高中導(dǎo)數(shù)教學(xué)中的例題解答應(yīng)用研究

摘 要：對(duì)于高中時(shí)期的數(shù)學(xué)教學(xué)與學(xué)習(xí)而言，導(dǎo)數(shù)是一個(gè)十分關(guān)鍵的內(nèi)容，特別是對(duì)函數(shù)解題及后來(lái)的微積分知識(shí)掌握。不僅如此，導(dǎo)數(shù)還能夠應(yīng)用在日常生活與工作的實(shí)踐過(guò)程中。高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)這一部分內(nèi)容設(shè)定的學(xué)習(xí)目標(biāo)就是讓學(xué)生可以正確、深入的了解導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵，并可以熟悉相關(guān)的求導(dǎo)法則與規(guī)律，較為清晰的辨別函數(shù)間的關(guān)系。筆者首先介紹了導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，即導(dǎo)數(shù)的內(nèi)涵、與理論、實(shí)踐意義。之后，又以幾個(gè)典型的例題為依據(jù)講解了導(dǎo)數(shù)在實(shí)際解題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)；應(yīng)用

與函數(shù)一樣，導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中所占位置也是特別高的，且在歷年的高考中占較高比例。導(dǎo)數(shù)不僅僅是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，還是微積分知識(shí)掌握的關(guān)鍵前提。

一、導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

導(dǎo)數(shù)的全稱(chēng)是導(dǎo)函數(shù)，它的主要內(nèi)容產(chǎn)生于瞬時(shí)速度。詳細(xì)而言，就是當(dāng)函數(shù)f（x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，對(duì)于開(kāi)區(qū)間（a，b）中的所有x0均對(duì)應(yīng)一個(gè)導(dǎo)數(shù)f'（x0），那么f（x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)也就構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)，稱(chēng)之為f（x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)，記作。站在幾何的角度上講，函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)意義為曲線y=f（x）在點(diǎn)A（x0，f（x0））處的切線斜率。也就是說(shuō)，曲線y=f（x）在點(diǎn)p（x0，f（x0））處的切線的斜率是f'（x0），那么切線的方程就是y-y0=f'（x0）（x-x0）。站在物理學(xué)的角度來(lái)看，導(dǎo)數(shù)的意義在于瞬時(shí)速率與變化率，代數(shù)意義為函數(shù)的增減速率。

二、導(dǎo)數(shù)的典型應(yīng)用

1.三角函數(shù)求導(dǎo)

例1.已知y=（1+cos2x）2，求y'。該題實(shí)際上是一個(gè)十分典型的導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題，而在解答該題過(guò)程中學(xué)生可能出現(xiàn)問(wèn)題的最主要原因就是對(duì)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)計(jì)算掌握不夠。解題當(dāng)中出現(xiàn)的2x和x盡管系數(shù)不同，但同樣還也是復(fù)合過(guò)程，有很大一部分同學(xué)都而在解題過(guò)程中有的同學(xué)忽視了沒(méi)有意識(shí)到這一問(wèn)題，最終解得答案：y'=-2sin2x（1+cos2x）。在了解了這一題目的考察知識(shí)點(diǎn)后，學(xué)生便可以非常順利的得出正確答案了。第一步，設(shè)y'=u2，u=1+cos2x，化簡(jiǎn)可得yx'=yuux=2u（1+cos2x）=2u（-sin2x）·（2x）=2u（-sin2x）·2=-4sin2x（1+cos2x）。如此，就得解答出了正確答案。

2.函數(shù)極值

求函數(shù)在指定區(qū)間內(nèi)的極值是高中數(shù)學(xué)中出現(xiàn)頻率較高的一類(lèi)題目。經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，若函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在某區(qū)間的兩側(cè)符號(hào)不同，那么該函數(shù)在這一區(qū)間中必然有極大值或極小值。通常情況系，在解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)都是最先明確函數(shù)的定義域，之后再求導(dǎo)。最后，再明確區(qū)間兩側(cè)的符號(hào)，最終確定該函數(shù)的極值。這類(lèi)解題問(wèn)題會(huì)以不同的方式出現(xiàn)，但歸根結(jié)底還要?dú)w納到函數(shù)求導(dǎo)上。以下將以例2為例介紹導(dǎo)數(shù)在函數(shù)求極值中的應(yīng)用。

例2.設(shè)函數(shù)f（x）=2x3+3ax2+3bx+8c在x=1和x=2時(shí)有極值。（1）求a、b的值；（2）若對(duì)于任意的x∈[0，3]，都有f（x）

分析該題不難發(fā)現(xiàn)，這實(shí)際上就是通過(guò)導(dǎo)數(shù)求極值的問(wèn)題，只是在應(yīng)用過(guò)程中產(chǎn)生了變化，但其本質(zhì)與原理依然不變。

解：（1）f'（x）=6x+6ax+3b，由于函數(shù)f（x）在x=1與x=2處有極值，那么f'（1）=0，f'（2）=0。將其代入函數(shù)可得a=-3，b=4。

（2）由（1）可知f'=2x3-9x2+12x+8c，f'（x）=6x2-18x+12=6（x-1）（x-2）。當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，f'（x）>n；當(dāng)x∈（1，2）時(shí)，f'（x）<0；當(dāng)x∈二（2，3）時(shí)，f'（x）>0.因此，當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極大值f（1）=5+8c，又f（0）=8c，f（3）=9+8c。那么當(dāng)∈[0，3]時(shí)，f（0）的最大值為f（3）=9+8c。由于x取[0，3]的任意一個(gè)值時(shí)y值都9。所以，c的取值范圍為（-∞，-1）U（9，+∞）。答案：（1）a=-3，b=4；（2）c的取值范圍為（-∞，-1）U（9，+∞）。

深入分析之后可以得出，該題是一個(gè)典型的通過(guò)通過(guò)導(dǎo)數(shù)求極值的問(wèn)題，且形式也未發(fā)生太多變化，僅考查了學(xué)生借助導(dǎo)數(shù)求極值的普通解法。也就是先求導(dǎo)數(shù)f'（x）；之后再解f'（x）=0的根；最后再求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。這種解題方法有效的提升了學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與解題中的函數(shù)求導(dǎo)意識(shí)。

3.曲線切線

面對(duì)各式各樣的幾何題目，準(zhǔn)確、巧妙的使用導(dǎo)數(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)計(jì)算過(guò)程與解題方法的簡(jiǎn)單化。高中學(xué)習(xí)階段時(shí)常會(huì)看到坐標(biāo)系中的切線方程求解問(wèn)題，這類(lèi)問(wèn)題通常都會(huì)事先給出曲線外的某個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)，讓學(xué)生解出切線的方程。而在解答這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，大都是借助導(dǎo)數(shù)完成的。

例如已知曲線A的方程為y=f（x），求經(jīng)過(guò)點(diǎn)N（x0，y0）的曲線的切線方程。實(shí)際上解答該題時(shí)必然會(huì)用到導(dǎo)數(shù)的基本內(nèi)涵與解題方法。解答過(guò)程中先要明確N點(diǎn)有沒(méi)有在曲線A上。之后，獲得相應(yīng)的導(dǎo)數(shù)f（x）'，求得最終解。解答時(shí)必須要分情況討論，當(dāng)N點(diǎn)在曲線A上，得出切線方程為y-y0=f'（x0）（x-x0），如此便可得出最終解。但是當(dāng)N點(diǎn)不在曲線A上時(shí)，就要通過(guò)切點(diǎn)（x1，y1），因?yàn)閥1=f（x1），y0-y1=f'（x1）（x0，x1）。得出切點(diǎn)（x1，y1）的值，如此就獲得了該切線經(jīng)過(guò)的兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而也就獲得了通過(guò)N點(diǎn)的曲線A的切線方程了。最終，可將其用y-y1=f'（x1）（x-x1）。

三、結(jié)語(yǔ)

總而言之，若要將導(dǎo)數(shù)思想更加廣泛的應(yīng)用到高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與解題過(guò)程中，就要首先對(duì)這一概念的內(nèi)涵、本質(zhì)與解題方法進(jìn)行深入的了解與掌握。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用范圍十分廣泛，包括三角函數(shù)求導(dǎo)問(wèn)題、函數(shù)極值問(wèn)題及曲線切線方程問(wèn)題等。除此之外，在立體幾何、向量與解析幾何等問(wèn)題中同樣也可以應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，而且其應(yīng)用效果與范圍都十分理想。采用導(dǎo)數(shù)解題能夠極大的降低解題的難度，還能夠增加解題方法，從而使學(xué)生可以更加深入、全面的理解與熟悉導(dǎo)數(shù)，最終求得正確答案。

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