利用基本圖形 抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)

摘 "要：《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中的幾何直觀的培養(yǎng)中指出：要掌握、運(yùn)用一些基本圖形解決問題，把讓學(xué)生掌握一些重要的圖形作為教學(xué)任務(wù)，在教學(xué)中要有意識(shí)地強(qiáng)化對(duì)基本圖形的運(yùn)用，不斷運(yùn)用這些基本圖形去發(fā)現(xiàn)、描述問題，理解、記憶的結(jié)果，這應(yīng)該成為教學(xué)中的目標(biāo)。

關(guān)鍵詞：基本圖形 "低分率

一、 事情源起

在某一次九年級(jí)數(shù)學(xué)四校聯(lián)考中，一道有關(guān)圓的證明題的低得分率引起了批改老師的注意，該題共12分，平均得分2.35分，如此低的得分讓大家倍感意外，后來筆者經(jīng)過與學(xué)生的交流分析，發(fā)現(xiàn)問題關(guān)鍵還是學(xué)生對(duì)圓中的基本圖形沒有很好的掌握，并且第二小題屬于圖形（1）的變式，它的解題思路與第一小題基本類似，這樣導(dǎo)致了第一小題沒有解決，第二小題也無法入手。當(dāng)然在評(píng)卷的過程中也不乏出現(xiàn)了幾種不同的解題方法，現(xiàn)與大家分享。

二、 試題呈現(xiàn)

已知：CD是⊙O的直徑，弦AB⊥CD于點(diǎn)G，E是直線CD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)C、D、G重合），直線BE交⊙O于點(diǎn)F，直線AF交直線CD于點(diǎn)P，設(shè)⊙O的半徑為r。

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在直徑CD上時(shí)，試證明：OE·OP=r2 ";

（2）當(dāng)點(diǎn)E在CD（或DC）的延長(zhǎng)線上時(shí)，以如圖2點(diǎn)E的位置為例，請(qǐng)你畫出符合題意的圖形，標(biāo)注上字母，（1）中的結(jié)論是否還成立？請(qǐng)說明理由。

三、 解法賞析

由于試題的第二小題的證明與第一小題基本類似，所以不再給出解法過程。

四、基本圖形

要證等積式，需要將其化為比例式，再利用相似證明. 觀察圖形，此題顯然要連半徑，構(gòu)造 OE、OP所在的三角形， 這樣問題便轉(zhuǎn)化為證明△FOE∽△POF或△AOE∽△POA了. 而要證明△FOE∽△POF或△AOE∽△POA，由于已經(jīng)存在一個(gè)公共角，因此只需再證明另一角對(duì)應(yīng)相等即可，這一點(diǎn)利用圓周角定理及其推論可獲證。此題綜合考查圓的性質(zhì)及相似的知識(shí)，解題關(guān)鍵是輔助線的靈活添加。易錯(cuò)點(diǎn)證不出相似所需一角對(duì)應(yīng)相等的條件?？v觀此題，它所包含的基本圖形主要有垂徑定理、圓周角定理，如圖3、4，應(yīng)用圖3可以得到∠A=∠H，∠A=∠MOE，應(yīng)用圖4可以得到∠AFB=∠COB=∠AOC，當(dāng)然還有相似三角形中的一個(gè)基本圖形如圖5、6。所以在該題中如果學(xué)生能發(fā)現(xiàn)圖中所包含的基本圖形，利用此圖形中的一些結(jié)論，解決此題并不是很困難。

五、 幾點(diǎn)思考

1.在《課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》中的幾何直觀的培養(yǎng)中指出：要掌握、運(yùn)用一些基本圖形解決問題，把讓學(xué)生掌握一些重要的圖形作為教學(xué)任務(wù)，在教學(xué)中要有意識(shí)地強(qiáng)化對(duì)基本圖形的運(yùn)用，不斷運(yùn)用這些基本圖形去發(fā)現(xiàn)、描述問題，理解、記憶的結(jié)果，這應(yīng)該成為教學(xué)中的目標(biāo)。在本次聯(lián)考中學(xué)生在該題的失分主要還是對(duì)圓中的基本圖形的不熟悉以及如何在復(fù)雜圖形中找到基本圖形的能力的缺失，并且圓中的一些定理結(jié)論的開放性（滿足一個(gè)等量就可以得到多個(gè)等量）導(dǎo)致了學(xué)生思維的混亂。

2.幾何圖形總是千變?nèi)f化，但復(fù)雜的圖形總是由幾個(gè)基本圖形疊加在一起而得到，所以我們?cè)诮虒W(xué)中要多創(chuàng)造條件，讓學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)經(jīng)歷、觀察、動(dòng)手畫圖的過程，在思考中逐漸形成幾何直觀，為學(xué)生練就“火眼金睛”，在復(fù)雜圖形在分離出基本圖形。王尚志教授在《幾何直觀》一書中告訴我們：幾何強(qiáng)調(diào)變換，讓圖形動(dòng)起來;養(yǎng)成畫圖的習(xí)慣，幫助思考;腦子里要留下一些圖形，作為思考問題的基礎(chǔ)。希爾伯特也在《幾何直觀》一書的序言里寫到：要幫助我們的學(xué)生學(xué)會(huì)用圖形來描述和刻畫問題，要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用圖形去發(fā)現(xiàn)解決問題的思路，要幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用圖形來理解我們得到的結(jié)果和記憶我們的結(jié)果。

參考文獻(xiàn)：

[1]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）解讀》

[2]王尚志.《幾何直觀》