巧妙應(yīng)用平滑定理求三角形面積問(wèn)題

摘 要：“平滑定理”在中考?jí)狠S題中有著廣泛的應(yīng)用，主要介紹了三種類(lèi)型題的應(yīng)用：“三角形面積轉(zhuǎn)換”“三角形面積相等”“面積等分線”。這三種應(yīng)用都是運(yùn)用了“平滑定理”的本質(zhì)同底等高。

關(guān)鍵詞：平滑定理；同底等高；三角形面積

近年來(lái)，中考試卷中屢次出現(xiàn)求三角形面積問(wèn)題，且各地市有些關(guān)于求三角形面積問(wèn)題給出的參考答案也較繁瑣，筆者發(fā)現(xiàn)如果應(yīng)用“平滑定理”來(lái)求解三角形面積，解答過(guò)程將變得簡(jiǎn)單、清晰。

平滑定理：

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圖1

如圖1，L1//L2，S△ABC S△ABD（填“>、=、<”）

一、平滑定理在三角形面積轉(zhuǎn)換中的應(yīng)用

例1.（2013年濟(jì)南中考第24題）已知：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱(chēng)軸為x=-1，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其中A（-3，0），C（0，-2）

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圖2

（1）求這條拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）已知在對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn)P，使得△PBC的周長(zhǎng)最小.請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

（3）若點(diǎn)D是線段OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)O、點(diǎn)C重合）.過(guò)點(diǎn)D作DE//PC交x軸于點(diǎn)E，連接PD、PE.設(shè)CD的長(zhǎng)為m，△PDE的面積為S.求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式.試說(shuō)明S是否存在最大值，若存在，請(qǐng)求出最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（中考命題組提供）：（1）y=■x2+■x-2

（2）P（-1，-■）

（3）S存在最大值。理由：∵DE∥PC，即DE∥AC.

∴△OED∽△OAC.

∴■=■，即■=■.

∴OE=3-■m，AE=3，OE=■m

方法一：連結(jié)OP

S=S四邊形PDOE-S△OED=S△POE+S△POD-S△OED

=■×（3-■m）×■+■×（2-m）×1-■×（3-■m）×（2-m）=-■m2+■m

∵-■<0

∴當(dāng)m=1時(shí)，S最大=-■+■=■

方法二：S=S△OAC-S△OED-S△AEP-S△PCD

=■×3×2-■×（3-■m）×（2-m）-■×■m×■-■×m×1

=-■m2+■m=-■（m-1）2+■

∵-■<0

∴當(dāng)m=1時(shí)，S最大=■

利用“平滑定理”解第3問(wèn)：

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圖3

連結(jié)CE，由平滑定理知

S△PDE=S△CDE=■CD·OE=■m（3-■m）=-■（m-1）2+■

∴當(dāng)m=1時(shí)，S最大=■

評(píng)析：本題是一道由二次函數(shù)、三角形面積相融合的壓軸題，第1、2問(wèn)容易上手，第3問(wèn)方法較多，參考答案給出了兩種方法，都是面積的割補(bǔ)法，這也是一種常用的解題方法，在平時(shí)的求面積題中也經(jīng)常用到，但是割補(bǔ)法在這道題中計(jì)算量會(huì)稍大一些，計(jì)算能力差的學(xué)生容易算錯(cuò)，如果采用“平移定理”來(lái)解析這道題會(huì)比較方便。

二、平滑定理在三角形面積相等中的應(yīng)用

例2.（2011年大連中考第26題）如圖4，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線相交于點(diǎn)P，與直線BC相交于點(diǎn)M，連接PB.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使△QMB與△PMB的面積相等，若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由；

（3）在第一象限、對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)R，使△RPM與△RMB的面積相等，若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

【答案】：

（1）y=-x2+2x+3

（2）x對(duì)=1 ∴P（1，4）

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圖4 圖5

直線BC解析式為：y=-x+3 ∴M（1，2）

在對(duì)稱(chēng)軸上取點(diǎn)N，使得MP=MN，則N（1，0）

由平滑定理知，l1、l2與拋物線交于點(diǎn)Q，使△QMB與△PMB的面積相等。

①過(guò)點(diǎn)P且與直線BC平行的直線l1∶y=-x+5

y=-x2+2x+3y=-x+5？圯x2-3x-2=0？圯x=1（舍）或x=2 ∴Q1（2，3）

②過(guò)點(diǎn)N且與直線BC平行的直線l2∶y=-x+1

y=-x2+2x+3y=-x+1？圯x2-3x-2=0？圯x=■

∴Q2（■，■），Q3（■，■）

綜上，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)Q共有3個(gè)，其坐標(biāo)分別為（2，3），（■，■），（■，■）

（3）（1+■，2）

變式：例2第（3）問(wèn)改為：拋物線上是否存在一點(diǎn)R，使△RPM與△RMB的面積相等，若存在，求出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由.

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圖6

【答案】RM為兩個(gè)三角形的公共邊，由“平滑定理”的本質(zhì)同底等高得面積相等。即P、B到直線l2∶RM的距離相等。

因?yàn)辄c(diǎn)M為PN中點(diǎn)，所以只需l1∥l2∥x軸，就有三條直線間的距離相等。所以l2∶y=2

y=-x2+2x+3y=2？圯x2-2x-1=0？圯x=1±■

R1（1-■，2），R2（1+■，2）

評(píng)析：本題的第2問(wèn)有一定難度，學(xué)生容易用的方法是分類(lèi)討論，按Q點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸與x軸所分的四個(gè)不同區(qū)域來(lái)討論，如Q在對(duì)稱(chēng)軸右邊與x軸上面的區(qū)域，設(shè)Q的坐標(biāo)（含m的字母），再做QD平行于y軸與CB相交于點(diǎn)D，所以D的坐標(biāo)也可以用含m的式子表示。用Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)減D點(diǎn)的縱坐標(biāo)得到線段QD的長(zhǎng)度，這樣就可以用含m的式子表示要求三角形的面積，然后令這個(gè)式子等于2求解。其他幾種討論，就分Q點(diǎn)在D點(diǎn)上方或下方討論，方式方法類(lèi)似。此方法討論比較繁瑣、計(jì)算也比較麻煩，容易算錯(cuò)。采用“平滑定理”之后簡(jiǎn)單多了。

三、平滑定理在面積等分線中的應(yīng)用

例3.（2010年連云港第27題）如果一條直線把一個(gè)平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱(chēng)為這個(gè)平面圖形的一條面積等分線.如：平行四邊形的一條對(duì)角線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線.

（1）三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線的有_______；

（2）如圖7，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延長(zhǎng)DC到E，使CE=AB，連接AE，那么有S梯形ABCD=S△ADE.請(qǐng)你給出這個(gè)結(jié)論成立的理由，并過(guò)點(diǎn)A作出梯形ABCD的面積等分線（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；

（3）如圖8，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，S△ADC>S△ABC，過(guò)點(diǎn)A能否作出四邊形ABCD的面積等分線？若能，請(qǐng)畫(huà)出面積等分線，并給出證明；若不能，說(shuō)明理由.

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圖7 圖8

【答案】（1）中線所在的直線.

（2）連接BE，∵AB∥CE，AB=CE，∴四邊形ABEC為平行四邊形.∴BE∥AC，由平滑定理：S△ABC=S△AEC.

∴S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED.

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圖9 圖10

過(guò)點(diǎn)A的梯形ABCD的面積等分線的畫(huà)法如圖9所示.

（3）能.連接AC，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接AE.

∵BE∥AC，由“平滑定理”∴S△ABC=S△AEC.

∴S梯形ABCD=S△ACD+S△ABC=S△ACD+S△AEC=S△AED.

∵S△ACD>S△ABC，∴面積等分線必與CD相交，取DE中點(diǎn)F，則直線AF即為要求作的四邊形ABCD的面積等分線.作圖如圖10所示.

評(píng)析：（2）設(shè)AE與BC相交于點(diǎn)F.觀察圖形可知，要證明S梯形ABCD=S△ABE，就是要證明除去兩個(gè)三角形公共部分外的兩個(gè)小三角形△ABF和△CEF的面積相等.方法一：連接線段BE，由“平滑定理”知△ABC和△AEC面積相等，再同時(shí)減去公共部分面積，即可說(shuō)明△ABF和△CEF的面積相等；

（3）問(wèn)題更加趨向一般，由第（2）問(wèn)可知.AB與CD是否平行，不影響△ABF和△CEF的面積相等.故可依法炮制.

例4.（2010江蘇泰州，27，12分）如圖，二次函數(shù)y=-■x2+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（-■，■），與x軸交于A、B兩點(diǎn).

（1）求c的值；

（2）如圖11，設(shè)點(diǎn)C為該二次函數(shù)的圖象在x軸上方的一點(diǎn)，直線AC將四邊形ABCD的面積二等分，試證明線段BD被直線AC平分，并求此時(shí)直線AC的函數(shù)解析式；

（2）設(shè)點(diǎn)P、Q為該二次函數(shù)的圖象在x軸上方的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試猜想：是否存在這樣的點(diǎn)P、Q，使△AQP≌△ABP？如果存在，請(qǐng)舉例驗(yàn)證你的猜想；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.（圖12供選用）

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圖11 圖12

【答案】（1）c=6.

（2）過(guò)點(diǎn)D、B點(diǎn)分別作AC的垂線，垂足分別為E、F，設(shè)AC與BD交點(diǎn)為M，

∵AC將四邊形ABCD的面積二等分，即：S△ABC=S△ADC ∴DE=BF

由“平滑定理”知：AC平分BD，M是BD的中點(diǎn)，易求得M（■，■）

由A、M兩點(diǎn)坐標(biāo)可求出直線AC的解析式為y=■x+■.

（3）存在.由△AQP≌△ABP可知，AP是公共邊，AQ=AB，于是以A點(diǎn)為圓心，AB=4■為半徑作圓與拋物線在x上方一定有交點(diǎn)Q，連接AQ，再作∠QAB平分線AP交拋物線于P，連接BP、PQ，此時(shí)由“邊角邊”易得AQP≌△ABP.

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圖13

評(píng)析：本題（2）由“平滑定理”來(lái)尋求解題思路，不難發(fā)現(xiàn)S△ABC=S△ADC.

可得線段BD被直線AC平分；

（3）通過(guò)逆向思考，假設(shè)存在這樣的點(diǎn)P、Q，使△AQP≌△ABP，則可得AP平分∠QAB，通過(guò)畫(huà)圖可進(jìn)一步確認(rèn)其存在的可能性.

本題（2）（3）兩問(wèn)的設(shè)計(jì)獨(dú)具匠心，在解題時(shí)學(xué)生因想不到運(yùn)用平滑定理可能造成束手無(wú)策。

綜上所述，“平滑定理”在中考?jí)狠S題中有著廣泛的應(yīng)用，本文主要介紹了三種類(lèi)型題的應(yīng)用：“三角形面積轉(zhuǎn)換”“三角形面積相等”“面積等分線”。這三種應(yīng)用都是運(yùn)用了“平滑定理”的本質(zhì)同底等高。在求解三角形面積的時(shí)候可能有很多方法，如割補(bǔ)法、面積比等于相似比的平方等，我們要根據(jù)題目給出的已知條件，具體分析尋找最佳方法解答。事實(shí)證明，在求與三角形面積有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，我們適時(shí)應(yīng)用“平滑定理”會(huì)收到意想不到的效果，讓我們巧妙地應(yīng)用“平滑定理”來(lái)解決三角形面積問(wèn)題。

？誗編輯 謝尾合