淺談對任意角三角函數(shù)概念教學的思考

摘 要：數(shù)學概念是數(shù)學認知的開始，貫穿整個相關(guān)知識體系的學習。在技工學校的數(shù)學教學中，任意角三角函數(shù)是教學的重點，也是難點。針對任意角三角函數(shù)的概念教學進行探討。

關(guān)鍵詞：函數(shù)；任意角三角函數(shù)；概念教學

數(shù)學概念的敘述語言雖然直接簡練，但是包含了豐富的數(shù)量關(guān)系和空間形式，是事物本質(zhì)特征、內(nèi)在聯(lián)系及規(guī)律的概括。任何一種認知的開始即是對概念的理解。教學中概念教學將會直接影響學生后續(xù)知識的學習和能力的形成?；谝陨险J識，教學中加強了對概念教學的重視，本文將結(jié)合實踐教學中的情況對任意角三角函數(shù)基本概念的教學作一些分析、探討。

一、任意角三角函數(shù)與函數(shù)

任意角三角函數(shù)是常用的周期函數(shù)，是繼函數(shù)概念后學習的具體函數(shù)，但由于三角函數(shù)特殊的運算符號，及課本所給的形式是：sinα=■，cosα=■，tanα=■，大部分學生在學習過程中認為和前面所學函數(shù)y=f（x）的表達形式不同，懷疑這樣的函數(shù)和前面所學的函數(shù)真是一個概念嗎？由于學生在學習前面的函數(shù)概念時，習慣用x解析式表示y的函數(shù)，當看到課本所給的不太一樣的形式時，比較難確定是怎樣的函數(shù)關(guān)系。即使知道具體是角與比值之間的函數(shù)關(guān)系，也較難將這抽象的概念形象具體化并靈活運用。因此，教學中要從感性的實際周期函數(shù)例子到一般抽象的函數(shù)形式逐漸深入教學，展示出三角函數(shù)概念的由來，讓學生能夠切實體會到三角函數(shù)的實際意義，明確三角函數(shù)的變量是角度和比值之間的函數(shù)關(guān)系，反映的是周期變化情況。當能理解角度與比值的關(guān)系，自然就能明白用單位圓定義的三角函數(shù)，靈活計算出任意角的三角函數(shù)值，體會到任意角的三角函數(shù)是一種特殊的函數(shù)關(guān)系，最終加深對函數(shù)的理解，形成一定的概念體系。

二、明確任意角的三角函數(shù)有六種表達形式

任意角的三角函數(shù)有六種表達形式，勞動版技工學校現(xiàn)使用的數(shù)學課本只提到較常用的三種，對于技工學校所教授的專業(yè)程度來講，這已經(jīng)足夠。不過實際上，x、y、r這三個量之間的比值有六個比值，分別是■、■、■、■、■及■，故角的變化會引起六個比值的不同，也就有六種函數(shù)形式。雖然學生能夠根據(jù)學習前三種函數(shù)的方法去理解掌握后三種函數(shù)，但在實際教學中教育者仍要明確六種表達形式，要知道若想幫助學生進一步認知這一概念，就有必要對概念的外延做必要講解。否則，學生會認為課本所給的三種函數(shù)表達形式就是三角函數(shù)的全部，遇到其他的表達形式會產(chǎn)生懷疑，畢竟課本上沒有給出三種之外的其他形式，且在做相關(guān)練習時，會下意識地將計變量上下顛倒來計算比值，造成答題錯誤。所以教學中應該充分揭示概念的內(nèi)涵與外延，明確六種表達形式和它們的形式特點，以便學生靈活解決遇到的各種問題。

三、對比銳角三角函數(shù)和任意角三角函數(shù)

銳角三角函數(shù)和任意角三角函數(shù)的函數(shù)名相同，表達形式一樣，形成過程也非常相似，且學習任意角三角函數(shù)之前，學生已經(jīng)學習銳角三角函數(shù)，習慣在直角三角形中的對邊、鄰變和斜邊，致使學生容易產(chǎn)生混淆，將任意角的三角函數(shù)也說成這三邊之間的比值，疏于考慮三角函數(shù)值的符號，運用概念時產(chǎn)生負遷移，造成解題錯誤。且受先入為主的影響，學生會產(chǎn)生這樣的疑問：為什么可以將銳角三角函數(shù)的定義用于任意角的三角函數(shù)？既然是這樣，怎么還這么麻煩地將對邊、鄰變和斜邊改成x、y、r。由于初次學習，很容易就忽略銳角是第一象限角，x、y的取值都是大于零的，而鈍角則是第二象限角，x的取值是小于零的，比值出現(xiàn)有負數(shù)。學習中，他們很快便能感知到銳角三角函數(shù)和任意角三角函數(shù)的相似，卻較難清晰地理解兩者的連續(xù)與區(qū)別。注意引導學生對比兩者的概念，防止產(chǎn)生負遷移是任意角三角函數(shù)概念教學的關(guān)鍵。

四、正確運用概念

學習概念最終目的是運用概念為我們的學習、生活和生產(chǎn)所用，所以在向?qū)W生講解完基本概念后，要采取多種形式，幫助學生多次復習已經(jīng)學習的概念，并通過多種途徑去引導學生靈活運用概念，解決遇到的實際問題。只有這樣做才能體現(xiàn)課堂教學的真正意義，同時通過多次反復的運用概念，可以使學生加深對概念本身的理解，更好地掌握概念。

要使學生能正確運用概念，我認為應注意引導學生運用概念去分辨出數(shù)學對象的不同屬性，抓住對象的特點，發(fā)現(xiàn)其本質(zhì)。所以三角函數(shù)雖有六種形式，但每種形式特點不同，能解決的對象也不一樣，俗話說：“兵來將擋，水來土掩?！弊プ∈挛锏谋举|(zhì)才能解決好問題。

五、為后續(xù)教學做好鋪墊

概念教學只是任意角三角函數(shù)教學的開始部分，后續(xù)還有三角函數(shù)關(guān)系、誘導公式、圖象等，這些教學都要以基本概念作為基本認知。例如，任意角的三角函數(shù)關(guān)系，根據(jù)概念中的比值：■、■、■，我們就可以推斷出：sinα·cosα=1、tanα=■等基本函數(shù)關(guān)系。而在誘導公式教學中，學生不僅要理解概念，還要能夠用動態(tài)的觀點去看待平面直角坐標系上角的變化，畫出任意角的終邊位置，準確判斷取值的符號，懂得終邊相同的角，可以歸納出一般形式，這么多能力要求不可能一次課便能掌握到位，概念教學時就可以引導學生掌握終邊相同角、取值符號等知識，這樣會使教學前后呼應，更具連貫性，學生的學習也會相對變得容易。

任意角的三角函數(shù)運用廣泛，其概念教學較具現(xiàn)實意義，教學中不僅要遵循概念教學的一般要求，還應該注意教學與實踐的結(jié)合，避免形式化地去講解概念。教無定法，使用不同途徑和教學方法來達到更好的教學效果，實現(xiàn)教學目的，是教育工作者不斷努力追求的目標。

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？誗編輯 孫玲娟