn)題熟練化做得非常完美的話,也就是上述兩個(gè)緯度的解題做到了比較完善,筆者認(rèn)為還能對(duì)學(xué)生更好的指導(dǎo)來(lái)自數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué).課程標(biāo)準(zhǔn)制定參與者北師大張英伯教授對(duì)于數(shù)學(xué)解題教學(xué)給出了這樣的總結(jié)性話語(yǔ):中學(xué)數(shù)學(xué)要傳授解題,但更要傳授在這背后所呈現(xiàn)的思想方法,我認(rèn)為能力性的思想方法主要是轉(zhuǎn)化與化歸思想,這一思想方法是貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的始終,除此之外諸如函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想等知識(shí)性的思想方法屬于第二層次,中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中教師要多給予這種轉(zhuǎn)換的指導(dǎo),有利于學(xué)生問(wèn)題解決能力的培養(yǎng)以及數(shù)學(xué)解題能力的提高.因此,筆者將思想方法滲透的解題教學(xué)稱之為三維空間式的解題,站在系統(tǒng)的高度解決數(shù)學(xué)問(wèn)題,做到輕沙走馬路無(wú)塵. 2)2+(y-2)2=2,這是一個(gè)以點(diǎn)(2,2)為圓心、√2為半徑的圓,作出圖像(如圖1),從圖中可知兩向量、的夾角的取值范圍是

    圖1

    說(shuō)明:反觀本題的解決并非太難,甚至很多學(xué)生都覺(jué)得不過(guò)如此,按照自身實(shí)際能力也能解決.但問(wèn)題真正難在哪里?難在具備數(shù)學(xué)思想方法的眼光!拋開(kāi)問(wèn)題給出的答案,筆者曾經(jīng)嘗試過(guò),四十五位同學(xué)中具備利用正確的數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的人不超過(guò)五位,可見(jiàn)學(xué)生往往在問(wèn)什么想什么!根本不可能站在系統(tǒng)的高度思考一個(gè)問(wèn)題.反思本題,用到的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)并不難,知識(shí)之間的鏈接整合也不是觸摸不到,難的是無(wú)法找到合適的切入點(diǎn)找到正確的思想方法,進(jìn)而選取最簡(jiǎn)捷的數(shù)形結(jié)合方式.

    總之,新課程數(shù)學(xué)解題教學(xué)不能仿似傳統(tǒng)解題教學(xué)以大量訓(xùn)練替代,而且課程改革改變了數(shù)學(xué)解題教學(xué)的理念,讓教師不斷從效率角度提升解題教學(xué),筆者經(jīng)過(guò)思考認(rèn)為層層遞進(jìn)、螺旋式上升的解題教學(xué)是提升學(xué)生問(wèn)題解決能力的關(guān)鍵.從知識(shí)點(diǎn)的熟練扎實(shí),到知識(shí)橫縱整合,到最后從思想方法的高度進(jìn)行滲透,將優(yōu)秀學(xué)生的問(wèn)題解決能力進(jìn)行更好的提升,久而久之形成體系的解題教學(xué)才能成為適應(yīng)新課程的高效教學(xué).

    1.羅增儒.數(shù)學(xué)解題導(dǎo)論[M].西安:陜西師范大學(xué)出版社,2002.

    2.張奠宙.再談數(shù)學(xué)雙基[J].數(shù)學(xué)教學(xué),2013(8).

    3.金鳳明.庖丁解牛與數(shù)學(xué)解題[J].上海中學(xué)數(shù)學(xué),2008(4).A

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