探析新形勢(shì)下概率論方法在數(shù)學(xué)分析中的應(yīng)用

摘 要：從個(gè)別物體到整體，從古代社會(huì)到現(xiàn)代社會(huì)，從山到水，從空氣到物體，從人到人……世間萬物中的種種都有其存在的原理與價(jià)值，而人與動(dòng)物最本質(zhì)的區(qū)別在于人的獨(dú)有智慧，在于人類對(duì)世界的探索。這個(gè)過程中產(chǎn)生了實(shí)踐，產(chǎn)生了學(xué)科，產(chǎn)生了知識(shí)。而廣義上的“數(shù)學(xué)”在這個(gè)過程中起到了不可替代的作用，它提供了計(jì)算的工具和方法，打開了探索世界的大門。數(shù)學(xué)發(fā)展歷史悠久，且出現(xiàn)了很多分支，這其中接觸最多的，上大學(xué)必須掌握的便是狹義上的數(shù)學(xué)分析，即所謂的微積分，它是以函數(shù)為研究對(duì)象的學(xué)科，在尋找自身發(fā)展邏輯的同時(shí)，也探索著其他更廣的領(lǐng)域。

關(guān)鍵詞：微積分；概率論；數(shù)學(xué)分析

概率論作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的一個(gè)重要分支，主要是研究某些確定的現(xiàn)象，然而新形勢(shì)下也可以研究某些確定的現(xiàn)象。鑒于此，它與其他數(shù)學(xué)分支的關(guān)系也是越來越密切。概率論研究的主要問題是可能性問題，比如，投擲一枚硬幣，出現(xiàn)正面的情況占多大比例；在小黑箱中放入同樣大小質(zhì)量的個(gè)數(shù)都為一的三種不同顏色的球，白色、黑色、紅色，問只準(zhǔn)摸一次，摸到白球的概率是多大……這種事件是很多的。那怎樣將它運(yùn)用到微積分中呢？這里我從以下方面來總結(jié)兩者的關(guān)系。

一、概率論能很好地解決微積分中關(guān)于極限的問題

在復(fù)雜的微積分求極限問題中，直接用數(shù)學(xué)分析方法是非常困難的，但如果用上概率論中的相關(guān)定理則復(fù)雜的問題會(huì)變的簡單。概率論中有中心極限定理、大數(shù)定理、泊松分布等，他們的運(yùn)用克服了微積分出現(xiàn)不可解問題的缺陷，使得看似困難的問題迎刃而解，給不可行問題多了一條求生的路。這里有三種題型可供參考：

1.一個(gè)未知數(shù)與和的乘積等于一個(gè)數(shù)列，求數(shù)列無窮趨向于一個(gè)數(shù)。這里要先把討論的問題與泊松分布結(jié)合起來，然后用中心極限定理就可得出結(jié)果。

2.已知未知數(shù)x等于一個(gè)方程式，求有x的另一個(gè)復(fù)雜方程式的和的極限。這是一種比較復(fù)雜的極限問題，用一般方法很難解出，利用獨(dú)立同分布的中心極限定理和密度極限定理求極限的方法算出即可。

3.關(guān)于多重積分的問題。該類問題由于運(yùn)算次數(shù)很多，一般的方法基本上無法求出，而用大數(shù)定律作為理論基礎(chǔ)，可獲得n重積分（n很大時(shí)）的近似值，即得到n重積分的極限。其實(shí)這樣的題目還有很多，這里就不一一列舉了，總結(jié)一下就是在以后的微積分題目中可以適當(dāng)運(yùn)用概率論中的相關(guān)定理，這樣既簡便又快捷。

二、概率論能很好地解決微積分中關(guān)于積分的問題

都知道積分知識(shí)是在微積分中學(xué)到的，那么概率論在這方面與微積分又有什么聯(lián)系呢？有如下題型：

1.已知區(qū)域?yàn)橐粋€(gè)橢圓，求一個(gè)在該區(qū)域上的二重積分。如若用微積分思想只能是通過換元，將二重積分轉(zhuǎn)換為二次積分得到結(jié)果，但其過程是非常復(fù)雜晦澀的，如果通過構(gòu)造二維正態(tài)分布，避免換元，只需要短短幾個(gè)公式就可以得到結(jié)果，何樂而不為？

2.證明一個(gè)積分的平方等于一個(gè)常數(shù)。概率論中正態(tài)分布是一個(gè)復(fù)雜但又非常特殊的函數(shù)，它的構(gòu)造可以解決很多問題。將一個(gè)函數(shù)表示成正態(tài)分布的形式，那么我們可以很快得出其期望、方差及積分，那么后面的問題就可以迎刃而解了。善于利用正態(tài)分布是非常有必要的。關(guān)于積分的問題需要從概率分布入手，尤其注意正態(tài)分布，并利用其數(shù)字特征，積分問題就很好地解決了。

三、概率論能很好地解決微積分中關(guān)于恒等式問題

恒等式一般有三種形式，借助概率論中的古典概率模型、巴拿赫火柴問題及二次分布概率模型，能提供不一樣的思路解決此類問題。

1.證明常數(shù)加上由m、n組成的式子等于m與n的比值。這里可通過構(gòu)造古典概率模型用概率論方法便可以很好地解決，且思路非常新穎。

2.證明未知式子的和等于一個(gè)常數(shù)?？蓪⑵渥兂梢粋€(gè)實(shí)際的例子，將n項(xiàng)和變成一個(gè)實(shí)際問題，如比賽問題，那么問題便會(huì)變的簡單直觀，且別出心裁。

3.巴拿赫火柴問題是非常經(jīng)典的問題，再加上引入的巴拿卡分布，會(huì)使這類問題變得非常簡單。

復(fù)雜的恒等式直接證明是非常困難的，但如果我們將其構(gòu)造成一個(gè)概率模型，并將其與實(shí)際例子結(jié)合起來，便會(huì)很容易理解。

四、概率論能很好地解決微積分中關(guān)于不等式的問題

其關(guān)鍵是根據(jù)不同的問題建立相應(yīng)的隨機(jī)概率模型，再利用密度函數(shù)、概率直接的相關(guān)性質(zhì)給出答案。這類問題我就不在這里細(xì)講了，其思路與上面所講類型有異曲同工之處。

其實(shí)還有很多微積分問題能與概率論問題聯(lián)系起來，數(shù)學(xué)分支本來就是相通的。只要細(xì)心一點(diǎn)，多看題，多做題，多思考，將學(xué)過的知識(shí)聯(lián)系起來。換一種思路，也許就會(huì)有意想不到的結(jié)果。概率論與微積分本身就有著密切聯(lián)系，只是我們很容易忽略掉。如今出現(xiàn)了很多關(guān)于數(shù)學(xué)新的觀點(diǎn)和新的理論，為我們解決數(shù)學(xué)問題提供了更加廣闊的視野，更好地將概率論應(yīng)用到數(shù)學(xué)分析中。

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？誗編輯 孫玲娟