高中數(shù)學課堂數(shù)學思維方法的應用

數(shù)學思想貫穿于高中階段數(shù)學學習的每個章節(jié)，在其引領和指導下，對學生數(shù)學思維方法的提煉升華有著啟迪重塑的重要作用。新課程標準下數(shù)學教學方式方法不斷推陳出新，但數(shù)學思維方法的學習培養(yǎng)卻體現(xiàn)在課堂授課的整個過程，本文著重從深化高中數(shù)學課堂教學中數(shù)學思維方法的實際應用，并探討與之相關的系列問題。

數(shù)學思維方法的地位和作用

高中數(shù)學有其內在規(guī)律和歸屬特性。數(shù)學課堂教學的實質是在潛移默化強化學生數(shù)學思維方法點與面的塑造，使數(shù)學思維方法與實題運用相關聯(lián)。具體到實踐中，學生利用數(shù)學思想，如函數(shù)思想、數(shù)形結合思想、集合思想、分類思想、運動思想、變換思想等；再在數(shù)學思想指導下，掌握一定的數(shù)學思維方法，如觀察、聯(lián)想、分析、綜合、分類、歸納、類比、直覺、發(fā)散、形象、創(chuàng)造、開放、轉化等；在此基礎上，學生可駕輕就熟地與數(shù)學實踐、數(shù)學探索和數(shù)學研究相銜接，從中提升數(shù)學運用能力，如實操能力、邏輯辨析能力、對于已未知問題的快速反應和理解能力等，讓學生融會貫通，使數(shù)學課堂教學效率達到一個新高度。

對學生數(shù)學思維方法的培養(yǎng)，既是數(shù)學教學的本質，也是培養(yǎng)和提高學生數(shù)學能力的重要途徑，更是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的關鍵所在。數(shù)學思維方法包含概念解析、內容理解、實踐操作等諸多環(huán)節(jié)，一切中心是圍繞學生形成對數(shù)學所蘊涵認知為前提，多次的實訓、累積，當感知達到一定量比，就有與之匹配的質的升華。因此，教師在教學中要時時注重數(shù)學思維方法的培養(yǎng)，使數(shù)學思維貫穿每個學生的思維活動全過程。

注重學生觀察能力的培養(yǎng)

事物的掌握和了解是通過觀察而實現(xiàn)的，觀察更是認識與感知事物前提和必要條件。在高中數(shù)學教學中注重學生觀察能力的培養(yǎng)，就是教師對每一個公式、方程、圖像的數(shù)學形式和結構、數(shù)量關系等，做針對性講解，利用多種教學形式引領學生理解概念，并強調其間所含的內在規(guī)律，列舉實題讓學生實際操作，使學生展示課堂學習成效與問題，對所學、所用知識進行自我評估，鍛煉其發(fā)現(xiàn)和解決問題的能力。例如：講等差數(shù)列的通用表達式和求和公式時，可先讓學生觀察“1+2+3+4+5+……+99+100”有什么特點，它們的公差是“1，1+100=101，2+99=101，3+98=101……”它的通用表達式是什么？和是多少？等差數(shù)列的通用公式和它的和又如何表示呢？引導學生自己總結公式，自己出題論證這一結果是否正確，這樣可以使學生充分掌握公式的內涵，而不是教師總結，學生死記硬背，而實際運用無從下手。反之，當已知一個數(shù)列為等差數(shù)列時，以出題者的角度，讓學生假設能構想多少種題型？教學中注重對學生進行審題訓練，換位思考，啟發(fā)學生探尋出題者的思路。

重塑綜合解析和分析思辨能力

通過觀察，首先使學生得到對事物的感性認識；分析就是要透過現(xiàn)象看本質，剖析各部分性質、結構及其關聯(lián)；最后綜合，從整體上把握其本質規(guī)律。分析和綜合是兩種思維活動的相反過程，在數(shù)學教學中，分析思辨思路是執(zhí)果索因，從未知找需知，逐步接近已知；綜合解析思路是由起因進行推導，得出結果，進而從已知項尋找出可知項，并逐漸覓向未知項。教學中，要倡導學生在鞏固知識要點的基礎上，辯證運用分析和綜合兩個方式，以分析為前提、為出發(fā)點、為綜合的本因，而在綜合指導下進行分析探索，分析所得再進行綜合。兩種過程，交替使用，互為依存，互相補充，互相滲透，推動著思維的發(fā)展和思想的形成。

例題：設a、b、c為△ABC的三條邊，求證：a2+b2+c2<2（ab+bc+ac）

（這里可以運用分析思辨法）

解答：證明原不等式成立，只需要證明a2+b2+c2-2ab+2bc+2ac<0。那么，就是a2+b2+c2-a（b+c）-b（a+c）-c（a+b）<0，也就是證明a[a-（b+c）]+b[b-（a+c）]+c[c-（a+b）]<0……①

∵a、b、c為△ABC的三條邊

∴兩邊之和大于第三邊，即a-（b+c）<0，b-（a+c）<0，c-（a+b）<0

∴①式成立，a2+b2+c2<2（ab+bc+ac）

開拓聯(lián)想思維能力

聯(lián)想，是指由一個或一類事物而引發(fā)對其相關或可能相關聯(lián)的另一個或一類事物的想象的思維過程。它包括類比聯(lián)想、關系聯(lián)想、逆向聯(lián)想、定向聯(lián)想、形似聯(lián)想、發(fā)散聯(lián)想等多種表現(xiàn)形式。

例題一：已知a、b∈R，且|a|+|b|<1，證明：方程x2+ax+b=0的兩個實根的絕對值小于1。

首先啟發(fā)學生觀察，已知條件是什么，而要證明的又是什么，它們的聯(lián)系是什么。由已知條件|a|+|b|<1可以聯(lián)想到|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|，由a和b是二次方程x2+ax+b=0的系數(shù)，可以聯(lián)想到能用韋達定理。

例題二：已知a、b、c為△ABC的內角A、B、C的對邊，且a≠b，（c-a）2-4（a-b）（b-c）=0，求證：sinA、sinB、sinC是等差數(shù)列。

此題要引導學生觀察，由已知條件（c-a）2-4（a-b）（b-c）=0聯(lián)想到一元二次方程的判別式，可運用二次方程有等根的條件解此題。

∵（c-a）2-4（a-b）（b-c）=0

由正弦定理：（sinC-sinA）2-4（sinA-sinB）（sinB-sinC）=0，則方程（sinA-sinB）x2+（sinC-sinA）x+（sinB-sinC）=0有相等實數(shù)根。

∵系數(shù)之和等于0

∴x=1是方程的根，由根于系數(shù)的關系，且a≠b，可得

∴2sinB=sinA+sinC

∴sinA、sinB、sinC是等差數(shù)列

強化分類、比較和類比能力

分類是指根據(jù)事物本質存在的種類、屬性、性質、特點等，將其分別歸類。分類是將事物中已有的無規(guī)律狀態(tài)，按照特點的不同進行區(qū)分，進而使事物趨向于有規(guī)律狀態(tài)。如函數(shù)按研究的特點不同，有很多種分類：按冪的不同可分為一次函數(shù)、二次函數(shù)、三次函數(shù)等；按其奇偶性時，可分為奇函數(shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)、即是奇函數(shù)同時又是偶函數(shù)。數(shù)列按照項數(shù)可分為有窮數(shù)列、無窮數(shù)列；按照單調性分為遞減數(shù)列、遞增數(shù)列和即非遞增也非遞減數(shù)列。

比較是基于兩種或兩種以上相同類型事物之間辨別異同的思維方法，是認知了解事物的重要客觀路徑。通過比較，我們可以找到事物之間的聯(lián)系及各自特點，它們的共性是什么，又各自具有哪些個性，從而達到解決問題的目的。如在學習三角函數(shù)時，將正弦、余弦、正切、余切四種函數(shù)，分別從解析式、圖象、值域、最小正同期、奇偶性、單調性以及單調區(qū)間、對稱軸和對稱中心進行比較，熟練掌握各個函數(shù)的特性及其規(guī)律，達到靈活運用。就類比而言，是指根據(jù)兩種事物或對象在某些特質上相同或相似，導引出它們在其他特質上也有可能相同或相似的結論。類比是一種主觀的推理，因此，其結論正確與否，必須經(jīng)過大量嚴格的邏輯實踐進行佐證。而高中數(shù)學應圍繞概念、數(shù)形、結構等相關內容做類比。

例題：求sin21°+sin22°+sin23°+……+sin289°的和。

研究此題，首先不能查閱函數(shù)表，那怎樣才能用最簡潔的辦法求和呢？觀察式子發(fā)現(xiàn)：從1°到89°與等差數(shù)列求和比較相似，都是正弦的平方。和等差、等比數(shù)列類比一下，錯位相減法，倒序法，可以用嗎？不妨借用一下錯位相減法。由三角函數(shù)的誘導公式sin（90°-α）=cosα聯(lián)想到sin21°+sin22°+sin23°+……+sin289°=cos21°+cos22°+cos23°+……+cos289°，而同角的正弦和余弦函數(shù)又存在sin2α+cos2α=1的關系，錯位相加，此題的和很容易就可求出。

數(shù)學思維方法承接轉起有多種方式，在課堂實際教學中，教師應以強化數(shù)學基礎知識為首要任務，以圍繞學生數(shù)學思維的培養(yǎng)為主旨，運用教與學、問與答、考與評等多手段鞏固提高學生數(shù)學思維水平。

（作者單位：山西省太原市清徐縣徐溝中學）