高等代數(shù)在數(shù)學(xué)分析解題中的某些應(yīng)用分析

摘 要：作為高等教育的基礎(chǔ)性課程，高等代數(shù)的內(nèi)容會(huì)伴隨整個(gè)大學(xué)時(shí)代的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，但是由于它的內(nèi)容比較抽象，因此它也是比較難的一門學(xué)科。通過(guò)對(duì)高等代數(shù)在數(shù)學(xué)分析題中的某些應(yīng)用分析，進(jìn)一步探討高等代數(shù)不同的解題方法和思維方式，以期能夠?yàn)樘岣邔W(xué)生解題能力提供建設(shè)性的意見(jiàn)與建議。

關(guān)鍵詞：高等代數(shù)；數(shù)學(xué)分析；多項(xiàng)式

高等代數(shù)涉及多項(xiàng)式代數(shù)、矩陣代數(shù)、線性空間等方面，采用的是邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)公理化方法，結(jié)構(gòu)嚴(yán)密的程序化方法，很好地與古希臘教學(xué)思想結(jié)合在一起。但是，它也是學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，也是教師較難教授的一門學(xué)科。雖然大學(xué)生較高中生而言活躍了許多，但是由于高等教育的自由度較大，老師學(xué)生幾乎沒(méi)有什么約束力，所以學(xué)生的聽(tīng)講課率并不高，那么教學(xué)模式也僅僅局限于“教師提問(wèn)，學(xué)生回答”這種言語(yǔ)交流活動(dòng)中。當(dāng)然很難鍛煉學(xué)生的解題能力，也不利于學(xué)生今后的發(fā)展。

一、加強(qiáng)高等代數(shù)在數(shù)學(xué)分析題中應(yīng)用的必要性

不同的數(shù)學(xué)解題方法會(huì)啟發(fā)學(xué)生不同的思維能力會(huì)產(chǎn)生不一樣的教學(xué)效果。對(duì)于各種各樣復(fù)雜的數(shù)學(xué)題，提倡不同的解題方法是很有必要的。如果能夠加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)解題分析中的應(yīng)用，至少會(huì)產(chǎn)生以下兩大好的效果。

1.有利于增強(qiáng)學(xué)生的主體地位

從小學(xué)以來(lái)，學(xué)生一直都是為了考試、升學(xué)而學(xué)習(xí)，變成了應(yīng)試教育的工具。但是高等教育會(huì)給學(xué)生更多的自由空間，讓學(xué)生有更多的權(quán)利來(lái)支配自己的時(shí)間與精力。在高等代數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，在學(xué)生自主地學(xué)習(xí)、探討過(guò)程中就能夠充分展現(xiàn)他們的主體地位，而不再是被動(dòng)地接受知識(shí)了。

2.有利于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維

探索是創(chuàng)新的基礎(chǔ)，只有帶著問(wèn)題去思考、去探索，才會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)，否則便是無(wú)謂的思索。對(duì)于高等代數(shù)那種集數(shù)理性與邏輯性于一體的學(xué)科而言，教師簡(jiǎn)單地把概念性的東西傳授給學(xué)生是不可以的，那樣會(huì)使學(xué)生顯得很被動(dòng)，難以構(gòu)建新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。長(zhǎng)期以來(lái)，在應(yīng)試教育的大背景下，數(shù)學(xué)教學(xué)中一直過(guò)分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)性、嚴(yán)謹(jǐn)性和對(duì)學(xué)生的解題訓(xùn)練，卻忽視了引導(dǎo)學(xué)生去學(xué)習(xí)了解數(shù)學(xué)思想和方法發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程，數(shù)學(xué)課堂上缺少在現(xiàn)實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力培養(yǎng)。這樣的教學(xué)方式雖然培養(yǎng)了大批解題速度快、擅于解高難度題的學(xué)生，但是他們的實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)卻不夠。接受高等教育的學(xué)生即將面向社會(huì)，教學(xué)應(yīng)該更加注重學(xué)生的主體意識(shí)以及所教知識(shí)的實(shí)踐性。高等代數(shù)教學(xué)既能夠向?qū)W生傳授基礎(chǔ)知識(shí)，為后續(xù)學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，又能夠通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)，讓其能夠自主地創(chuàng)設(shè)情境、提出問(wèn)題、自主學(xué)習(xí)、解決問(wèn)題，促使學(xué)生形成并表達(dá)自己的見(jiàn)解，產(chǎn)生進(jìn)行交流的強(qiáng)烈愿望，增強(qiáng)其創(chuàng)新思維。

二、具體應(yīng)用分析

1.二次型理論的應(yīng)用

作為高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性知識(shí)，二次型理論有著廣泛的應(yīng)用。判斷多次二元函數(shù)的凸凹性和解出多次二元函數(shù)的極值在高等代數(shù)的運(yùn)算中有著舉足輕重的作用，它既用于實(shí)際解題，又用于理論研究。如下面的討論函數(shù)題：

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2.在極限方面的應(yīng)用

與二次型理論一樣，極限也是高等數(shù)學(xué)中的基本解題工具。極限的解題步驟如果用一般的數(shù)學(xué)知識(shí)則會(huì)非常復(fù)雜，牽涉到繁瑣的各種數(shù)學(xué)知識(shí)，但是如果利用高等代數(shù)中的線性相關(guān)方面的知識(shí)，就可以較為容易地解決問(wèn)題。如下面的在定義域上討論函數(shù)：

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3.在正交變換中的應(yīng)用

一般在計(jì)算多元函數(shù)在某個(gè)點(diǎn)的展開(kāi)公式中，如果用求偏導(dǎo)數(shù)的辦法，則會(huì)非常麻煩，而且計(jì)算量很大，但是采用正交變換的知識(shí)點(diǎn)，就可以通過(guò)運(yùn)算把多元函數(shù)轉(zhuǎn)變成一元函數(shù)，這樣化難為易，計(jì)算就變得簡(jiǎn)單很多。數(shù)學(xué)老師們?cè)诮虒W(xué)時(shí)可以不用拘泥于教材，對(duì)于比較通俗易懂的知識(shí)點(diǎn)，無(wú)須讓學(xué)生過(guò)多地進(jìn)行練習(xí)，可以適當(dāng)?shù)貫閷W(xué)生推薦相關(guān)的數(shù)學(xué)書(shū)籍，讓學(xué)生自主地、有選擇地進(jìn)行學(xué)習(xí)。開(kāi)展數(shù)學(xué)閱讀教學(xué)，有利于強(qiáng)化學(xué)生終身學(xué)習(xí)的意識(shí)，提高他們的自學(xué)能力，使學(xué)生從“學(xué)會(huì)”變?yōu)椤皶?huì)學(xué)”。

教師要善于開(kāi)闊學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生敢想、敢說(shuō)、敢問(wèn)、敢爭(zhēng)論的創(chuàng)新精神，使他們養(yǎng)成善于發(fā)現(xiàn)、善于思考、勤學(xué)好問(wèn)的良好習(xí)慣，這樣才有利于確立高等代數(shù)課堂教學(xué)中教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的教學(xué)環(huán)境，使大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程教學(xué)課堂真正成為學(xué)生主動(dòng)參與探索、發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題、獲得數(shù)學(xué)知識(shí)、提高數(shù)學(xué)素質(zhì)的場(chǎng)所。本文介紹了高等代數(shù)在不同的數(shù)學(xué)題型中幾種的解題應(yīng)用，但是現(xiàn)實(shí)生活中遇到的題型復(fù)雜多樣，不同的教師采取的策略各有千秋，只要能夠達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)的效果就好，并不僅僅局限于以上幾種方式。

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？誗編輯 李建軍