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    數(shù)學(xué)解題中的聯(lián)想和探索

    2015-04-29 00:00:00楊瑞華
    學(xué)園 2015年13期

    【摘""要】在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,抓住典型例題進(jìn)行深入講解,可啟發(fā)學(xué)生對例題的思考,探索更多更深層次的結(jié)論和方法。解完一題后應(yīng)善于聯(lián)想,探索能否在保持已知條件不變的情況下得出更深刻的結(jié)論。

    【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)教學(xué)""聯(lián)想""探索

    【中圖分類號】G712"""""""""""【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A"""""""""""【文章編號】1674-4810(2015)13-0174-02

    在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中,抓住典型例題進(jìn)行深入講解,可啟發(fā)學(xué)生對例題的思考,探索更多更深層次的結(jié)論和方法。步步深入,層層推出,既使知識達(dá)到一定的高度,又可降低知識的坡度,既加深豐富了所學(xué)知識,又可培養(yǎng)學(xué)生的思維,能更有效地提高教學(xué)效果。

    此外,解完一題后應(yīng)善于聯(lián)想,探索能否在保持已知條件不變的情況下得出更深刻的結(jié)論。這樣的探索對于培養(yǎng)學(xué)生鍥而不舍的精神及創(chuàng)造性思維是大有裨益的。

    下面略舉幾例,期望能起到舉一反三、觸類旁通的作用。

    例1,計(jì)算(ctg3°-1)(1-ctg42°)的值。

    解:(ctg3°-1)(1-ctg42°)=(ctg3°-1)[1-ctg(45°-3°)]

    =(ctg3°-1)(1-)

    =(ctg3°-1)·=-2。

    以上解法利用了42°+3°=45°且ctg45°=1的特點(diǎn),那么我們可以利用這個(gè)特點(diǎn)進(jìn)行探索、聯(lián)想。

    探索1:(ctg4°-1)(1-ctg41°)=-2(證略)。

    探索2:若x+y=45°,則(ctgx-1)(1-ctgy)=-2。

    證:左=(ctgx-1)[1-ctg(45°-x)]=(ctgx-1)

    [1-]

    =ctgx-ctg45°-ctgxctg45°-1=-2=右

    探索3:(1-ctg1°)(1-ctg2°)(1-ctg3°)…(1-ctg44°)=(-1)22(-2)22=222(證略)。

    上述解法主要利用了x+y=45°及ctg45°=1的特點(diǎn),同時(shí)ctg(180°+45°)=ctg45°=1,因此有下面的探索。

    探索4:若x+y=225°,則(ctgx-1)(1-ctgy)=-2(證略)。

    進(jìn)而有下面的探索。

    探索5:若x+y=k·180°+45°(k∈z),則(ctgx-1)(1-ctg"y)=-2(證略)。

    若將探索5的條件與結(jié)論倒過來,是否成立呢?因此有下面的探索。

    探索6:若(ctgx-1)(1-ctg"y)=-2,則x+y=k·180°+45°(k∈z)。

    證:只證ctg(x+y)=1即可。

    事實(shí)上,由條件知ctgx-ctgxctgy-1+ctgy=-2,所以ctgx+ctgy=ctgxctgy-1。

    從而ctgx+ctgy≠0,否則條件不成立,所以,

    即ctg(x+y)=1。

    我們將探索5的結(jié)論變?yōu)閇-ctg(-x)-1][1+ctg(-α)]=-2。

    由x+y=k·180°+45°,知-x+(-y)=-k·180°-45°。

    若令α=-x,β=-y,n=-k,則又可得到下面的探索。

    探索7:若α+β=n·180°-45°(n∈z),則有(-ctgα-1)(1+ctgβ)=-2。

    同樣想到將探索7的條件與結(jié)論倒置,因此有下面的探索。

    探索8:若(-ctgα-1)(1+ctgβ)=-2,則α+β=n·180°-45°(n∈z)(證略)。

    例2,設(shè)x≥0,y≥0,z≥0且x+y+z=1。

    求證:。

    證明:∵x≥0,y≥0,z≥0

    教學(xué)實(shí)踐證明,教學(xué)中抓住典型例題,探索其蘊(yùn)藏的內(nèi)在聯(lián)系和結(jié)構(gòu)特點(diǎn),加以改進(jìn)、發(fā)展、延伸,既能強(qiáng)化學(xué)生的基礎(chǔ)知識、運(yùn)算能力和思維能力,又能使學(xué)生學(xué)得主動(dòng)、靈活。

    〔責(zé)任編輯:龐遠(yuǎn)燕〕

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