例析二項(xiàng)式定理的六種應(yīng)用

本文對(duì)二項(xiàng)式定理常見(jiàn)的六種應(yīng)用進(jìn)行總結(jié)，希望對(duì)同學(xué)們的學(xué)習(xí)有所幫助.

一、求展開(kāi)式中指定項(xiàng)

例1 （x-1x）8的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為 " .（用數(shù)字作答）

解：Tr+1=Cr8x8-r（-1x）r=（-1）rCr8x8-2r，

由題意知，8-2r=0，r=4，

即展開(kāi)式的第5項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，T5=C48=70.

評(píng)析：直接利用通項(xiàng)公式進(jìn)行求解，令x的冪指數(shù)等于0即可.

例2 （|x|2+1|x|+2）5的展開(kāi)式中整理后的常數(shù)項(xiàng)為 " ".

解：（|x|2+1|x|+2）5=（|x2|+|1x|）10

Tr+1=Cr10（|x2|）10-r（|1x|）r

=Cr10（12）10-r（|x|）10-2r

由題意知，（|x|2+1|x|）=0，r=5，

即展開(kāi)式的第6項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng)，

T6=C510（12）5=6322.

評(píng)析：多項(xiàng)展開(kāi)式往往化歸為二項(xiàng)展開(kāi)式，再利用通項(xiàng)公式去求解.本題亦可把（|x|2+1|x|）看作一個(gè)整體，再利用二項(xiàng)式定理展開(kāi).

例3 （x+3x）12的展開(kāi)式中，含x的正整數(shù)冪的項(xiàng)數(shù)共有 " ".

解：設(shè)展開(kāi)式中第r+1項(xiàng)的冪為正整數(shù)，則

Tr+1=Cr12（x）12-r（3x）r=Cr12x12-r2+r3=Cr12x6-r6.

依題意，r是6的倍數(shù)，且0≤r≤12，所以r共有3個(gè)值.

即（x+3x）12的展開(kāi)式中，含x的正整數(shù)冪的項(xiàng)數(shù)共有3個(gè).

小結(jié)：在求展開(kāi)式中某個(gè)指定項(xiàng)時(shí)，利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求解是常規(guī)辦法.首先要知道指定項(xiàng)都有哪些特點(diǎn)，再根據(jù)題意具體求解.例如常數(shù)項(xiàng)就是x的指數(shù)為0，而有理項(xiàng)就是x的指數(shù)為整數(shù).

二、求展開(kāi)式中的系數(shù)或系數(shù)和

例4 （x-2y）10的展開(kāi)式中x6y4項(xiàng)的系數(shù)是 " ".

解：Tr+1=Cr10x10-r（-2y）r

由題意知，10-r=6，r=4，

即展開(kāi)式中x6y4項(xiàng)的系數(shù)為C410（2）4=840.

評(píng)析：注意區(qū)別某一項(xiàng)的系數(shù)和它的二項(xiàng)式系數(shù).

例5 在（1-x）5+（1-x）6+（1-x）7+（1-x）8的展開(kāi)式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是 " ".

法一：由等比數(shù)列求和公式得：

原式=（1-x）5[1-（1-x）4]1-（1-x）

=（1-x）5-（1-x）9x.

要求展開(kāi)式中含x3的項(xiàng)的系數(shù).即求（1-x）5中的x4的系數(shù)與（1-x）9中x4的系數(shù)的差.而（1-x）5中含x4的項(xiàng)為T5=C45·1·（-x）4=5x4，（1-x）9中含x4的項(xiàng)為T5=C49·15·（-x）4=126x4，

所以在（1-x）5+（1-x）6+（1-x）7+（1-x）8的展開(kāi)式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是5-126=-121.

法二：（1-x）n的二項(xiàng)展開(kāi)式通項(xiàng)為Tr+1=Crn（-x）r，令r=3得x3的系數(shù)為-C3n，故本題所求的項(xiàng)的系數(shù)為-（C35+C36+C37+C38）=-121.

例6 （1）若（x+1x）n的展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該展開(kāi)式中1x2的系數(shù)為 " ";

（2）求（2x+1x）4的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和及各項(xiàng)系數(shù)和.

解：（1）因?yàn)檎归_(kāi)式中的第3項(xiàng)和第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同，即C2n=C6n，所以n=6+2=8，所以展開(kāi)式的通項(xiàng)為Tk+1=Ck8·x8-k·（1x）k=Ck8x8-2k，令8-2k=-2，解得k=5，所以T6=C58·（1x）2，所以1x2的系數(shù)為C58=56.

（2）該展開(kāi)式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)和為：C04+C14+C24+C34+C44=24=16.令二項(xiàng)式中變量x=1，得各項(xiàng)系數(shù)之和為34=81.

小結(jié)：二項(xiàng)式系數(shù)和項(xiàng)的系數(shù)是二項(xiàng)式定理的基本概念，兩者本質(zhì)區(qū)別為：展開(kāi)式中第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是Crn（r=0，1，2，…，n），而第r+1項(xiàng)的系數(shù)是指經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)整理后該項(xiàng)未知數(shù)前的最簡(jiǎn)系數(shù)（含正負(fù)）.

三、證明整除或余數(shù)問(wèn)題

例7 試證大于（1+3）2n（n∈N）的最小整數(shù)能被2n+1整除.

證明：因?yàn)?1lt;1-3lt;0，所以（1-3）2n∈（0，1）.

由二項(xiàng)式定理可得

（1+3）2n+（1-3）2n=2（3n+C22n3n-1+…）

是偶數(shù)，記為2k（k∈N），則大于（1+3）2n的最小整數(shù)為2k.

又因?yàn)?k=（1+3）2n+（1-3）2n=[（1+3）2]n+[（1-3）2]n

=2n[（2+3）n+（2-3）n]，

由二項(xiàng)式定理知（2+3）n+（2-3）n是偶數(shù)，記為2k1（k1∈N），

所以2k=2n+1k1.即命題得證.

評(píng)析：本題的難點(diǎn)在于如何表示題中的最小整數(shù).由（1+3）2n聯(lián)想到其對(duì)偶式（1-3）2n∈（0，1），然后考慮二者之和即可.二項(xiàng)式定理在其中的用處為利用其展開(kāi)式證明二者之和為偶數(shù).

例8 當(dāng)n∈N*時(shí)，求證：32n+2-8n-9能被64整除.

證明：32n+2-8n-9=9n+1-8n-9

=（1+8）n+1-8n-9

=C0n+1+C1n+1·8+C2n+1·82+C3n+1·83+…+Cnn+1·8n+Cn+1n+1·8n+1-8n-9

=1+（n+1）·8+C2n+1·82+C3n+1·83+…+Cnn+1·8n+Cn+1n+1·8n+1-8n-9

=82（C2n+1+8C3n+1+…+8n-2·Cnn+1+8n-1·Cn+1n+1），

因?yàn)镃2n+1+8C3n+1+…+8n-2·Cnn+1+8n-1·Cn+1n+1是整數(shù).

所以32n+2-8n-9能被64整除.

例9 今天是星期日，再過(guò)10100天后是星期幾？

解：10100=10050=（98+2）50

=C0509850+C1509849×2+…+C495098×249+C5050250，

因?yàn)榍?0項(xiàng)都能被7整除，只需考查250除以7所得余數(shù).

250=4×248=4×816=4×（7+1）16

=4[C016716+C116715+…+C15167+C1616].

于是得余數(shù)為4，故10100天后是星期四.

小結(jié)：證明整除性問(wèn)題，或求余數(shù)問(wèn)題.關(guān)鍵是找準(zhǔn)指數(shù)式中的底數(shù)和除數(shù)的聯(lián)系，將指數(shù)式分拆成與除數(shù)有關(guān)聯(lián)的兩個(gè)數(shù)的和或差，再用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，要注意余數(shù)為非負(fù)數(shù)且不大于除數(shù).

四、求近似值

例10 求（0.997）5的近似值（精確到0.001）.

分析：（0.997）5=（1-0.003）5，簡(jiǎn)單構(gòu)造二項(xiàng)式定理模型，展開(kāi)按精確度要求取前兩項(xiàng)計(jì)算便得符合條件的結(jié)果.

解：（0.997）5=（1-0.003）5

=1-C150.003+C25（0.003）2-…-C55（0.003）5

≈1-5×0.003=0.985.

例11 某地現(xiàn)有耕地10000公頃.規(guī)劃10年后糧食單產(chǎn)比現(xiàn)在增加22%，人均糧食占有量比現(xiàn)在提高10%.結(jié)果人口年增長(zhǎng)率為1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公頃（精確到1公頃）？（糧食單產(chǎn)=總產(chǎn)量/耕地面積，人均糧食占有量=總產(chǎn)量/總?cè)丝跀?shù)）.

解：設(shè)耕地平均每年至多只能減少x公項(xiàng)，又設(shè)該地區(qū)現(xiàn)有人口為P人，糧食單產(chǎn)為M噸/公頃.

依題意得不等式

M×（1+22%）×（104-10x）P×（1+1%）10≥M×104P×（1+10%）

化簡(jiǎn)得x≤103×[1-1.1×（1+0.01）101.22].

因?yàn)?03×[1-1.1×（1+0.01）101.22]=103×[1-1.11.22×（1+C110×0.01+C210×0.012+…）]

≈103×[1-1.11.22×1.1045]≈4.1

所以x≤4（公頃）

答：按規(guī)則該地區(qū)耕地平均每年至多只能減少4公頃.

小結(jié)：求近似值問(wèn)題常用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，根據(jù)精確度決定所取項(xiàng)數(shù).

五、證明恒等式或不等式

例12 證明：C0n+32C2n+34C4n+…+3nCnn=2·4n-1+2n-1（n為偶數(shù)，n∈N*）.

證明：因?yàn)閚為偶數(shù)，

所以（1+3）n=C0n+3C1n+32C2n+…+3nCnn，

（1-3）n=C0n-3C1n+32C2n-…+3nCnn

兩式相加得4n+2n=2（C0n+32C2n+34C4n+…+3nCnn），

所以C0n+32C2n+34C4n…+3nCnn=2·4n-1+2n-1.

例13 求證C1n+2C2n+…+nCnn=n2n-1.

證明：由二項(xiàng)式定理有：（1+x）n=xn+C1nxn-1+…+Cn-1nx+Cnn.

對(duì)上式以x為自變量求導(dǎo)得：

n（1+x）n-1=nxn-1+C1n（n-1）xn-2+C2n（n-1）xn-3+…+Cn-1n.

取x=1有n2n-1=n+（n-1）C1n+（n-2）C2n+…+Cn-1n.

又因組合數(shù)性質(zhì)：Cmn=Cn-mn得n·2n-1=nCnn+（n-1）Cn-1n+（n-2）Cn-2n+…+2C2n+C1n，∴原式得證.

小結(jié)：關(guān)于組合恒等式的證明，關(guān)鍵在于熟悉二項(xiàng)式定理的展開(kāi)形式及結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，要善于把所證問(wèn)題用數(shù)學(xué)方法合理的轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式定理的表達(dá)式形式.

例14 求證：2≤（1+1n）n≤3-12n-1，（n∈N*）.

證明：由二項(xiàng)式定理得

（1+1n）n=C0n+C1n1n+C2n1n2+…+Cnn1nn

=1+1+C2n1n2+…

≥2.

又（1+1n）n=C0n+C1n1n+C2n1n2+…+Cnn1nn

=2+12?。?-1n）+13?。?-1n）（1-2n）+…+1n！（1-1n）（1-2n）·…·（1-n-1n）

≤2+12！+13！+…+1n！

≤2+12+122+123+…+12n-1

=3-12n-1.

例15 設(shè)a，b∈R+，n∈N，求證：an+bn2≥a+b2n.

分析：設(shè)a=s+d，b=s-d，（s，d∈R+且sgt;d），則a+b=2s，再用二項(xiàng)式定理解題.

證明：設(shè)a=s+d，b=s-d，（s，d∈R+且sgt;d），

于是有an+bn=（s+d）n+（s-d）n=2[C0nsn+C2nsn-2d2+…]≥2sn.

又因?yàn)閍+b=2s，

所以an+bn2≥2sn2=sn=a+b2n.

即題目得證.

評(píng)析：此題表面看似與二項(xiàng)式定理無(wú)關(guān)，但換元后便露出其本質(zhì).它的結(jié)論也可以寫成nan+bn2≥a+b2.二項(xiàng)式定理是證明這一不等式簡(jiǎn)捷且有效的方法.

例16 設(shè)a，b∈R+，且1a+1b=1.求證：對(duì)每個(gè)n∈N*都有（a+b）n-an-bn≥22n-2n+1.

分析：因?yàn)閍，b∈R+，且1a+1b=1，所以ab≥2，

（a+b）n-an-bn=12[（an-1b+abn-1）C1n+（an-2b2+a2bn-2）C2n+…+（abn-1+an-1b）Cn-1n]，

再利用均值不等式求證.

證明：由1=1a+1b≥2abab≥2，及二項(xiàng)式定理得

（a+b）n-an-bn

=C0nan+C1nan-1b+…+Cn-1nabn-1+Cnnbn-an-bn

=C1nan-1b+C2nan-2b2+…+Cn-2na2bn-2+Cn-1nabn-1

=12[（an-1b+abn-1）C1n+（an-2b2+a2bn-2）C2n+…+（abn-1+an-1b）Cn-1n]

≥（ab）n（C1n+C2n+…+Cn-1n）

≥2n（2n-2）=22n-2n+1.

小結(jié)：利用二項(xiàng)式定理證明不等式，是二項(xiàng)式定理的一個(gè)重要應(yīng)用.一般情況，在二項(xiàng)式展開(kāi)式中取舍若干項(xiàng)，即可將相等關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系，從而獲得相關(guān)不等式.特別在有關(guān)冪不等式和組合不等式方面有獨(dú)特作用.

六、在求值問(wèn)題中的應(yīng)用

例17 已知等式（x2+2x+2）5=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9+a10（x+1）10，其中ai（i=0，1，2，…，10）為實(shí)常數(shù)，求：

（1）∑10n=1an的值;（2）∑10n=1nan的值.

解：（1）令x=-1，得a0=1;令x=0，得a0+a1+a2+…+a9+a10=25=32.

故∑10n=1an=a1+a2+…+a10=31.

（2）等式（x2+2x+2）5=a0+a1（x+1）+a2（x+1）2+…+a9（x+1）9+a10（x+1）10兩邊對(duì)x求導(dǎo)，得5（x2+2x+2）4·（2x+2）=a1+2a2（x+1）+…+9a9（x+1）8+10a10（x+1）9.

在5（x2+2x+2）4·（2x+2）=a1+2a2（x+1）+…+9a9（x+1）8+10a10（x+1）9中，令x=0，整理得∑10n=1nan=a1+2a2+…+9a9+10a10=5·25=160.

評(píng)析：“取特殊值法”是解決二項(xiàng)式系數(shù)問(wèn)題常用的方法——根據(jù)題目要求，靈活賦給字母不同的值.第二問(wèn)要先利用導(dǎo)數(shù)得到nan的形式，然后再賦值求解.

例18 用{x}表示實(shí)數(shù)x的小數(shù)部分，若a=（513+18）99，則a{a}的值為多少？

解：令b=（513-18）99，因?yàn)椋?13-18）∈（0，1），所以b∈（0，1），

由二項(xiàng)式定理有

a=（513+18）99=C099（513）99+C199（513）98×18+…+Cr99（513）99-r×18r+…+C9899（513）×1898+C99991899，

b=（513-18）99=C099（513）99-C199（513）98×18+…+（-1）rCr99（513）99-r×18r+…+C9899（513）×1898-C99991899，

因?yàn)閍-b=2[C199（513）98×18+…+C99991899]是正整數(shù)，

所以{a}=b，

所以a{a}=（513+18）99（513-18）99

=[（513+18）（513-18）]99=1.

評(píng)析：此題表面看較為困難，但若能發(fā)現(xiàn)0lt;513-18lt;1，且（513+18）（513-18）=1，巧妙構(gòu)造b=（513-18）99來(lái)替代{a}，問(wèn)題便能迎刃而解.本題所用方法與例7相同.

（作者：李葦，江蘇省黃橋中學(xué)）