巖石抗剪強(qiáng)度計算的穩(wěn)健回歸模型及其應(yīng)用探討

【摘 要】巖石工程在我們生活當(dāng)中非常常見，本文針對巖體結(jié)構(gòu)面力學(xué)參數(shù)的重要性，以大量工程實例為依據(jù)，以統(tǒng)計誤差分析相關(guān)理論為基礎(chǔ)，研究最小二乘法與M-估計法在分析結(jié)構(gòu)面抗剪強(qiáng)度參數(shù)時的適用性。通過工程實例表明，在試驗數(shù)據(jù)的相關(guān)性較好時，兩種方法的計算結(jié)果相差不大，但當(dāng)試驗數(shù)據(jù)的相關(guān)性較差，存在異常值時，穩(wěn)健回歸方法的計算結(jié)果要優(yōu)于最小二乘法。

【關(guān)鍵詞】巖石抗剪；強(qiáng)度計算；穩(wěn)健回歸模型；應(yīng)用

前言：

巖體中常常富含各種結(jié)構(gòu)面，其幾何特征和強(qiáng)度特性對工程巖體的穩(wěn)定性起著至關(guān)重要的作用，因此對結(jié)構(gòu)面抗剪強(qiáng)度的研究就顯得十分重要。實際工程中常用摩爾-庫侖準(zhǔn)則計算巖體抗剪強(qiáng)度參數(shù)c、φ值，以表征結(jié)構(gòu)面巖體的抗剪強(qiáng)度特征。獲取這些抗剪強(qiáng)度參數(shù)通常需做很多的試驗。受客觀因素的影響，構(gòu)造面發(fā)育特征區(qū)別大、力學(xué)性質(zhì)雜亂，加大了構(gòu)造面力學(xué)特性和參數(shù)取值的難度，所以，研討構(gòu)造面抗剪強(qiáng)度參數(shù)的取值尤其重要。當(dāng)前巖體構(gòu)造面抗剪強(qiáng)度線性回歸辦法首要包括點群中心法、最小二乘法、M-估值法等。點群中心法供給了一種粗略斷定構(gòu)造面抗剪強(qiáng)度參數(shù)的方法，其成果很簡單受實驗人員經(jīng)歷的影響。最小二乘法通過求誤差的平方和極小這一原理，在數(shù)據(jù)較為離散的情況下所得強(qiáng)度參數(shù)受異常粗差的影響較大，統(tǒng)計學(xué)家Huber[15]根據(jù)大量觀測數(shù)據(jù)分析指出粗差出現(xiàn)的概率約為1%∽10%。粗差被界說為比最大偶然差錯還要大的差錯，假如模型中包括了粗差，即便為數(shù)不多，仍將嚴(yán)峻曲解參數(shù)的最小二乘估量，影響成果的質(zhì)量。（正態(tài)分布）形式下，僅使該估量量有相應(yīng)的小誤差，且不致隨數(shù)據(jù)差錯增大而背離實在值，對于這一問題，提出經(jīng)過求誤差的絕對值的極小值來尋求最佳數(shù)據(jù)的穩(wěn)健估值即M-估計法。M-估計法的原則是要充分使用試驗數(shù)據(jù)（或樣本）中的有效信息，約束使用有害信息。但在不能斷定粗差的數(shù)量和比例的情況下，并不確定M-估量法仍是對實驗成果的穩(wěn)健估量。別的，巖體結(jié)構(gòu)具有內(nèi)涵的地質(zhì)規(guī)矩和表觀的隨機(jī)特性，抉擇了巖體的工程性質(zhì)將具有變異性和離散性，兩種方法適用與否都難以區(qū)分。

一、穩(wěn)健回歸方法M-估計簡介

在樹立計量經(jīng)濟(jì)模型時如果差錯項不服從正態(tài)分布，最小二乘法估量的結(jié)果就會嚴(yán)峻脫離現(xiàn)實，估量的精度也很差。而當(dāng)樣本數(shù)據(jù)富含強(qiáng)影響點或破例點（outli-ers）數(shù)據(jù)時，一般OLS估量出的殘差就不會是正態(tài)分布，而往往是偏尾的，其修補(bǔ)的辦法并不應(yīng)該是草率地除掉掉，由于有些強(qiáng)影響點數(shù)據(jù)并不是任何履行過錯所造成的，而是固有的數(shù)據(jù)變異性的結(jié)果，簡略地除掉它們，會致使重要的隱藏信息的丟掉。當(dāng)然，在回歸剖析中也不應(yīng)與正常數(shù)據(jù)相同對待，它們呈現(xiàn)的概率或頻率究竟很小，合理的做法———采用穩(wěn)健回歸（RobustRegression），以消除OLS對異常數(shù)據(jù)的易受影響性。對參數(shù)估計而言，若借以核算估計量的數(shù)據(jù)分布不均勻，存在異常值煩擾，但在這稍違背原假定的概率分布（正態(tài)分布）方式下，僅使該估計量有相應(yīng)的小差錯，且不致隨數(shù)據(jù)差錯增大而違背真實值，則稱為穩(wěn)健估計。最常用的穩(wěn)健回歸方法是由Huber在1964年提出的M-估計[1]，對于線性模型：

yi=β0+β1xi1+β2xi2+…+βkxik+εi=Xi′β+εi，對應(yīng)的樣本模型為：yi=β0+β1xi+β2xi2+…+βkxik+ei=Xi′β+ei（i=1，2，…，n），Huber提出的M-估計就是使目標(biāo)函數(shù)：

二、巖石抗剪強(qiáng)度確定的穩(wěn)健回歸模型

1、數(shù)據(jù)分析

巖石抗壓強(qiáng)度與巖石密度、聲波時差、巖石孔隙度以及地層深度等參數(shù)具有比較密切的關(guān)系。在這些參數(shù)中，聲波時差是測井資料中最齊全的，與巖石抗壓強(qiáng)度之間的關(guān)系也是最明顯的，一般以該數(shù)據(jù)為主建立巖石抗壓強(qiáng)度的回歸模型。地層深度、巖石密度、孔隙度等資料的影響程度往往是比較次要的，可以作為輔助數(shù)據(jù)來建立巖石抗壓強(qiáng)度的回歸模型。

巖石抗壓強(qiáng)度測試數(shù)據(jù)比較分散（見圖1、圖2），與單一參數(shù)的對應(yīng)性比較差，如巖石抗壓強(qiáng)度與聲波時差單一回歸時，相關(guān)系數(shù)（R2）僅為013457；巖石抗壓強(qiáng)度與地層深度單一回歸時，相關(guān)系數(shù)（R2）為017388。數(shù)據(jù)處理時發(fā)現(xiàn)巖石抗壓強(qiáng)度與其他參數(shù)的關(guān)系也不明確。這說明，巖石抗壓強(qiáng)度受多方面因素影響，計算巖石抗壓強(qiáng)度時應(yīng)建立多參數(shù)的回歸模型。

2、回歸模型的建立

巖石力學(xué)試驗數(shù)據(jù)分析可以看出，巖石抗壓強(qiáng)度數(shù)據(jù)代表了不同區(qū)塊，地理位置范圍較廣，井深差別較大，巖石抗壓強(qiáng)度并非某一單個參數(shù)的函數(shù)，而是與多個參數(shù)有關(guān)，如聲波時差，地層深度等。理論分析認(rèn)為，巖石抗壓強(qiáng)度與這些參數(shù)的關(guān)系不是簡單的線性關(guān)系。因此，多元回歸模型應(yīng)當(dāng)說具有更大的代表性，能夠適應(yīng)于多區(qū)塊、井深范圍大、巖性變化較大的油區(qū)出砂預(yù)測。綜合以上分析，假設(shè)巖石抗壓強(qiáng)度Rc與地層深度h、聲波時差$tp二參數(shù)之間滿足以下方程：

另外，對于回歸模型，還需要進(jìn)行顯著性檢驗。檢驗時，需要計算以下兩個平方和，然后查F分布表。

三、工程應(yīng)用

為了驗證本文方法的可行性，將其分別應(yīng)用于直剪和三軸試驗的數(shù)據(jù)分析中；為了比較各種方法的合理性，分別采用最小二乘回歸、10種不同權(quán)重確定方法的穩(wěn)健回歸方法進(jìn)行分析。

例1；從某新建礦山現(xiàn)場取泥質(zhì)粉砂巖巖樣，對其進(jìn)行精細(xì)切割、打磨加工，設(shè)計加工成81塊試樣，實際加工成70塊試樣。

本文研究礦巖的抗剪強(qiáng)度參數(shù)，巖樣共12個，分別以30°、45°和60°3種角度進(jìn)行楔形剪切加載，試驗結(jié)果見表2，不同計算方法分析結(jié)果見表3、表4及圖2。

算例2某片麻巖巖組室內(nèi)三軸實驗結(jié)果如表5所示，分析結(jié)果如表6、表7及圖3所示。

1、巖層理不同方向單軸壓縮試驗

1.1試驗方法

試驗在RMT–150C巖石力學(xué)試驗系統(tǒng)（見圖2（b））上進(jìn)行，試驗過程采用軸向位移控制方式，加載速率恒定在0.01mm/s。

對已選取的10塊標(biāo)準(zhǔn)單軸煤巖試樣，分別按軸向與層理面垂直、平行分為2組，每組5塊，依次進(jìn)行垂直、平行于層理面單軸壓縮試驗。需要說明以下研究中的2個概念，即垂于

層理面單軸壓縮試驗，是指對軸向與層理面垂直的煤樣進(jìn)行的軸向加載試驗；而平行于層理面單軸壓縮試驗，是指對軸向與層理面平行的煤樣進(jìn)行的軸向加載試驗。

1.2垂直于層理面單軸壓縮試驗結(jié)果試驗后，部分典型垂直于層理面單軸加載應(yīng)力–應(yīng)變曲線如圖所示，圖中分別為軸向、側(cè)向、體積應(yīng)變；煤樣的破壞狀態(tài)照片如圖7所示；試驗結(jié)果及參數(shù)統(tǒng)計分析見表2，表中，D為煤樣直徑；H為煤樣高度；p為煤樣密度；為峰值強(qiáng)度；E為彈性模量；u為泊松比；為軸向峰值應(yīng)變；為橫向峰值應(yīng)變；E50為變形模量。

2、單軸壓縮試驗結(jié)果分析

根據(jù)試驗結(jié)果，對煤巖在垂直和平行于層理面方向的單軸壓縮特性進(jìn)行分析。

2.1巖垂直、平行于層理面單軸壓縮強(qiáng)度及破壞特征

（1）由表2，3可見，5個軸向與層理面垂直煤樣的單軸抗壓強(qiáng)度為20.80～27.54MPa，平均為23.77MPa；而另5個軸向與層理面平行煤樣則為8.89～16.54MPa，平均為11.17MPa。顯然，前者均值明顯高于后者，約為后者的2.13倍。

（2）在破壞模式上，垂直于層理面方向單軸壓縮煤樣的破壞形態(tài)主要以剪切破壞為主，且易爆裂為碎塊；而平行于層理面方向單軸壓縮煤樣的破壞形態(tài)則主要以劈裂破壞為主，中間多脹裂為片狀，個別煤樣還存在剪切分叉破壞現(xiàn)象。

結(jié)論

1、在對實驗法取得的實驗數(shù)據(jù)進(jìn)行處理時，傳統(tǒng)的最小二乘法因為選用殘差平方和，簡單夸張異常值的影響。本文提出的穩(wěn)健回歸辦法則以殘差的絕對值之和替代殘差平方和，并經(jīng)過復(fù)形法求得力學(xué)參數(shù)，從而避免了異常值的二次項，能夠有效地削減異常值的影響。

2、穩(wěn)健回歸辦法經(jīng)過挑選影響函數(shù)，調(diào)整權(quán)因子，確定抗剪強(qiáng)度實驗參數(shù)，能夠削弱數(shù)據(jù)離散和異常值的攪擾，提高估量參數(shù)的穩(wěn)健性與可靠性。

3、經(jīng)過工程實例標(biāo)明，在實驗數(shù)據(jù)的相關(guān)性較好時，最小二乘法和穩(wěn)健回歸辦法的核算結(jié)果相差不大，但當(dāng)實驗數(shù)據(jù)的相關(guān)性較差、存在異常值時，穩(wěn)健回歸辦法的核算結(jié)果要優(yōu)于最小二乘法。

4、穩(wěn)健回歸法利用核算機(jī)進(jìn)行編程核算，發(fā)揮了速度快、精度高的優(yōu)勢，增強(qiáng)了該核算辦法的適用性，完善了巖石抗剪強(qiáng)度核算理論，為異常值存在時的巖石抗剪強(qiáng)度取值提供了一條新的途徑。

參考文獻(xiàn)：

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