淺談行列式在求解線性方程組中的應(yīng)用

摘 要：行列式是現(xiàn)行高中普通課程標(biāo)準(zhǔn)中新增加內(nèi)容，目前有10多個(gè)省高考題中涉及行列式。本論文主要研究行列式在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，給出了行列式的發(fā)展史及基本性質(zhì)，并從立體幾何、平面幾何、解析幾何、因式分解、不等式、方程、分母有理化、數(shù)列、三角函數(shù)等方面闡述行列式在中學(xué)數(shù)學(xué)中的廣泛應(yīng)用。因此行列式在解決中學(xué)數(shù)學(xué)的問題具有不可替代的作用。

關(guān)鍵詞：行列式；求解；線性方程組；應(yīng)用數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)體現(xiàn)了基礎(chǔ)性、多樣性和選擇性，突出數(shù)學(xué)的人文價(jià)值，重視增加了數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)探究、數(shù)學(xué)文化等內(nèi)容，將數(shù)學(xué)置于一個(gè)更廣闊的景中，進(jìn)一步拓展學(xué)生的視野。崔俊芝院士建議高中數(shù)學(xué)應(yīng)該重視學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng)，重視數(shù)學(xué)思想和方法的形成過程，讓學(xué)生既學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，又學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想，學(xué)習(xí)用數(shù)學(xué)知識和思想表達(dá)與解決現(xiàn)實(shí)世界一般問題的方法和技能。

一、行列式理論研究

1.行列式理論發(fā)展史。1683 年，日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在《解伏題之法》中第一次提出了行列式這個(gè)概念.該書中提出了 2 2，3 3乃至 5 5的行列式，行列式被用來求解高次方程組。 1693 年，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨從三元一次方程組的系統(tǒng)中消去兩個(gè)未知量得到了一個(gè)行列式.這個(gè)行列式不等于零，就意味著有一組解同時(shí)滿足三個(gè)方程。由于當(dāng)時(shí)沒有矩陣這個(gè)概念，十九世紀(jì)五十年代，凱萊和詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特將矩陣的概念引入數(shù)學(xué)研究中。行列式和矩陣之間的密切關(guān)系使得矩陣論蓬勃發(fā)展的同時(shí)也帶來了許多關(guān)于行列式的新結(jié)果。萊布尼茨用數(shù)對來表示行列式中元素的位置：ij代表第 i 行第 j 列。

2.行列式的現(xiàn)代理論。定義1由 1，2，3，……，n組成的一個(gè)有序數(shù)組稱為一個(gè)n級排列。定義2在一個(gè)排列中，如果一對數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱為一個(gè)逆序，一個(gè)排列中逆序的總數(shù)就稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)。

二、行列式在求解線性方程組中的應(yīng)用

行列式是現(xiàn)行高中普通課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）中新增加內(nèi)容，行列式作為高等代數(shù)的基礎(chǔ)內(nèi)容安排在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中為高中學(xué)生理解數(shù)學(xué)基本原理、思想、方法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)知識的遷移能力，進(jìn)一步學(xué)習(xí)提供必要的數(shù)學(xué)準(zhǔn)備.行列式作為一種重要的數(shù)學(xué)工具引進(jìn)，從更高的角度、更便捷地解決了中學(xué)數(shù)學(xué)中的問題.

1.應(yīng)用行列式解決空間幾何問題。中學(xué)數(shù)學(xué)必修4和選修2-1已經(jīng)針對平面向量和空間向量有了較為深刻的研究，新課標(biāo)要求學(xué)生掌握空間向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積，在此基礎(chǔ)上我們引入空間向量的外積和混合積，探尋行列式的幾何意義，以新的視角去認(rèn)識向量與空間幾何的緊密關(guān)系，開辟新的解題思路和方法，為初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的銜接做好鋪墊。

2.行列式在平面幾何中的應(yīng)用。一些平面幾何問題，按照傳統(tǒng)的中學(xué)數(shù)學(xué)解題方法，一般比較困難，利用、行列式的知識解題可以將復(fù)雜的理論問題轉(zhuǎn)化為簡單的計(jì)算問題.

3.行列式在解析幾何中的應(yīng)用。利用齊次線性方程組有非零解的充要條件這一理論，能給出中學(xué)解析幾何中直線方程、圓錐曲線方程等的行列式形式。

三、行列式在中學(xué)代數(shù)領(lǐng)域中的應(yīng)用

每個(gè)多項(xiàng)式都可以表示成幾個(gè)多項(xiàng)式的和或者差，而每個(gè)多項(xiàng)式又可以表示成幾個(gè)多項(xiàng)式的乘積，因此利用行列式的定義，就可以將任一多項(xiàng)式表示成一個(gè)行列式，進(jìn)而利用行列式的性質(zhì)對其進(jìn)行分析.例如，設(shè)任一個(gè)多項(xiàng)式為 F，它總可以表示成為F = PQ - MN，其中 P ， Q，M，N為多項(xiàng)式，于是F=。

1.應(yīng)用行列式分解因式。應(yīng)用行列式進(jìn)行分解因式重在構(gòu)造，利用行列式的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算，以使得可以提取公因式.

3.應(yīng)用行列式求解方程。在中學(xué)數(shù)學(xué)中詳細(xì)介紹了一元二次方程的解法，而學(xué)生要解決未知數(shù)含根式或高次的方程就需要較強(qiáng)的解題技巧和思維能力，而采用行列式這個(gè)有用的數(shù)學(xué)工具去解決這類問題就可以取得事半功倍的效果。

四、結(jié)語

隨著新課程的開展，高等數(shù)學(xué)的思想方法在高中數(shù)學(xué)中滲透越來越深.行列式作為高等代數(shù)中的一個(gè)重要理論與重要工具，從更高的角度研究高中數(shù)學(xué)中的問題，將使學(xué)生從中學(xué)的解題思維定勢中解放出來，用更廣闊的眼光看中學(xué)數(shù)學(xué)問題.為了進(jìn)一步地培養(yǎng)學(xué)生對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，行列式在中學(xué)代數(shù)與幾何兩個(gè)方面的應(yīng)用，將高中數(shù)學(xué)知識融會貫通，同時(shí)發(fā)展學(xué)生發(fā)散思維，培養(yǎng)學(xué)生知識的遷移能力。

參考文獻(xiàn)：

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