幾類具代數(shù)或指數(shù)衰減的層問題

楊雪潔， 周有順

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241003)

幾類具代數(shù)或指數(shù)衰減的層問題

楊雪潔， 周有順

(安徽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241003)

主要研究了幾類二階非線性方程的奇攝動(dòng)Dirichlet問題的邊界層和角層現(xiàn)象.在適當(dāng)?shù)臈l件下，利用界定函數(shù)法和微分不等式理論證明了這幾類問題呈邊界層和角層性態(tài)的解的存在性，并給出了解的漸近估計(jì).

奇攝動(dòng)；邊界層；角層；微分不等式理論

引 言

εy″=F(t,y,y′)，

(1)

y(a,ε)=A,y(b,ε)=B

(2)

的解的邊界層及內(nèi)層現(xiàn)象，并給出該問題在不同條件下的解在邊界層和內(nèi)層處呈指數(shù)型衰減或呈代數(shù)型衰減的性態(tài).假設(shè)：

(3)

1 相關(guān)定義及引理

為了敘述方便，仿文獻(xiàn)[8]，對(duì)滿足假設(shè)[H1]的上述退化軌道u=u(t)，給出如下定義：

且在D0(u)中

其中正值連續(xù)函數(shù)d(t,δ1)滿足

(4)

且在D1(u)中

其中d(t,δ1)與定義1中一致.

且在D2(u)中

其中d(t,δ1)與定義1中一致.

Fy′(t,y,y′)≥0.

Fy′(t,y,y′)≤0，

其中D(u):={(t,y,y′)|a≤t≤b,t≠t0,|y-u(t)|≤d(t,δ1),|y′|<+∞}，d(t,δ1)與定義1中一致.

定義5[9]設(shè)α(t),β(t)∈C[a,b]，在[a,b]上α(t)≤β(t),F(t,y,y′)∈C([a,b]×[α(t),β(t)]×R)，稱F(t,y,y′)在[a,b]上關(guān)于α(t)和β(t)滿足Nagumo條件，如果存在[0,+∞)上的連續(xù)函數(shù)φ(s)>0，使得對(duì)于a≤t≤b,α(t)≤y≤β(t),|y′|<+∞，有

|f(t,y,y′)|≤φ(|y′|)

且

引理[10]如果存在連續(xù)函數(shù)α(t),β(t)滿足

α(t)<β(t),t∈(a,b)，

α(a)≤A≤β(a),

α(b)≤B≤β(b)，

另外，存在[a,b]的某個(gè)分劃：a=t0

α″(t)≥F(t,α(t),α′(t)),

(5)

β″(t)≤F(t,β(t),β′(t)),

(6)

有解y=y(t)∈C2[a,b]，使得在[a,b]上有α(t)≤y(t)≤β(t).

2 主要結(jié)果

為了敘述方便，給出如下假設(shè)：

[H2]F,Fy,Fy′∈C(D(u)),其中D(u)與定義4中一致，在[a,b]×R2的緊子集內(nèi)，F(xiàn)y′(t,y,y′)有界，且當(dāng)(t,y)∈[a,b]×R的緊子集時(shí)，有F(t,y,y′)=O(y′2),(|y′|→+∞).

定理1 假設(shè)[H1]和[H2]成立，(3)式定義的退化軌道u=u(t)在[a,b]上是局部弱穩(wěn)定且(Iq)穩(wěn)定的，則存在ε0>0，使得當(dāng)0<ε≤ε0時(shí)，問題(1)-(2)在[a,b]上存在解y=y(t,ε)，滿足

|y(t,ε)-u(t)|≤WL(t,ε)+VI(t,ε)+Γ(ε)，

其中

證明 下文中的EST代表當(dāng)ε→0+時(shí)的指數(shù)型小項(xiàng).

α(t,ε)=u(t)-WL(t,ε)-Γ(ε),

β(t,ε)=u(t)+WL(t,ε)+VI(t,ε)+Γ(ε).

顯然

令δ0=min{δ1,δ2}，其中δ1,δ2分別由定義1和定義4給出.下證當(dāng)t∈[a,t0)∪(t0,b]時(shí)，有

εβ″-F(t,β,β′)≤0

(12)

和

εα″-F(t,α,α′)≥0.

(13)

(14)

(15)

其中ξ是介于u′與β′之間的任意一點(diǎn)，故取定

r=2C1+max{‖u″L‖,‖u″R‖}

(16)

其中

另一方面，當(dāng)t∈[a,b]時(shí)，對(duì)(16)取定的r>0，只要

就有

(17)

又由于

所以存在ε4>0，使得當(dāng)t∈[a,b]且0<ε<ε4時(shí)，有

(18)

(19)

故當(dāng)0<ε≤min{ε2,ε3,ε4,ε5}且a≤t≤b時(shí)，

WL+VI+Γ(ε)

(20)

從而在[a,t0)∪(t0,b]上有

(21)

Fy′(t,y,ξ)≥0,

(22)

Fy′(t,y,ξ)≤0，

(23)

其中ξ2介于u′與β′之間，η2介于u和β之間，對(duì)(16)式給定的r>0，當(dāng)0<ε≤ε0時(shí)，(14)，(15)及(21)式成立，故

其中‖u″‖=max{‖u″L‖,‖u″R‖}.

綜上所述，對(duì)(16)式給定的r>0，當(dāng)0<ε≤ε0時(shí)，對(duì)一切t∈[a,t0)∪(t0，b]，都有(12)式成立.

同理對(duì)(16)式給定的r>0，當(dāng)0<ε≤ε0時(shí)，對(duì)一切t∈[a,t0)∪(t0,b]，(13)式也成立.于是由[H2]根據(jù)引理知情形(i)得證.

α(t,ε)=u(t)-WL(t,ε)-VI(t,ε)-Γ(ε)，

β(t,ε)=u(t)+WL(t,ε)+Γ(ε).

仿情形(i)即可得證.

u(t)≤y(t,ε)≤u(t)+WL(t,ε)+VI(t,ε)+Γ(ε),

其中

證明 在[a,b]上定義

α(t,ε)=u(t)，

β(t,ε)=u(t)+WL(t,ε)+VI(t,ε)+Γ(ε).

顯然(7)-(11)及(13)成立.下證(12)式.

(24)

(25)

其中ξ是介于u′與β′之間的任意一點(diǎn).故取定

r=2C1+max{‖u″L‖,‖u″R‖}

(26)

其中

其中ξ2介于u′與β′之間，η2介于u與β之間，對(duì)(26)式給定的r>0，當(dāng)0<ε≤ε0時(shí)，(24)，(25)及(21)式成立，所以

其中‖u″‖=max{‖u″L‖,‖u″R‖}.

綜上所述對(duì)(26)式給定的r>0，當(dāng)0<ε≤ε0時(shí)，對(duì)一切t∈[a,t0)∪(t0,b]，都有(12)式成立.于是由[H2]根據(jù)引理知定理2得證.

u(t)-WL(t,ε)-VI(t,ε)-Γ(ε)≤y(t,ε)≤u(t)，

其中WL(t,ε),VI(t,ε)，Γ(ε)與定理2中一致.

證明 在[a,b]上定義

α(t,ε)=u(t)-WL(t,ε)-VI(t,ε)-Γ(ε),

β(t,ε)=u(t).

仿定理2即可得證.

3 應(yīng)用舉例

例1 考慮邊值問題

(27)

y(-1,ε)=0,y(1,ε)=1.

(28)

|y(t,ε)-|t||≤WL(t,ε)+VI(t,ε)+Γ(ε)，

其中

例2 考慮邊值問題

(29)

y(-1,ε)=1,y(1,ε)=1.

(30)

經(jīng)檢驗(yàn)，本例滿足定理2的所有條件，故問題(29)-(30)在[-1，1]上有解y=y(t,ε)滿足

0≤y(t,ε)-|t|≤WL(t,ε)+VI(t,ε)+Γ(ε)，

其中WL(t,ε)，VI(t,ε)，Γ(ε)與例1中一致.

[1] 溫朝暉，陳麗華，歐陽成，莫嘉琪.具有非線性邊界條件的奇攝動(dòng)微分系統(tǒng)邊值問題[J].數(shù)學(xué)研究，2011，44(3)：296-301.

[2] YAO Jingsun, CHEN Lihua, WEN Zhaohui, MO Jiaqi. Solving method for the single-kink soliton solution to a disturbed coupled burgers system[J]. Chinese Physica Letters, 2011,28(8):1-4.

[3] 劉樹德，魯世平，姚靜蓀，陳懷軍.奇異攝動(dòng)邊界層和內(nèi)層理論[M].北京：科學(xué)出版社，2012：51-57.

[4] ZHOU Xianchun, YAO Jingsun, MO Jiaqi. Asymptotic solving method for sea-air coupled oscillator ENSO model[J]. Chin Phys B, 2012,21(3):5-9.

[5] YAO Jingsun, LIN Wantao, DU Zengji, MO Jiaqi. Asymptotic solving method for period solution to a class of disturbed nonlinear evolution equation[J]. Chin Phys B, 2012,21(12).

[6] 秦趙娜，姚靜蓀.具有局部弱穩(wěn)定退化解二階非線性方程的奇攝動(dòng)問題[J]吉林大學(xué)學(xué)報(bào)：理學(xué)版，2013，51(5)：819-825.

[7] ZHOU Kehao, YAO Jingsun, QIN Zhaona. The angular layer phenomena for a class of singularly perturbed nonlinear boundary value problems[J]. Mathematica Applicata, 2013,26(4):881-887.

[8] CHANG K W， HOWES F A. Nonlinear singular perturbation phenomena: theory and applications[M]. New York: Springer-verlag, 1974:26-71.

[9] 倪明康，林武忠.邊界層函數(shù)法在微分不等式中的應(yīng)用[J].華東師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2007，5(3)：1-10.

[10] 周明儒，杜增吉，王廣瓦.奇攝動(dòng)中的微分不等式理論[M].北京：科學(xué)出版社，2012：10-19.

Several Classes of Problems with Algebraic or Exponential Decay Layers

YANG Xue-jie, ZHOU You-shun

(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241003, China)

In this paper, we mainly study boundary layer and angular layer phenomenons for several classes of singulary perturbed Dirichlet problems of second-order nonlinear equations. Under certain conditions, the existence of the problems' solutions which exhibits boundary layer and angular layer behavior is proved and the asymptotic estimation of solutions is given by the method of bounding functions and the theory of differential inequalities.

singular perturbation; boundary layer; angular layer; the theory of differential inequality

10.14182/J.cnki.1001-2443.2015.05.003

2015-01-10

國家自然科學(xué)基金(11271020).

楊雪潔(1989-)，女，漢安徽阜陽人，碩士研究生，研究方向?yàn)槠娈悢z動(dòng)理論及其應(yīng)用.

楊雪潔，周有順.幾類具代數(shù)或指數(shù)衰減的層問題[J].安徽師范大學(xué)學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2015，38(5)：419-426.

O175.14

A

1001-2443(2015)05-0419-08