“導數(shù)概念及幾何意義”的教學認知

長期以來，由于受應(yīng)試教育的影響，許多教師重視解題而輕視概念，導致數(shù)學概念與解題嚴重脫節(jié)，學生對概念理解不清，一知半解，嚴重影響了學生的學習質(zhì)量。那么，教師應(yīng)如何進行數(shù)學概念的教學呢？本文以教學實踐為基礎(chǔ)，在新課程基本理念的基礎(chǔ)上，提出數(shù)學概念課教學的一些想法。

注重概念形成過程

人類社會的生產(chǎn)、生活促進了數(shù)學的產(chǎn)生和發(fā)展。也就是說，任何一個數(shù)學概念的引入都是必要的，都有它的現(xiàn)實以及數(shù)學知識發(fā)展的需要。概念的教學遵循從具體到抽象、從特殊到一般的規(guī)律，讓學生經(jīng)歷從典型、豐富的實例中概括概念的思維活動，而不是強制給出概念，再舉例說明讓學生理解。在導數(shù)概念的教學中，根據(jù)學生生活經(jīng)驗，通過實際背景創(chuàng)設(shè)豐富的情境，直接通過膨脹率、速度、效率、增長率等反映導數(shù)本質(zhì)的實例，使學生經(jīng)歷并感受由平均變化率到瞬時變化率的轉(zhuǎn)化過程，并得出瞬時變化率即為導數(shù)，使學生體會導數(shù)的思想就是研究變化率問題。

在“導數(shù)幾何意義”的教學中，設(shè)置問題串，引導學生探究幾何意義，“能回憶導數(shù)的概念嗎？導數(shù)的物理意義是什么？你能根據(jù)函數(shù)y=f（x）的圖象得出平均變化率表示的幾何含義嗎？在?x逐漸趨向0的過程中，你能感知割線PPn如何變化嗎？你能從上述過程中概括出f（x）在x=x0處的導數(shù)f'（x0）的幾何意義嗎？”學生通過對問題的探究，體會無論是實際意義還是數(shù)值意義，都是從“數(shù)”的角度理解導數(shù)，從而思考“形”的意義，借助多媒體使學生能夠用心體會通過“無限逼近”所達到的“量變到質(zhì)變”“近似與精確”的哲學思想，并通過動手操作、觀察發(fā)現(xiàn)，獲得導數(shù)及其幾何意義的知識結(jié)構(gòu)，不要急于得出形式化的定義，應(yīng)努力追求“水到渠成”的教學效果。

在體驗中認識概念

教材以觀察、思考、探究等欄目明確提出問題，引導學生的數(shù)學活動，在導數(shù)幾何意義的教學中，合乎情理地設(shè)問，自然地探究活動。教師十分注意提問的技巧，設(shè)計的問題圍繞“如何想到導數(shù)的幾何意義就是在某點處切線的斜率”而進行，引導學生充分經(jīng)歷“提出問題（從數(shù)的角度探究了導數(shù)后，從形的角度如何探究導數(shù)）;尋求方法（平均變化率的幾何表示）;實施方法（學生動手畫割線）;發(fā)現(xiàn)規(guī)律（體會割線趨進的規(guī)律）;給出幾何意義（強調(diào)在曲線上某點處，是局部性質(zhì)）;應(yīng)用幾何意義解釋現(xiàn)象（如以直代曲）”。這一完整的探究活動，通過對幾何意義的深入探究，領(lǐng)悟概念的本質(zhì)，讓學生感受到，數(shù)學是自然的數(shù)學，是看得見的數(shù)學。

尋找概念區(qū)別與聯(lián)系

在導數(shù)幾何意義的教學中，教師提問：“切線定義與以前學過的圓的切線有何不同？能否舉例說明？”這時學生感到應(yīng)該是不同的，可又不知道哪里不同？緊接著，教師引導能否舉例說明。通過小組合作，學生很容易畫出曲線與圓切線的區(qū)別：公共點唯一也可不唯一，從而使學生發(fā)現(xiàn)圓的切線定義有局限性，并不適用于一般的曲線，需要對原來的定義進行拓展提高，即通過“逼近”的思想，將割線趨近于確定位置的一條直線定義為切線（交點可能不唯一）適用于一般曲線，這種定義才真正反映了切線的本質(zhì)，即切線是某點處的切線，是一個局部概念。

通過過渡，學生抽象概括出導函數(shù)的動態(tài)概念，理解與函數(shù)概念的聯(lián)系：導數(shù)是特殊的函數(shù)，是整個高中概念教學的難點，在導數(shù)教學中，要正確、充分地提供概念的各種變式，系統(tǒng)地學習概念，使學生有機會從實際意義、數(shù)值意義、幾何意義等不同角度理解導數(shù)的本質(zhì)。

深化概念理解

知識點是數(shù)學的主體，問題是數(shù)學的核心，數(shù)學思想方法則是數(shù)學的靈魂。數(shù)學思想方法一旦落實到學生學習和運用數(shù)學思維活動上，就能發(fā)揮學生的數(shù)學能力，提高學生的數(shù)學素養(yǎng)。在“導數(shù)幾何意義”教學中，關(guān)注學法滲透，關(guān)注探究過程：無論是復(fù)習導數(shù)的概念及物理意義，還是探究導數(shù)的幾何意義及其應(yīng)用，教師都十分關(guān)注學生對數(shù)學思想和方法的掌握和理解。通過探究導數(shù)的幾何意義，體會數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想;通過講練書上例2、例3，引導學生動腦審題，動手畫切線，動口討論，并歸納小結(jié)數(shù)學知識以及數(shù)學思想方法。由學生思考后，說出自己的收獲，發(fā)揮學生主體作用，培養(yǎng)學生歸納總結(jié)的數(shù)學能力，讓學生體驗從靜態(tài)到動態(tài)的變化過程。

多媒體技術(shù)與課程內(nèi)容相結(jié)合

多媒體技術(shù)是現(xiàn)代教育最直觀、最強有力的教學工具，能夠幫助學生更好地理解概念本質(zhì)，巧用信息技術(shù)，強化直觀感知：在導數(shù)幾何意義的教學中，通過幾何畫板觀察割線的動態(tài)變化趨勢，感受切線定義形成的過程;通過幾何畫板局部放大的直觀性，將函數(shù)曲線某一點附近的圖象放大得到一個近景圖，圖象放得越大，這一小段曲線看起來就越像直線，體會“以直代曲”的數(shù)學思想，突破難點，正所謂：“動態(tài)直觀消除神秘，啟發(fā)點撥貫通曲直”。

在適當?shù)臄?shù)學內(nèi)容中，利用多媒體技術(shù)呈現(xiàn)以往教材和其他教學手段難以呈現(xiàn)的內(nèi)容，將抽象的知識具體化、復(fù)雜的過程簡單化，學生接受起來更加直觀，更加自然，為學生主動探索和研究數(shù)學提供有效手段，實現(xiàn)了多媒體技術(shù)與數(shù)學課程內(nèi)容的有機結(jié)合。

（作者單位：內(nèi)蒙古包頭市第四中學）