借力空間向量 巧解立體幾何

立體幾何常常涉及兩大問題：一是位置關(guān)系，它主要包括線線垂直，線面垂直，面面垂直，線線平行，線面平行，面面平行;二是度量問題，它主要包括點到線、點到面的距離，線線、線面所成角，二面角等.下面借“題”發(fā)揮，透視如何利用空間向量解決立體幾何問題，希望對同學(xué)們有所幫助.

題型1 證明線線垂直

例1 如圖，在四棱錐OABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，

∠ABC=π4，OA⊥底面ABCD，OA=2.建立空間直角坐標(biāo)系，證明OC⊥BD.

解：作AH⊥CD，則AH⊥AB，

又OA⊥底面ABCD.所以以D為坐標(biāo)原點，AB，AH，AO分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

在Rt△AHD中，∠ADC=π4，AD=1，則HD=22，

AH=22.故B（1，0，0），

D（-22，22，0），O（0，0，2），

C（1-22，22，0），

BD=（-22-1，22，0），OC=（1-22，22，-2），

則BD·OC=（-22-1，22，0）·（1-22，22，-2）=0，因此，OC⊥BD，即OC⊥BD.

思維啟迪：（1）空間直角坐標(biāo)系中的x、y、z軸是三條互相垂直的數(shù)軸，有同學(xué)直接利用AB，AD，AO建立坐標(biāo)系是錯誤的;（2）點的坐標(biāo)不可輕視，錯一個，后面就滿盤皆輸了;（3）各軸之間的順序要求符合右手法則.

題型2 證明線面垂直

例2 如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是正方形，

側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.證明PB⊥平面EFD.

解：以D為坐標(biāo)原點，DA，DC，DP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)DC=a，A（a，0，0），P（0，0，a），E（0，a2，a2），B（a，a，0），

PB=（a，a，-a），DE=（0，a2，a2），

故PB·DE=0.∴PB⊥DE.

由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，所以PB⊥平面EFD.

思維啟迪：向量法證明線線垂直、線面垂直、面面垂直，需要借助于立體幾何中的判定定理，區(qū)別是垂直的證明是依賴于代數(shù)計算而已.本題就是借助于線面垂直判定定理，利用向量證明了線線垂直.當(dāng)然本題也可以利用PB和平面的法向量平行來證明.對于面面垂直，也是同樣.

題型3 證明線面平行

例3 如圖，在三棱錐PABC中，AB⊥BC，AB=BC，點O、D分別是AC、PC的中點，OP⊥底面ABC.

求證OD∥平面PAB.

解：∵OP⊥平面ABC，OA=OC，AB=BC，

∴OA⊥OB，OA⊥OP，OB⊥OP.以O(shè)為原點，射線OP為非負z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz（如圖）設(shè)AB=a，則A（22a，0，0），

C（-22a，0，0），設(shè)OP=h，則P（0，0，h）.∵D為PC的中點，

∴OD=（-24a，0，12h），又PA=（22a，0，-h），

∴OD=-12PA，

∴OD∥PA.∵OD平面PAB，PA平面PAB，∴OD∥平面PAB.

思維啟迪：向量的坐標(biāo)法證明平行和證明垂直的道理一樣.本題也可以用OD和平面PAB的法向量垂直來證明，但是要說明OD不在面內(nèi).

題型4 求兩點間的距離

例4 如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=22，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=5.設(shè)N為棱B1C1的中點，點M在平面AA1B1B內(nèi)，且MN⊥平面A1B1C1，求線段BM的長.

解：點B為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

依題意得B（0，0，0），

A1（22，22，0），B1（0，22，0），C1（2，2，5）

∴A1B1=（-22，0，0），A1C1=（-2，-2，5）

∵N為棱B1C1的中點，∴N（22，322，52）.

∵點M在平面AA1B1B內(nèi)，故可設(shè)點M的坐標(biāo)為（a，b，0），

∴MN=（22-a，322-b，52），由MN⊥平面A1B1C1，得MN·A1B1=0

MN·A1C1=0，

∴（22-a）·（-22）=0

（22-a）·（-2）+（322-b）·（-2）+52·5=0，

解得a=22

b=24，

∴M（22，24，0）.

∴|BM|=（22-0）2+（24-0）2+02=104，所以線段BM的長為104.

思維啟迪：利用空間向量求解兩點距離的步驟是：第一步，結(jié)合圖形建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;第二步，求出相關(guān)點的坐標(biāo);第三步，利用兩點間的距離公式得線段長.求解此類問題要求有較強的運算能力，正確確定點與向量的坐標(biāo)是解答此類問題的關(guān)鍵.

題型5 求點到平面的距離

例5 如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，

垂足為G，G在AD上，且PG=4，AG=13GD，BG⊥GC，GB=GC=2，求點D到平面PBG的距離.

解：以G點為原點，GB、GC、GP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，4），

平面PBG的一個單位法向量n=（0，1，0）.

∵GD=34AD=34BC=（-32，32，0），

∴點D到平面PBG的距離為|GD·n||n|=32.

思維啟迪：求點到面的距離是求其他距離的基礎(chǔ)，它借助于法向量和斜線的方向向量，距離d可以看成是斜向量在法向量方向上的投影的絕對值，也等于以斜線段為斜邊的直角三角形的直角邊的長，因此它的長度有兩種計算方法，如本題d=|DG|·|cos|=|DG·n||n|.

題型6 求線到平面的距離

例6 已知斜三棱柱ABCA1B1C1，∠BCA=90°，AC=BC=2，A1在底面ABC上的射影恰為AC的中點D，又知BA1⊥AC1.

（1）求證：AC1⊥平面A1BC;

（2）求CC1到平面A1AB的距離.

解：（1）如圖，取AB的中點E，則DE∥BC，因為BC⊥AC，所以DE⊥AC，又A1D⊥平面ABC，以DE，DC，DA1為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

A（0，-1，0），C（0，1，0），

B（2，1，0），A1（0，0，t），

C1（0，2，t），AC1=（0，3，t），BA1=（-2，-1，t），

CB=（2，0，0），由CB·AC1=0，知

AC1⊥CB，BA1⊥AC1，又CB∩BA1=B，從而AC1⊥平面A1BC;

（2）由AC1·BA1=-3+t2=0，得t=3.

設(shè)平面A1AB的法向量為n=（x，y，z），

AA1=（0，1，3），AB=（2，2，0），

所以n·AA1=y+3z=0

n·AB=2x+2y=0，設(shè)z=1，則n=（3，-3，1），所以點C1到平面A1AB的距離

d=|AC1·n||n|=2217.又∵C1C∥AA1，C1C面A1AB，AA1面A1AB，

又因為C1C∥面A1AB，

所以直線C1C到面A1AB的距離為2217.

思維啟迪：當(dāng)直線與平面平行，那么直線到平面的距離就可以轉(zhuǎn)化為直線上的點到平面的距離.

題型7 計算異面直線所成的角

例7 如圖，已知三棱錐OABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=OC=2，E是OC的中點.

求異面直線BE與AC所成角的余弦值.

解：以O(shè)為原點，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則有A（0，0，1），B（2，0，0），

C（0，2，0），E（0，1，0）.

EB=（2，-1，0），

AC=（0，2，-1），

cos=-25，由于異面直線BE與AC所成的角是銳角或直角，故其余弦值是25.

思維啟迪：設(shè)兩異面直線a，b所成的角為θ，m，n分別是a，b的方向向量，則有cosθ=|cos|=|m·n||m|·|n|.異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，因此，如果按照公式求出來的向量的數(shù)量積是一個負數(shù)，則應(yīng)當(dāng)取其絕對值，使之變?yōu)檎?，這樣求得的角為銳角或直角.

題型8 計算直線與平面所成的角

例8 在正三棱錐PABC中，底面正△ABC的中心為O，D是PA的中點，PO=AB=2，求PB與平面BDC所成角的正弦值.

解：以O(shè)為坐標(biāo)原點，OA為x軸，OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.因△ABC是正三角形，故y軸平行于BC，而PO=AB=2，則P（0，0，2），A（233，0，0），B（-33，1，0），C（-33，-1，0），D是PA的中點，故D（33，0，1），BD=（233，-1，1），CA=（3，1，0），BC=（0，-2，0），

設(shè)n=（x，y，z）是平面BDC的一個法向量，n·BC=0且

n·BD=0，

即：-2y=0

233x-y+z=0，化簡得：y=0

z=-233x，取x=3，則y=0，

z=-2，平面BDC的一個法向量是n0=（3，0，-2），PB=（-33，1，-2），cos〈PB，n0〉=32128，由于PB和n0所成的角與PB與平面BDC所成角互余，所以PB與平面BDC所成角的正弦值為32128.

思維啟迪：同學(xué)們要清楚的意識到“直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對值即線面角的正弦值”這一結(jié)論.

題型9 計算二面角的平面角

例9 如圖，三棱錐PABC中，PB⊥底面ABC，∠BCA=90°，PB=BC=CA=42，

點E，F(xiàn)分別是PC，PA的中點，求二面角ABEF的余弦值.

解：如圖，以PB所在直線為z軸，BC所在直線y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則B（0，0，0），A（42，42，0），C（0，42，0），P（0，0，42），

E（0，22，22），F(xiàn)（22，22，22），

∵PB⊥平面ABC，∴PB⊥AC，又AC⊥CB，∴AC⊥平面PBC，∴AC⊥PC，∴EF⊥PC，又BE⊥PC，∴PC⊥平面BEF，而PC=（0，42，-42），所以平面BEF的一個法向量n1=（0，1，-1），

設(shè)平面ABE的一個法向量n2=（x，y，z）則n2·BE=22y+22z=0

n2·BA=42x+42y=0，則x∶y∶z=1∶-1∶1，取x=1，則平面ABE的一個法向量n2=（1，-1，1），

∴cos〈n1，n2〉=-63，由圖可知，二面角ABEF的平面角的余弦值為63.

思維啟迪：在處理二面角問題時，可能會遇到二面角的具體符號的取舍問題，如本題中cos〈n1，n2〉=-63并不意味二面角就是鈍角，這只是兩個法向量的

夾角，那么要不要判斷法向量的方向呢？不需要，只需要判斷具體圖形即可.

題型10 巧解探索性問題

例10 如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，AA1=AD=1，E為CD中點.

（1）求證：B1E⊥AD1.

（2）在棱AA1上是否存在一點P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的長;若不存在，說明理由.

解：以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=a，則A（0，0，0），D1（0，1，1），B1（a，0，1），C（a，1，0），D（0，1，0），因為E為CD中點，所以E（a2，1，0），

（1）所以AD1=（0，1，1），B1E=（-a2，1，-1），

所以AD1·B1E=0×（-a2）+1×1+1×（-1）=0，所以B1E⊥AD1.

（2）假設(shè)在棱AA1上存在一點P（0，0，λ），使得DP∥平面B1AE，因為D（0，1，0），所以DP=（0，-1，λ），AB1=（a，0，1），AE=（a2，1，0），設(shè)平面B1AE的法向量為n=（x，y，z），

所以n⊥AB1

n⊥AE，得ax+z=0

ax2+y=0，取x=1，得平面B1AE的一個法向量n=（1，-a2，-a）.要使DP∥平面B1AE，只要n⊥DP，有a2-aλ=0，解得λ=12.又DP平面B1AE，所以在棱AA1上存在一點P，使得DP∥平面B1AE，此時AP=12.

思維啟迪：求解存在性問題的基本步驟：首先假定題中的數(shù)學(xué)對象存在;其次構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系;再次利用空間向量法把存在性問題轉(zhuǎn)化為求參數(shù)是否有解問題;最后解方程，下結(jié)論.利用上述思維策略，可使此類存在性難題變簡單.

（作者：匡立柱，江蘇省海頭高級中學(xué)）