高師數(shù)學(xué)專業(yè)《常微分方程》課程教學(xué)模式改革的探索

羅振國+羅李平+王艷群+曾云輝

摘要：常微分方程是高等師范院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的主要課程之一。文章針對常微分方程教學(xué)中存在的問題和矛盾，結(jié)合其特點，提出了教學(xué)內(nèi)容與教學(xué)方法改革的一些建議，探討常微分方程課程教學(xué)改革之路，培養(yǎng)當代大學(xué)生的獨立思考能力和創(chuàng)新能力，提高課堂教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：高等師范院校；課程教學(xué)；培養(yǎng)

中圖分類號：G642.0 文獻標志碼：A 文章編號：1674-9324（2016）02-0088-02

一、引言

常微分方程是高等師范院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的主要基礎(chǔ)課程。一方面，它是數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)等課程的延續(xù)和補充，另一方面，它是微分方程定性理論、偏微分方程等課程的前提和基礎(chǔ)。常微分方程是自然科學(xué)、社會科學(xué)中精確描述各種基本定律和相關(guān)問題的重要工具和手段。只要根據(jù)問題的前提條件和應(yīng)用背景建立微分方程模型，利用相應(yīng)的微分方程的求解方法計算出該微分模型的精確解或數(shù)值解，從而人們就可以利用其結(jié)果預(yù)見事情的發(fā)展趨勢，比如2003年爆發(fā)的非典，根據(jù)非典的特點和發(fā)展趨勢，數(shù)學(xué)家和醫(yī)學(xué)專家建立相應(yīng)的微分方程模型，并找到控制疾病的方法、研發(fā)有效的藥物。由此可見，常微分方程變成人們發(fā)現(xiàn)、認識、適應(yīng)、改造自然和世界的有力工具，也是將數(shù)學(xué)等理論應(yīng)用實際的主要途徑。因此，常微分方程對高等師范院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用專業(yè)學(xué)生應(yīng)用能力的培養(yǎng)是至關(guān)重要的。

二、常微分方程課程教學(xué)模式改革的必要性

目前衡陽師范學(xué)院等高等師范院校在“常微分方程”課程教學(xué)中，存在一些問題和矛盾，結(jié)合以前學(xué)習(xí)常微分方程及現(xiàn)在擔任常微分方程教學(xué)任務(wù)的親身體會，筆者認為主要有以下幾點：

第一，講解應(yīng)用實際問題例題方面不夠。眾所周知，在眾多抽象的數(shù)學(xué)專業(yè)課程中，常微分方程是一門與自然世界聯(lián)系非常密切的數(shù)學(xué)課程，可是，擔任這門課程的任課教師在教學(xué)過程中，經(jīng)常忽略這一特點，比如在教學(xué)內(nèi)容的處理方面，根據(jù)教材，只注重講授微分方程的基本定義、解的存在唯一性等基本理論和一階或高階微分模型的基本解法，很少補充講授常見的微分方程模型的背景知識、如何分析模型、求解模型及模型的應(yīng)用價值。事實上，許多的常微分方程模型在量子力學(xué)、社會關(guān)系學(xué)、醫(yī)學(xué)中傳染病、分子化學(xué)、金融經(jīng)濟學(xué)及氣象學(xué)中應(yīng)用非常廣泛。分析和講解這些實際問題的理論背景對于激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)常微分方程的興趣是至關(guān)重要的，使他們深刻意識到常微分方程模型在求解具體實際問題發(fā)揮非常重要的應(yīng)用價值，從而培育學(xué)生的發(fā)現(xiàn)、分析和解決實際問題的能力，進一步激發(fā)他們的創(chuàng)造性。

第二，處理教材的教學(xué)內(nèi)容方面不太合理。許多重要的定理（例如一階微分方程解的存在唯一性定理），任課教師在課堂上只簡復(fù)述一下定理的主要內(nèi)容，然后簡單板書一下定理證明的五個步驟，沒有闡述清楚為什么要分五步來證明，也沒有著重強調(diào)它與微分方程組或高階微分方程解存在唯一性的相互關(guān)系；還有一些重要的基礎(chǔ)內(nèi)容（例如，質(zhì)點振動、第二宇宙速度計算等），許多任課教師一筆帶過或略講，這些內(nèi)容恰恰體現(xiàn)常微分方程在物理學(xué)中的應(yīng)用，學(xué)生可以用常微分方程相關(guān)知識來求解中學(xué)時學(xué)過的物理知識，簡單明了，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)常微分方程的興趣；此外，有些知識點（例如奇解、數(shù)值解等）雖然課程設(shè)置不作要求，不在常微分方程考試范圍內(nèi)，任課老師就只字不提，然而這些知識點在研究生課程——《微分方程定性理論》及《微分方程數(shù)值解》中占有十分重要的位置。

第三，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性方面不夠。當前在中國，大學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)知識積極性不高是一種非常普遍的現(xiàn)象：課前很少有學(xué)生自覺預(yù)習(xí)，課后自動復(fù)習(xí)的學(xué)生少之又少，導(dǎo)致課堂上檢查預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)的效果很差；課堂上提問題的學(xué)生比較少，課后向老師請教的學(xué)生更少了，而在美國大學(xué)課堂上，有疑問學(xué)生可以直接向任課教師提問或者探討不同的觀點，或者利用隨身帶IPAD等電子設(shè)備查閱相關(guān)的參考文獻來驗證，課堂氣氛非常融洽；做作業(yè)也只完成教師指定的作業(yè)，大部分學(xué)生相互抄襲，很少有學(xué)生把課后所有作業(yè)都獨立完成，課程考試成績一般由期末考試和平時表現(xiàn)決定，而在美國，學(xué)生可以自由選擇課后作業(yè)，獨立完成，課程考試成績由期末考試、月考和平時表現(xiàn)決定。造成這種想象的原因有很多：監(jiān)考制度不嚴，平時學(xué)習(xí)好的考試不一定得高分；就業(yè)壓力大，成績優(yōu)秀的不一定能找到好工作；近幾年來我國高校的擴招，導(dǎo)致所錄取的大學(xué)生整體素質(zhì)不高，學(xué)生接收消化知識的能力下降；最近社會涌現(xiàn)出一批低學(xué)歷的暴發(fā)戶，讓大學(xué)生認為創(chuàng)業(yè)更容易發(fā)揮自己的價值，感覺沒有考上大學(xué)的比考上大學(xué)的混得更好等等。主要原因是由任課教師的課堂教學(xué)的引導(dǎo)造成的，在教學(xué)過程中，從這一章節(jié)到另一章節(jié)，知識點銜接不好，學(xué)生不能發(fā)現(xiàn)它們之間的聯(lián)系，把握不好整個課程知識的整體框架，相關(guān)知識點之間的融會貫通的能力差，學(xué)完課程不能發(fā)現(xiàn)它的用處。

三、關(guān)于常微分方程課程教學(xué)改革的幾點建議

眾所周知，每一門課程都有它自己獨有的特點，常微分方程具有理論、實際和計算的鮮明特點。理論是指微分方程（組）解存在唯一性定理、穩(wěn)定性、奇點、極限環(huán)、分支和混沌等，因為一般情況不能直接找到微分方程的（通）解，通常只能利用MATLAB等軟件得到其似近解，然而這些理論就是其數(shù)值計算的主要依據(jù)；實際就是指微分方程與自然社會聯(lián)系緊密，微分方程關(guān)系表達式就是描述自然社會中量與量之間的關(guān)聯(lián)；計算是指利用已知條件求出微分方程（組）的（通）解。顯然，常微分方程的教學(xué)改革不只是改變教學(xué)手段和方式，而依據(jù)其特點，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高學(xué)生解決實際問題的能力，從而達到良好的實際效果的變革。因此，針對常微分方程課堂教學(xué)中出現(xiàn)的問題和矛盾，我們制定以下幾條措施。

第一，凸顯常微分方程的應(yīng)用性。常微分方程作為高等師范院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)人才培養(yǎng)方案的核心課程，具有很強實際應(yīng)用性。具體體現(xiàn)在：客觀實際中許多抽象數(shù)學(xué)理論主要通過建立微分方程模型來實現(xiàn)在其他學(xué)科的應(yīng)用，比如著名牛頓運動定律、RLC電路、質(zhì)點振動、Malthus人口模型、傳染病模型、化學(xué)動力學(xué)模型等都可以通過常微分方程來建立數(shù)學(xué)模型。首先，作為任課教師必須在課堂教學(xué)上向?qū)W生解釋這些微分方程模型的實際背景，如何重述實際問題，課堂上演示如何將問題轉(zhuǎn)化，從而建立相應(yīng)的微分方程模型，接著引導(dǎo)學(xué)生利用所學(xué)的微分知識對已經(jīng)建立的微分方程進行求解，然后根據(jù)問題的實際背景對所建立的模型進行修正和改善，從而建立合理而又客觀的數(shù)學(xué)模型，這樣既有利于提高學(xué)生的分析問題和解決問題能力，又激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，簡而言之，任課教師要不斷培育和增進學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力；其次，在布置課后作業(yè)時，任課教師要據(jù)學(xué)生的情況設(shè)置一些實用性、趣味性、開放性的習(xí)題，告訴學(xué)生完成作業(yè)的方式可以多種多樣，例如學(xué)生分組，一起討論、相互合作，共同完成作業(yè)，完成的時間很寬裕，這樣既調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，又可以提高學(xué)生團隊合作能力；再次，有條件的教師鼓勵學(xué)生參與自己的科研立項項目，或者指導(dǎo)學(xué)生申報大學(xué)生研究性創(chuàng)新項目；最后，期末考試內(nèi)容和形式也可以多樣化。

第二，整合與優(yōu)化課堂教學(xué)內(nèi)容。任課教師在講授常微分方程過程中，根據(jù)自己的教學(xué)對象，對教學(xué)內(nèi)容進行整合與優(yōu)化。首先，由于高階微分方程可以等價轉(zhuǎn)化為一階線性微分方程組，因此高階微分方程存在唯一性定理及其基本理論與一階線性微分方程組的相應(yīng)內(nèi)容非常相似，通過對比講授，它們的相同之處可以快速講過去，重點分析它們的不同的地方，這樣既可以在較少的授課時間內(nèi)完成教學(xué)任務(wù)，緩解學(xué)生學(xué)習(xí)的壓力，又能增加學(xué)生的印象，從而真正地理解和掌握這兩部分內(nèi)容。教師應(yīng)從課外選出一些有代表性的習(xí)題，尤其是考研的試題作為例子進行講解，這樣授課的范圍不僅僅局限于教材，避免出現(xiàn)照本宣科的現(xiàn)象，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，同時可以增強學(xué)生考研的信心。

第三，增強師生的互動性。在教學(xué)過程中真正充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，讓學(xué)生養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的習(xí)慣、培育敢于探索的精神是高等師范院校數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)常微分方程教學(xué)方法改革的核心。就像在美國大學(xué)課堂教學(xué)中，學(xué)生事先預(yù)習(xí)，先了解一些基本概念、基本問題，容易理解的知識點，在時間充裕的情況下可以讓學(xué)生在課堂上講解，有不同觀點的可以相互闡述，同時允許學(xué)生自己查找各種相似問題，在課堂與老師、同學(xué)們分享，這樣真正讓學(xué)生參與到教學(xué)過程中來，能夠充分調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性。另外，任課教師在講授例題時，從問題的研究背景、問題的引入到解決，處處設(shè)置疑問，留下伏筆，提出問題，盡可能激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生分析問題?？偠灾诶}解答過程中，學(xué)生參與討論，勇于發(fā)表自己的觀點，營造一個師生平等、有問有答的課堂環(huán)境，從而培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的好習(xí)慣，增強學(xué)生不怕困難、敢于鉆研、不斷探索問題的能力。

四、結(jié)束語

面向新世紀，為社會培養(yǎng)出更多理論知識扎實、專業(yè)知識過硬、實踐能力超強的應(yīng)用技術(shù)型本科人才，每一個從事高等教育的人民教師，都應(yīng)該及時轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念，調(diào)整和優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容，更新教學(xué)手段和考核方式，為制定與時俱進的課程體系貢獻自己的光和熱！

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