兩類概率模型的探討及一道模擬題的反思

摘 要：古典概型是最基本的一種概率模型.由于學(xué)生在學(xué)習(xí)古典概型中把概率公式的法則作為重點(diǎn)，而忽視古典概型的“基本事件”和“等可能性”這兩個(gè)概念，就形成了一種“一講就會(huì)，一做就錯(cuò)”的現(xiàn)象.結(jié)合一道引起爭(zhēng)議的模擬題的錯(cuò)解，再次來解讀教材中古典概型的知識(shí)結(jié)構(gòu)，并以摸球模型和分球入盒模型給出古典概型問題的一些有用方法.

關(guān)鍵詞：古典概型；基本事件；摸球模型；分球入盒模型

一、背景資料

例題：現(xiàn)有三個(gè)小球全部隨機(jī)地放入三個(gè)盒子中，設(shè)隨機(jī)變量X為三個(gè)盒子中含球最多的盒子里的球數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望E（X）.

生：將3個(gè)相同的小球分成三類：（1，1，1），（0，1，2），（0，2， 1），（1，0，2），（1，2，0），（2，0，1），（2，1，0），（3，0，0），（0，3，0），（0， 0，3）.

因此，E（X）=1×■+2×■+3×■=■.

學(xué)生沒想到這樣的做法是不是滿足古典概型模型.

二、古典概型解讀

我認(rèn)為課標(biāo)中要求“通過實(shí)例，理解古典概型及其計(jì)算公式”有幾個(gè)方面的含義：（1）理解基本事件的概念；（2）理解古典概型中的基本事件的等可能性；（3）理解古典概型概率計(jì)算公式.

一個(gè)模型只有滿足基本事件的有限個(gè)和等可能性這兩個(gè)特征時(shí)，才能用下面計(jì)算隨機(jī)事件的概率公式：

P（A）=■.

所以要用古典概型解決某些問題，應(yīng)該分三步進(jìn)行：

1.確定基本事件；

2.驗(yàn)證所確定的基本事件是否滿足古典概型的要求；

3.如果滿足古典概型的條件就利用古典概率的計(jì)算公式計(jì)算所關(guān)心事件的概率；否則重新確定基本事件并回到第2步.在上面的第2步中，確定各個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是否相等時(shí)，也許還會(huì)用到其他古典概型的知識(shí).

比如教材中同時(shí)擲質(zhì)地均勻的兩個(gè)骰子，如果關(guān)心出現(xiàn)事件Aij=一個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)i，一個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)j的概率，顯然這21個(gè)事件A11，A12，…，A66兩兩互斥可以作為基本事件.為判斷以A11，A12，…，A66為基本事件能否構(gòu)成古典概型，需要證實(shí)這些基本事件出現(xiàn)的可能性是否相等.可以分別計(jì)算這些基本事件的概率，以得到判斷結(jié)果.

同時(shí)擲兩個(gè)骰子的可能所有結(jié)果：

（1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） （1，6）

（2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） （2，6）

（3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） （3，6） （*）

（4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） （4，6）

（5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） （5，6）

（6，1） （6，2） （6，3） （6，4） （6，5） （6，6）

顯然這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，均為■，因此由（*）構(gòu)建了一個(gè)古典概型.注意到A11={（1，1）}，A12={（1，2），（2，1）}，利用概率的計(jì)算公式得P（A11）=■，P（A12）=■=■.從而以A11，A12，…，A66為基本事件不能構(gòu)成古典概型.

三、例題分析

例題：現(xiàn)有三個(gè)小球全部隨機(jī)放入三個(gè)盒子中，設(shè)隨機(jī)變量X為三個(gè)盒子中含球最多的盒子里的球數(shù)，求X的數(shù)學(xué)期望E（X）.

探究：將3個(gè)小球記為a，b，c，放入三個(gè)盒子的可能所有結(jié)果為：

（a，b，c），（a，c，b），（b，a，c），（b，c，a），（c，a，b），（c，b，a）

（ab，c，0），（ab，0，c），（0，ab，c），（0，c，ab），（c，ab，0），（c，0，ab）

（ac，b，0），（ac，0，b），（0，ac，b），（0，b，ac），（b，ac，0），（b，0，ac） （**）

（bc，a，0），（bc，0，a），（0，bc，a），（0，a，bc），（a，bc，0），（a，0，bc）

（abc，0，0），（0，abc，0），（0，0，abc）

顯然這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，均為■，可以構(gòu)成古典概型.則P（X=1）=■；P（X=2）=■；P（X=3）=■.

因此，E（X）=1×■+2×■+3×■=■.這個(gè)答案作為這道題的標(biāo)準(zhǔn)答案.

對(duì)比學(xué)生做法：將3個(gè)相同的小球分成三類：

（1，1，1），（0，1，2），（0，2，1），（1，0，2），（1，2，0）

（2，0，1），（2， 1，0），（3，0，0），（0，3，0），（0，0，3）（***）

因此，E（X）=1×■+2×■+3×■=■.

現(xiàn)由（**）構(gòu)成的古典概型來計(jì)算（***）中每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的概率，則P（（1，1，1））=■，P（（3，0，0））=■.顯然由（***）代表的基本事件不是等可能的，這些基本事件就不能構(gòu)成古典概型，因此■不能作為標(biāo)準(zhǔn)答案.

這里要把“三個(gè)小球”看成“三個(gè)不同的小球”，構(gòu)建成古典概型模型，再利用計(jì)數(shù)原理這個(gè)工具快速地解答此題.總體包含的基本事件數(shù)為33，X=1表示的基本事件的總數(shù)為A33，X=2表示的基本事件數(shù)為C23·A33，X=3表示的基本事件數(shù)為C13，所以P（X=1）=■=■，P（X=2）=■=■，P（X=3）=■=■.因此，E（X）=1×■+2×■+3×■=■.這個(gè)解答過程就可以作為此題的標(biāo)準(zhǔn)解答過程.

四、常用模型

下面通過幾個(gè)典型例題的分析，就球模型和球盒模型的解題方法做一些淺顯的分析與探討.

1.摸球模型

例1.袋中有4個(gè)紅球，3個(gè)白球，從中任取3個(gè)球，求：

（1）A=“有放回依次取到紅、白、紅三個(gè)球”的概率；

（2）B=“有放回取到兩個(gè)紅球，一個(gè)白球”的概率；

（3）C=“無放回依次取到紅、白、紅三個(gè)球”的概率；

（4）D=“無放回取到兩個(gè)紅球，一個(gè)白球”的概率.

解：（1）這是一個(gè)有放回有次序摸球問題.總體包含的基本事件數(shù)為73，A包含的基本事件數(shù)為42·3.所以P（A）=■=（■）2·■.

（2）這是一個(gè)有放回?zé)o次序摸球問題.我們所關(guān)心的是取出的三個(gè)球有兩個(gè)紅球和一個(gè)白球，它包含C23種可能情形：（紅，紅，白），（紅，白，紅），（白，紅，紅），而每一種情形的概率與（1）中情形一樣，于是P（B）=C23·P（A）=C23·（■）2·■.

（3）這是一個(gè)無放回按次序摸球問題.總體的基本事件數(shù)為A37，B包含的基本事件數(shù)為A24·A13，所以P（C）=■.

（4）這是一個(gè)無放回?zé)o次序摸球問題.總體的基本事件數(shù)為C37，D包含的基本事件數(shù)為C24·C13，所以P（D）=■.

2.分球入盒模型

例2.將4個(gè)不同的球隨機(jī)地分到5個(gè)盒子中，有兩種分配方式：（1）每個(gè)盒子可容納任意個(gè)球；（2）每個(gè)盒子最多只能容納一個(gè)球.根據(jù)不同的分配方式，計(jì)算事件A和B的概率：

A={指定的3個(gè)盒子中各有1個(gè)球}；

B={指定的1個(gè)盒子中恰有2個(gè)球}.

解：（1）基本事件總數(shù)為54，A包含的基本事件數(shù)為A34，B包含的基本事件數(shù)為C24·42，所以P（A）=■；P（B）=■.

（2）基本事件總數(shù)為A45，A包含的基本事件數(shù)為A34，B包含的基本事件數(shù)為C24·A24，所以P（A）=■；P（B）=■.

例3.將5個(gè)不同的球隨機(jī)地分到4個(gè)盒子中，有兩種分配方式：（1）每個(gè)盒子可容納任意個(gè)球；（2）每個(gè)盒子至少有一個(gè)球.根據(jù)不同的分配方式，計(jì)算事件A和B的概率：A={指定的3個(gè)盒子中各有1個(gè)球}；B={指定的1個(gè)盒子中恰有2個(gè)球}.

解：（1）基本事件總數(shù)為45，A包含的基本事件數(shù)為A35，B包含的基本事件數(shù)為C25·33，所以P（A）=■；P（B）=■.

（2）基本事件總數(shù)為C25·A44，A包含的基本事件數(shù)為A35，B包含的基本事件數(shù)為C25·A33，所以P（A）=■；P（B）=■.

一般地，古典概型問題基本上都可歸入上述兩種類型.因此，對(duì)于古典概型的概率計(jì)算問題，經(jīng)題意分析，對(duì)號(hào)入座后按上述方法進(jìn)行剖析、計(jì)算，問題就能順利地解決.

本文內(nèi)容僅是本人的教與學(xué)的反思，作出了對(duì)高中古典概型內(nèi)容的淺顯解讀與對(duì)古典概型計(jì)算解法的分析與總結(jié)，如有不當(dāng)，請(qǐng)批評(píng)與指正.

？誗編輯 趙飛飛