高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)的應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)中的微積分的知識在中學(xué)數(shù)學(xué)的許多問題上能起到馭繁的作用，尤其在證明不等式、恒等式和研究函數(shù)的變化性態(tài)及作圖，不僅可以簡化解法，并能使問題的研究更為深入全面。

一、不等式的證明

在研究變化過程中變量之間的相互制約關(guān)系時，更多的是不等式的研究.中等數(shù)學(xué)中經(jīng)常通過恒等變化、數(shù)學(xué)歸納法、二次型等方法解決，或運(yùn)用已有的基本不等式的證明，為此先要進(jìn)行恒等變形，這需要較高的技巧。

利用微積分的知識和方法，例如微分中值定理，函數(shù)的增減性，極值判定法，定積分的性質(zhì)等。可簡化不等式的證明過程，降低技巧性。

歸納：從以上兩題可以知道在中學(xué)階段僅可通過恒等變形比較兩個函數(shù)的形式進(jìn)行講解，操作麻煩，學(xué)生也很難接受，但學(xué)了高等數(shù)學(xué)之后，問題就變得簡單了。

二、恒等式的證明

學(xué)了高等數(shù)學(xué)后，可以發(fā)現(xiàn)許多問題的解決可以簡化。下面兩個例題都是運(yùn)用了導(dǎo)數(shù)知識。

三、函數(shù)的變化性態(tài)及作圖

函數(shù)的圖象以其值、直觀性有著別的工具不可替代的作用，特別是在說明一個函數(shù)的整體情況及其特性的時候，作用尤為明顯，例如兩個看起來很像的函數(shù)：，熟悉它們兩的圖象就知道中學(xué)數(shù)學(xué)的描點(diǎn)作圖是不完善的，有許多的不足之處，總會擔(dān)心點(diǎn)取的不夠多或點(diǎn)取的太多，例如函數(shù)的正確圖形應(yīng)為1-1（下左）而描點(diǎn)法很可能畫出1-2（下右）的錯誤圖形：

利用導(dǎo)數(shù)作為工具，就可有效的對函數(shù)的增減性，極值點(diǎn)，凹凸性等重要性態(tài)和關(guān)鍵點(diǎn)作出準(zhǔn)確的判斷，從而比較準(zhǔn)確地作出函數(shù)的圖象，一般來說，描繪函數(shù)的圖象可以按以下的步驟進(jìn)行：

（1）求函數(shù)的定義域.

（2）考察函數(shù)的奇偶性，周期性.

（3）求函數(shù)的某些特殊點(diǎn)，如與兩坐標(biāo)的交點(diǎn)，不連續(xù)點(diǎn)，不可導(dǎo)點(diǎn)等.

（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值點(diǎn)，凸性區(qū)間及拐點(diǎn).

（5）考察漸近線.

（6）根據(jù)討論最后畫出函數(shù)的圖象.

對于上述的（1），（2），（3）在中學(xué)就可以一一解決，在這里在重點(diǎn)的講一下如何求函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)；凹凸性、拐點(diǎn)；漸近線、切線方程。

1.單調(diào)性、極值點(diǎn)

定理：函數(shù)單調(diào)性的判定法 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo).

歸納：由上面的討論可以對函數(shù)的圖像及變化性態(tài)有著更深一步的認(rèn)識，運(yùn)用以上知識不僅可以畫出一些中學(xué)數(shù)學(xué)中較特殊的函數(shù)圖像，而且甚至對不管有多復(fù)雜的函數(shù)圖像都能夠較準(zhǔn)確地做出。

四、結(jié)語

伴隨著高等數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展，它既為其它的學(xué)科提供了便利的計(jì)算工具和教學(xué)方法，又可以將中學(xué)數(shù)學(xué)中許許多多的問題簡單化.可想而知，它是多么的重要.所以希望廣大的學(xué)者一定要好好的學(xué)習(xí)它，并且得真正的行動起來。

參考文獻(xiàn)：

[1]張奠宙.現(xiàn)代數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué).上海出版社.1990.