一維熱方程邊界值識(shí)別問題的一種優(yōu)化算法

【摘 要】本文主要研究了一維熱方程邊界值識(shí)別問題。該問題在工業(yè)中有很廣泛的應(yīng)用，對(duì)這類問題的研究方法已有很多。本文主要是用一種新的方法——遺傳算法來求解反演邊界值問題。首先將本問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)最優(yōu)化問題，然后通過遺傳算子即交叉算子和變異算子的作用來計(jì)算此最優(yōu)化問題。遺傳算法是一種智能算法，它的應(yīng)用非常廣泛。到目前為止，已經(jīng)有很多文獻(xiàn)研究了遺傳算法的全局收斂性。它比一般的優(yōu)化算法具有更高的收斂速度。本文通過數(shù)值例子驗(yàn)證了遺傳算法在解決熱方程邊界值問題中的有效性。

【關(guān)鍵詞】反邊界值問題； 不適定問題；遺傳算法；遺傳算子

一、引言

數(shù)學(xué)物理反問題的簡(jiǎn)介

在應(yīng)用數(shù)學(xué)研究日常生活中具體的自然現(xiàn)象和自然規(guī)律時(shí)，我們首先要給出自然現(xiàn)象或物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述，即數(shù)學(xué)模型。而是正確的模型應(yīng)具備一下三個(gè)條件：（1）該模型的解是存在的，即該模型確實(shí)時(shí)描述了一類自然現(xiàn)象或規(guī)律；（2）該模型的解是唯一的；（3）該模型的解對(duì)輸入數(shù)據(jù)是穩(wěn)定的，即解對(duì)數(shù)據(jù)的誤差是連續(xù)的。這也是數(shù)學(xué)模型必需具備的三個(gè)條件，也是我們經(jīng)常提及到的解的存在性、唯一性和穩(wěn)定性。若這三個(gè)條件中的任何一個(gè)不滿足，我們都稱此問題是不適定問題。隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展，這類不適定問題在實(shí)際應(yīng)用中出現(xiàn)的越來越多，我們把這類不適定問題稱之為數(shù)學(xué)物理反問題。在很多應(yīng)用領(lǐng)域都出現(xiàn)了這類反問題。像在資源勘探，大氣測(cè)量，海洋工程，遙感技術(shù)，控制與識(shí)別等領(lǐng)域中出現(xiàn)了大量的反問題。這引起了數(shù)學(xué)家的廣泛重視和深入研究。使數(shù)學(xué)物理反問題的研究越來越受到很多人的關(guān)注，也使它稱為現(xiàn)代數(shù)學(xué)領(lǐng)域中發(fā)展最快的方向之一。

遺傳算法簡(jiǎn)介：

遺傳算法是根據(jù)自然界中的生物對(duì)其生存的環(huán)境根據(jù)自己的適應(yīng)性選擇適合自己的生存環(huán)境，特別是在各物種相互競(jìng)爭(zhēng)的環(huán)境中生存。根據(jù)達(dá)爾文的自然選擇和孟德爾遺傳變異理論，通過生物的繁殖、變異、競(jìng)爭(zhēng)和選擇等基本形式來實(shí)現(xiàn)，使適應(yīng)環(huán)境的變異個(gè)體留下來，不適應(yīng)環(huán)境的變異個(gè)體被淘汰，通過一代代生物對(duì)生存環(huán)境的選擇作用，物種變異被定向?yàn)橄蛑m應(yīng)環(huán)境的方向發(fā)展，最后演變?yōu)檫m應(yīng)環(huán)境的個(gè)體，遺傳算法是建立在模擬生物進(jìn)化過程的基礎(chǔ)上的隨機(jī)搜索的優(yōu)化算法，

在最優(yōu)化方面的應(yīng)用就是根據(jù)上面的原理，將所求問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)優(yōu)化問題，即確定目標(biāo)函數(shù)。經(jīng)過一系列的編碼、遺傳、變異、交叉、選擇和解碼等操作，然后利用“適者生存，優(yōu)勝劣汰”的原理得到問題的近似最優(yōu)解或最優(yōu)解。

二、問題描述

本文考慮一下熱傳導(dǎo)問題

其中為給定函數(shù)。若邊界條件u（1，t）已知時(shí)，則由邊界條件（2）和（3）就構(gòu)成一個(gè)混合邊界的正問題，可以求出任意時(shí)刻任意位置的溫度u。而當(dāng)u（1，t）未知時(shí)，問題就是一個(gè)反問題。為了求出邊界x=1上的溫度分布，必需給出其他邊界上的數(shù)據(jù)，本文給出了x=0時(shí)的溫度g（t）。

為了求解該問題，本文將用遺傳算法來求解，按照遺傳算法的要求，先將所求問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)優(yōu)化問題即

（5）

其中上式中大范數(shù)為L(zhǎng)2范數(shù)。G（t）是對(duì)應(yīng)隨機(jī)產(chǎn)生的u（1，t）解正問題邊界x=0時(shí)的溫度的計(jì)算值。gδ（t）是邊界x=0時(shí)解正問題時(shí)得到的溫度計(jì)算值。

將上式離散為 （6）

其中m為時(shí)間的節(jié)點(diǎn)數(shù)。

適應(yīng)度函數(shù)為 （7）

下面將按照上面介紹的遺傳算法來求解該問題。其具體步驟如下：

（1）首先產(chǎn)生一個(gè)初始種群u（1，t），初始種群的大小設(shè)置為20.

（2）將產(chǎn)生的初始種群帶入到目標(biāo)函數(shù)（6）中，看是否滿足目標(biāo)函數(shù)的精度要求，若滿足則停止計(jì)算，否則進(jìn)行遺傳操作。

（3）將產(chǎn)生的初始種群帶入到適應(yīng)度函數(shù)（7）中，計(jì)算每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值，然后根據(jù)輪盤賭方法選擇優(yōu)良個(gè)體。

（4）利用實(shí)數(shù)編碼的交叉算子和變異算子對(duì)所選個(gè)體進(jìn)行變異操作產(chǎn)生新個(gè)體，新個(gè)體產(chǎn)生后轉(zhuǎn)入（2）計(jì)算。

反復(fù)操作以上步驟，直到找到所需要的解為止。

三、數(shù)值試驗(yàn)

本文將通過數(shù)值例子來驗(yàn)證用遺傳算法在求解這類問題時(shí)是有效的。

在下面所給的例子中，方程（1）中的a2=1。所得的測(cè)量數(shù)據(jù) 是帶有誤差的數(shù)據(jù)。

例1：已知精確解 u（x，t）=1+2x （8）

則邊界x=1上的溫度為u（1，t）=3此時(shí)邊界溫度是一個(gè)關(guān)于時(shí)間t的常熟函數(shù)。均可有精確解得到。當(dāng)分別給加上δ=0.001，0.01，0.05時(shí)的擾動(dòng)量時(shí)反演數(shù)值結(jié)果見圖（1）.從圖中可以看出隨著擾動(dòng)量的增加實(shí)驗(yàn)結(jié)果與精確解之間的偏差越來越大。遺傳算法關(guān)于時(shí)間t的常數(shù)函數(shù)是有效的。

例2：假設(shè)邊界溫度是 u（1，t）=t2-t+1 （9）

則邊界給出，在邊界x=0時(shí)的溫度g（t）由解正問題得到。用差分法求解正問題。我們選取時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)。從圖（2）中可以看出隨著擾動(dòng)量的增加實(shí)驗(yàn)結(jié)果與精確解之間的偏差越來越大。遺傳算法關(guān)于時(shí)間t的二次函數(shù)是有效的。

例3：：假設(shè)邊界溫度是由分段函數(shù)給出的

（10）

則邊界給出 ，在邊界x=0時(shí)的溫度g（t）由解正問題得到。利用例2的方法可以得到。從圖（3）中可以看出隨著擾動(dòng)量的增加實(shí)驗(yàn)結(jié)果與精確解之間的偏差越來越大。遺傳算法關(guān)于時(shí)間t的分段函數(shù)是有效的，只是在t=0.5時(shí)的結(jié)果相對(duì)差些，其他點(diǎn)與精確解基本吻合。

四、結(jié)論

本文中，我們分別研究了邊界值關(guān)于時(shí)間t的不同函數(shù)的識(shí)別問題，在數(shù)值實(shí)驗(yàn)時(shí)，我們分別加上不同的誤差水平，都得到合理的數(shù)值結(jié)果。也驗(yàn)證了遺傳算法對(duì)邊界值反演問題是有效的。

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