初中數(shù)學(xué)中的“1”

摘要：作為一名初中數(shù)學(xué)教師，肩負(fù)多年的畢業(yè)班數(shù)學(xué)教學(xué)工作及年級的培優(yōu)輔導(dǎo)工作，深感學(xué)生學(xué)習(xí)上的困惑，學(xué)生分析問題、解決問題的能力及知識間的發(fā)散思維能力還有待提高。為了拓展學(xué)生的知識面，熟練數(shù)學(xué)中的一些題型，我把自己積累的知識和經(jīng)驗(yàn)做個(gè)總結(jié)，供師生參考。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué) 代數(shù) 幾何 “1”

談到“1”，很多人在熟悉不過了，“1”也是數(shù)學(xué)中最常見不過的數(shù)，如兩數(shù)互為倒數(shù)，則兩數(shù)的乘積為1，即x·1x=1（x≠0），a0=1（a≠0）等，“1”的妙用及題型在數(shù)學(xué)中應(yīng)用很多，現(xiàn)我把“1”在數(shù)學(xué)中有關(guān)試題及妙用列舉如下。

一、代數(shù)中的“1”

例一：求值問題

在學(xué)習(xí)零指數(shù)冪的法則時(shí)，有這樣一道題：已知：（m-2）m+1=1，求m得值。這個(gè)問題主要考查學(xué)生對所學(xué)知識的綜合應(yīng)用能力。一般學(xué)生做這道題時(shí)會(huì)根據(jù)現(xiàn)學(xué)知識a0=1（a≠0）進(jìn)行解答，如果對問題考慮不周全就會(huì)漏解。這個(gè)問題可分三種情況討論：（1）底數(shù)不為零的零次冪等于1；（2）1的任何次冪等于1；（3）（-1）的偶次冪等于1。所以這道題的解答如下：解：（1）m+1=0，m-2≠0時(shí)，可得：m=-1；（2）m-2=1，可得：m=3；（3）m-2=-1，（m+1）為偶數(shù)時(shí)，可得：m=1，綜上所述：m=-1或3或1。這道題也體現(xiàn)了分情況討論的數(shù)學(xué)思想。

在學(xué)習(xí)兩數(shù)和（差）的完全平方（a±b）2=a2±2ab+b2時(shí)，數(shù)學(xué)中常見的一種題型是已知：x±1x=3，求x2+1x2的值。這就巧用兩數(shù)互為倒數(shù)，則兩數(shù)的乘積為1，就是把已知條件x±1x=3兩邊同時(shí)平方，即可求解。求最值問題往往把有字母的式子變?yōu)槌朔e為1的形式。如（1）已知x>0，求x+4x的最小值；（2）已知x>0，求2x+1x2的最小值。解答如下：（1）根據(jù)a+b≥2ab，可得：∵x>0，∴x+4x≥2x·4x=2×4=4，所以x+4x的最小值為4；（2）根據(jù)a+b+c≥33abc，2x+1x2=x+x+1x2≥33x·x·1x2=3，所以2x+1x2的最小值為3。

例二：工程問題

在列方程解應(yīng)用題中，對工程問題的類型，在解答時(shí)可以把完成這項(xiàng)工作看成單位“1”。舉例如下：

為創(chuàng)建“全國文明城市”，某城市對一段公路進(jìn)行升級改造.已知這項(xiàng)工程由甲工程隊(duì)單獨(dú)做需要40天完成；如果這項(xiàng)工程由乙工程隊(duì)先單獨(dú)做10天，那么剩下的工程還需要兩隊(duì)合做20天才能完成.

（1）求乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需的天數(shù)；

（2）求兩隊(duì)合做完成這項(xiàng)工程所需的天數(shù).

分析：本題著重考查學(xué)生應(yīng)用分式方程解決實(shí)際問題的能力，在列方程時(shí)，應(yīng)把完成這項(xiàng)工程看成單位“1”，由題意知：甲每天完成這項(xiàng)工程的140，設(shè)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，，則乙每天完成這項(xiàng)工程的1x，最后完成了這項(xiàng)工程，就是乙的工作量+甲、乙合做的工作量=單位“1”。

解答：（1）設(shè)乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，根據(jù)題意得：

10x+1x+140×20=1

解之得：x=60 經(jīng)檢驗(yàn)：x=60是原方程的解.

（2）設(shè)兩隊(duì)合做完成這項(xiàng)工程所需的天數(shù)為y天，根據(jù)題意得：140+160y=1

解之得：y=24

（2）在做題中要充分利用已知條件中的“1”，弄清其意義所在。在初三同步學(xué)習(xí)中有這樣一道題：若ab=1，M=11+a+11+b，N=aa+1+bb+1，比較M與N的大小。在解這個(gè)題目中，學(xué)生往往采用作差法進(jìn)行比較，若M-N=0，則M=N；若M-N>0，則M>N；若M-N<0，則M

理由：M=11+a+11+b=abab+a+abab+b=aba（b+1）+abb（a+1）=bb+1+aa+1=N

或N=aa+ab+bb+ab=aa（1+b）+bb（1+a）=11+b+11+a=M

這道題若是選擇題或填空題，利用特例法令a=1，b=1代入M、N就可以得到M=N。

二、幾何中的“1”

在幾何中，證明定值為“1”的題目較多。列舉幾個(gè)例子，讓學(xué)生掌握幾何圖形中的內(nèi)在聯(lián)系。

例四：“1”在幾何中有這種1a+1b=1c類型的題目如何做呢？這就要求教師教給學(xué)生解決這類問題思路，先進(jìn)行變換證明ca+cb=1，通過三角形相似，找合適的量進(jìn)行等量代換，化為同分母的式子相加，且使分子之和等于分母，得出1，然后兩邊同除以c，就得到1a+1b=1c。

（1）已知：如圖AB∥CD，AD，BC相交于E，過E作EF∥AB交BD于F，求證：1AB+1CD=1EF；分析：欲證1AB+1CD=1EF，先證明EFAB+EFCD=1

解答過程如下：因?yàn)锳B∥CD， EF∥AB，所以AB ∥EF∥CD

所以△EFD∽△ABD，△BFE∽△BDC

所以EFAB=DFBD，EFCD=BFBD，又因?yàn)镈FBD+BFBD=1，EFAB+EFCD=1

所以1AB+1CD=1EF

例五：梅涅勞斯（Menelaus）定理是由古希臘數(shù)學(xué)家梅涅勞斯首先證明的。它指出：如果一條直線與△ABC的三邊AB、BC、CA或其延長線交于F、D、E點(diǎn)，那么AFFB·BDDC·CEEA=1。證明方法即可用相似三角形變換成ab·bc·ca=1來做，又可化為面積的比s1s2·s2s3·s3s1=1來做，請師生交流做法。在此基礎(chǔ)上我進(jìn)行了拓展變式。

題目如下：已知點(diǎn)O是△ABC內(nèi)任一點(diǎn)，AO交BC于點(diǎn)D，BO交AC于點(diǎn)E，CO交AB于點(diǎn)F，求證：AFFB·BDDC·CEEA=1。

解法如下：

因?yàn)锳FFB=SΔACFSΔBCF=SΔAOFSΔBOF=SΔACF-SΔAOFSΔBCF-SΔBOF=SΔAOCSΔBOC，

同理：BDDC=SΔAOBSΔAOC；CEEA=SΔBOCSΔAOB，

所以AFFB·BDDC·CEEA=SΔAOCSΔBOC·SΔAOBSΔAOC·SΔBOCSΔAOB=1。在此題目基礎(chǔ)上又進(jìn)行了拓展，供師生探究。

1.當(dāng)BD=CD時(shí)，連接EF，則EF∥BC；

2.當(dāng)EF∥BC時(shí)，BE與CF相交于點(diǎn)O，AO的延長線交BC于點(diǎn)D，則BD=CD。

在數(shù)學(xué)中，有關(guān)“1”的試題還有很多，教師要主動(dòng)接觸新事物，積極探索，善于總結(jié)，請師生繼續(xù)挖掘與探索。俗話說“學(xué)高為師”，我深知要想給別人一杯水，自己應(yīng)該有源源不斷的活水，只有不斷努力的學(xué)習(xí)和思考，才能做到與時(shí)俱進(jìn)，才會(huì)有創(chuàng)新，有發(fā)展。